2022年度湖南省娄底市鹅塘乡鹅塘中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022年度湖南省娄底市鹅塘乡鹅塘中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某中学有8名同学参加两项社团活动，每位同学必须参加一项活动，且不能同时参加两项，每项活动最多安排5人，则不同的安排方法有（）A．256 B．182 C．254 D．238参考答案：B【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，设两项社团活动为A、B社团活动，按参加A社团的人数分3种情况进行讨论，分别求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，设两项社团活动为A、B社团活动，分3种情况进行讨论：①、有3人参加A社团活动，其他5人参加B社团活动，有C83=56种安排方法；②、有4人参加A社团活动，其他4人参加B社团活动，有C84=70种安排方法；③、有5人参加A社团活动，其他3人参加B社团活动，有C85=56种安排方法；则共有56+70+56=182种；故选：B．2.在中，若，则的形状是（

）A．不能确定

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰或直角三角形参考答案：D3.若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边数为（）A．6 B．8 C．10 D．12参考答案：A【考点】等差数列的通项公式．【分析】设该多边形为n边形，根据内角和公式，内角和为180°?（n﹣2）；因为最小角为100°，最大角140°，又成等差数列，则它的度数应该为，建立方程可解．【解答】解：设该多边形的边数为n．则=180?（n﹣2），解得n=6．故这个多边形的边数为6．故选A4.不等式的解集是--------------------（

）

A

B

C

D参考答案：B略5.复数z满足（1+i）z=|﹣i|，则=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i参考答案：A【考点】复数求模．【分析】设出z=a+bi，得到关于a，b的方程组，求出z的共轭复数即可．【解答】解：设z=a+bi，则（1+i）z=（1+i）（a+bi）=（a﹣b）+（a+b）i，∴，解得：a=1，b=﹣1，故=1+i，故选：A．6.下列说法错误的是()A．如果命题“?p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”C．若命题p：?x0∈R，x02＋2x0－3<0，则?p：?x∈R，x2＋2x－3≥0D．“sinθ＝”是“θ＝30°”的充分不必要条件参考答案：D7.已知点P(1,3)与直线，则点P关于直线l的对称点坐标为A.(－3,－1)

B.(2,4)

C.(－4,－2)

D.(－5,－3)参考答案：C8.如图，已知、，从点P（1，0）射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是

（）A． B．

C． D．参考答案：B9.在△ABC中，已知，则C=（

）A.300

B.1500

C.450

D.1350参考答案：C10.已知的定义域为（0，π），且对定义域的任意x恒有f′（x）sinx＞f（x）cosx成立，则下列关系成立的是（）A．f（）＞f（）B．f（）=f（）C．f（）＜f（）D．f（）与f（）的大小关系不确定参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=f（x）sinx，求出导函数，根据题意可判断g（x）为增函数，可得f（）sin＞f（）sin，根据诱导公式可得出结论．【解答】解：令g（x）=f（x）sinx，∴g'（x）=f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0恒成立，∴g（x）定义域内递增，∴f（）sin＞f（）sin，∴f（）sin＞f（）sin，∴f（）＞f（），故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.实数x，y满足条件，则的最大值为______参考答案：1212.设命题P：?x∈R，x2＞1，则?P为

．参考答案：?x∈R，x2≤1【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：设命题P：?x∈R，x2＞1，则?P为：?x∈R，x2≤1故答案为：?x∈R，x2≤1；【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．13.椭圆的长轴的顶点坐标是

，短轴的顶点坐标是

参考答案：略14.函数的定义域是

参考答案：

解:由.

所以原函数的定义域为.

因此，本题正确答案是.15.f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.参考答案：【详解】函数f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函数，∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函数，∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案为.16.直线与抛物线所围成的图形面积是

.

参考答案：略17.某四面体的三视图如右图所示，该四面体的体积是

.参考答案：8

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C的方程．参考答案：【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】画出图形，结合图形以及椭圆的定义与性质，求出a、b的值，即可写出椭圆的方程．【解答】解：如图所示，设椭圆的长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c；则离心率e==，∴4a=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16；∴a=4，∴c=×4=2，∴b2=a2﹣c2=42﹣=8；∴椭圆的方程是．【点评】本题考查了椭圆的定义与简单的几何性质的应用问题，解题时应结合图形进行解答问题，是基础题．19.已知O为坐标原点，设动点M（2，t）（t＞0）．（1）若过点P（0，4）的直线l与圆C：x2+y2﹣8x=0相切，求直线l的方程；（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设A（1，0），过点A作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．参考答案：【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）圆C：x2+y2﹣8x=0化为（x﹣4）2+y2=16，得到圆心C（4，0），半径r=4，分类讨论即可求直线l的方程；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，由⊥得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又⊥，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣8x=0化为（x﹣4）2+y2=16，得到圆心C（4，0），半径r=4．斜率不存在时，x=0满足题意；斜率存在时，设切线方程为y=kx+4，即kx﹣y+4=0，根据圆心到切线的距离等于半径可得4=，解得k=﹣，故切线方程为y=﹣x+4，综上所述，直线l的方程为y=﹣x+4或x=0．（2）以OM为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣）=+1，其圆心为（1，），半径r=因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离d==，解得t=4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；（3）设N（x0，y0），则=（x0﹣1，y0），=（2，t），=（x0﹣2，y0﹣t），=（x0，y0），∵⊥，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵⊥，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以||==为定值．20.（本小题满分12分）已知曲线C：y=2x3－3x2－2x+1，点P(,0)，求过P的切线l与C围成的图形的面积.参考答案：解：设切点，则切线：过P（）∴即∴

即A（0，1）故

即∴

B（）∴

21.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）函数在(2,4)上是减函数，求实数a的取值范围.参考答案：(1)减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；(2)分析：（1）求导得，得到减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；（2），在x∈（2，4）上恒成立，等价于上恒成立，即可求出实数a的取值范围详解：（1）

函数的定义域为（0，+∞），在区间（0，），（1，+∞）上f′（x）＜0.函数为减函数；在区间（，1）上f′（x）＞0.函数为增函数.（2）函数在（2，4）上是减函数，则，在x∈（2，4）上恒成立.实数a的取值范围点睛：本题考查导数的综合应用。导数的基本应用就是判断函数的单调性，，单调递增，，单调递减。当函数含参时，则一般采取分离参数法，转化为已知函数的最值问题，利用导数求解.22.（本小题满分12分）第一届全国青年运动会将于2015年10月18日在福州举行.主办方在建造游泳池时需建造附属室外蓄水池，蓄水池要求容积为，深为．如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元，那么怎样设计水池的底面，