高数期末考试题及答案

2009~2010高等数学B（上）题—二三四五六七总得一、填空题（每小题3分,15分1

n

an

2010,则a 5 n22、设fx3 x 则x1是fx的 类间断点x

x3、已知f23,则limf2hf2 h xsin2 4、1x43x21dx 5、已知fxdxx4C,则fxdx 4x3 二、单项选择题（每小题3分,15分.请将所选答案填在横线上1、极限limf(x)存在是函数fx在x处连续 条件x A、充分 B、必要 C、充分必要 D、既非充分也非必要2、设fx在0x

limfxf02 x 1cosA、是fx的极小值点 B、是fx的极大值点C、不是fx的驻点 D、是fx的驻点,但不是极值点2xsin sin 3、设fx dt g(x)01ttdt,则x0时

4、若fxdx3xtanxC,则fx A、 secxln3secxtanx B、ln3 D、3xln3sec2x5、反常积分xexdx的值 0A、1 B、0 C、1 D、发散三、计算题（每小题5分,35分3x21、lim x6x3x

2 6x32 3 解

lim1

6

x6x x 6xx x2、

11arctantdt解

型0型 11arctantdt1

xarctantdtx2xarctan

222arctan1

x

xtln1t d23yyx由

确定, yt3t

dx2 dt3t22t

11

3t5t.d2y6t56t5t.4

1 1 xx3

31 3

x dx

1dx31lnx1lnx31xx3 x31 x3 5、已知fx的一ex2,xfxdxxfxdxxdfxxfxf因为fx的一个原函数是ex2，所fxex2ex22x2xex2 fxdxex2C xfxdx2x2ex2ex2C6、0

解 21sin2xdx

sin2xcos2x2sinxcosxdx 0

cosxsinx2 2cosxsinxdx0

4cosxsinxdx0

2sinxcos42sinxcosx4cosxsinx2 2 4e ex1lnx1ln1e e dln e2d1ln e1解1 1 x1ln 1ln

21lnx2 1ln1ln（10分）若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数,求有最大面积的直角直角边为x,斜边与其和为常数L,Lx2Lx222S2

L22Lx2 L3 L3xL

.L 令Sx0,得x为唯一驻点,且最大值存在,故S 为最大值,3此时这条直角边与斜边的夹角为

6 3五（10分）曲线y 2x、直线yx4及y0围成一平面图形求这个平面图形的面积;（2）求此图形绕x轴旋转而成的立体体积解曲线y 2x、直线yx4及y0的三个交点是0,0,4,0,设这个平面图形的面积为S,S4y4 2 1y24y1y3

40 0 或

3 2S2

2xdx

x4dx22

x22 2

x2 x24x 8 8设此图形绕x轴旋转而成的立体体积为V,V82x2dx8x42dx128 （10分）当x0时,证明ex11xln1fxex11xln1x.1f(x)exln1x1,fxex

1x当x0时 fxex10,故fx是单调递增函数,即fxff00fx0可知,当x0时 fx为单调递增函数,即fxf0f00fx0也就是说 ex11xln1x0,故ex11xln1七（5分）设函数fx在闭区间0,1上可微,对于0,1上的每一个x fx0,1内,fxx

fx1.证明0,1内有且仅有x,使得证明(1)存在性Fxfxx,Fx在0,1上连续由于0fx1,所以F0f000 F1f110故由零点定理知,0,1内至少存在x,Fxfxx0,fxx (2)唯一性假设有x,x0,1,xx,使得fxx xx构成的区间Lagrange中值定