湖南高考数学备考专项练习

第6页2023-2023湖南高考数学备考专项练习〔带答案〕数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，以下是2023-2023湖南高考数学备考专项练习，请考生认真练习。题型一、定值、定点问题例1：椭圆C：+=1经过点(0，0)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点。(1)求椭圆C的方程;(2)假设直线l交y轴于点M，且=，=，当直线l的倾斜角变化时，探求+的值是否为定值?假设是，求出+否那么，请说明理由。破题切入点：(1)待定系数法。(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式=，=。把，用点A，B的横坐标表示出来，只要证明+的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否那么就不是定值。解：(1)依题意得b=，e==，a2=b2+c2，a=2，c=1，椭圆C的方程为+=1。(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，又F坐标为(1，0)，设直线l方程为y=k(x-1)，求得l与y轴交于M(0，-k)，设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，x1+x2=，x1x2=，又由=，(x1，y1+k)=(1-x1，-y1)，=，同理=，所以当直线l的倾斜角变化时，直线+的值为定值-。题型二、定直线问题例2：在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2=2py(p0)相交于A，B两点。(1)假设点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值;(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?假设存在，求出l的方程;假设不存在，请说明理由。破题切入点：假设符合条件的直线存在，求出弦长，利用变量的系数恒为零求解。解：方法一：(1)依题意，点N的坐标为N(0，-p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得：消去y得x2-2pkx-2p2=0。由根与系数的关系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2。于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=2p|x1-x2|=p|x1-x2|=p=p=2p2，当k=0时，(S△ABN)min=2p2。(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，AC的中点为O，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，那么OHPQ，Q点的坐标为。∵OP=AC==，OH==|2a-y1-p|，PH2=OP2-OH2=(y+p2)-(2a-y1-p)2=(a-)y1+a(p-a)，PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)]。令a-=0，得a=，此时PQ=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y=，即抛物线的通径所在的直线。方法二：(1)前同方法一，再由弦长公式得AB=|x1-x2|=2p，又由点到直线的距离公式得d=。从而S△ABN=dAB=2p=2p2。当k=0时，(S△ABN)min=2p2。(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，那么以AC为直径的圆的方程为(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0，将直线方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0，那么=x-4(a-p)(a-y1)=4[(a-)y1+a(p-a)]。设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，那么有PQ=|x3-x4|=2。令a-=0，得a=，此时PQ=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y=，即抛物线的通径所在的直线。题型三、定圆问题例3：椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，圆Ck：x2+y2+2kx-4y-21=0(kR)的圆心为点Ak。(1)求椭圆G的方程;(2)求△AkF1F2的面积;(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由。破题切入点：(1)根据定义，待定系数法求方程。(2)直接求。(3)关键看长轴两端点。解：(1)设椭圆G的方程为+=1(a0)，半焦距为c，那么解得所以b2=a2-c2=36-27=9。所以所求椭圆G的方程为+=1。(2)点Ak的坐标为(-k，2)，S△AkF1F2=|F1F2|2=62=6。(3)假设k0，由62+02+12k-0-21=15+12k0，可知点(6，0)在圆Ck外;假设k0，由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k0，可知点(-6，0)在圆Ck外。所以不管k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G。即不存在圆Ck包围椭圆G。总结提高：(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，根本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关。在这类试题中选择消元的方向是非常关键的。(2)由直线方程确定定点，假设得到了直线方程的点斜式：y-y0=k(x-x0)，那么直线必过定点(x0，y0);假设得到了