2021年新高考数学模拟试卷29

2021年新高考数学模拟试卷（29）

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）已知集合4={0,1,2,3},集合8={x||x|W2},则（）

A.{0,3}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{0,1,2,3）

2.（5分）设，■为虚数单位，复数z=罕，则z的共辗复数是（）

A.3-2/B.3+2zC.-3-2/D.-3+2i

3.（5分）已知向量2b,其中向=\b\=2,且&-h）la,贝丘与力的夹角是（）

71717171

A.—B.—C.—D.一

6423

4.（5分）等比数列{板}的前5项的和S5=10,前10项的和Sio=5O,则它的前20项的和

520=（）

A.160B.210C.640D.850

5.（5分）在△A8C中，A=60°,AC=V2,BC=®则C=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.（5分）抛物线/=2px（p>0）的焦点为F,准线为L,4、B是抛物线上的两个动点，

且满足/AFB=?.设线段AB的中点M在L上的投影为M则粤的最大值是（）

3\AB\

231

A.-B.1C.—D.—

326

7.（5分）从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，

则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（）

2335

A.一B.—C.一D.一

5588

8.（5分）已知正四面体ABCO的棱长为百，则其外接球的体积为（）

89728729

A.—ItB.---7TC.---7TD.-7T

3892

多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）“微信运动”是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号用户

通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况.某人根据2018年1月至2018年11月期

间每月离步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列

结论正确的是（）

A.月跑步里程逐月增加

B.月跑步里程最大值出现在10月

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳

10.(5分)已知函数/(x)=sinx-cosx,g(x)是/(x)的导函数，则下列结论中正确的

是()

A.函数/(x)的值域g(x)的值域不相同

71

B.把函数/(x)的图象向右平移元个单位长度，就可以得到函数g(x)的图象

-TTTC

C.函数f(x)和g(x)在区间(一［-)上都是增函数

44

D.若刈是函数/(x)的极值点，则刈是函数g(x)的零点

11.(5分)关于函数/(x)正确的说法是()

A./(JC)有且仅有一个零点

B.f(x)的定义域为

C.7(x)在(1,+8)单调递增

D./(%)的图象关于点(1,2)对称

12.(5分)棱长为1的正方体ABCO-481C21中，点用、N分别在线段A8i、BCi上运

动(不包括线段端点)，且AM=BN.以下结论正确的是()

A.AA\A.MN

B.若点M、N分别为线段A8i、8。的中点，则由线MN与A81确定的平面在正方体

ABCD-A\B\C\D\上的截面为等边三角形

C.四面体MBCN的体积的最大值为工

24

D.直线D1M与直线4N的夹角为定值

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）设函数/（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x€[0,1]时，/（x）=x+2,

3

.

14.（5分）已知（7+1）分-2）9=40+41（X-1）+42（X-1）2+--+«11（X-1）",贝!J41+42+43+…

+411的值为.

15.（5分）已知双曲线f一3=1的焦点到渐近线的距离为1,则双曲线的离心率为.

16.（5分）已知函数/（〃）=M2COS（wit）,数列｛“”｝满足“"=/（〃）+f（n+1）（nGN+）,则

a1+。2+…+。2”=.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）在等差数列｛a”）和正项等比数列｛加｝中，ai=l,b\=2,且4,ai,历成等差

数列，数列｛仇｝的前“项和为S",且$3=14.

（1）求数列｛或｝,｛为｝的通项公式；

（2）令％=%”，（-1）"d"=〃cn+〃，求数列｛d〃｝的前项和为T”.

bC0S^?^F1

18.（12分）在①cos2B—Wsin8+2=0②2/x;osC=2a-c③-=-^---三个条件中任选一

ayJ3sinA

个，补充在下面问题中，并加以解答，

己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是mb,c,若,且a,b,c成等差数

歹U，则AABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.（12分）在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项

解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时

间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，

否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的

频率分布直方图.

（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47,求人h的值，并求出甲在1分钟内解密成

功的频率；

（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的

概率分别为Pn=P\（―）"一/与涓<«=1>2,3）,其中乃表示第i个出场选手解密成

功的概率，并且P定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立.

①求该团队挑战成功的概率；

②该团队以Pi从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派

出的人员数目X的分布列与数学期望.

20.(12分)如图，已知多面体ABCD-A\B\C\D\,AA\,BB\,CC\,DD\均垂直于平面ABCD,

AD//BC,A8=8C=C0=A4i=CCi=2,=AD=DD\^4.

(I)证明：AiCiJ_平面CD。。；

(II)求直线BCi与平面AiBiCi所成角的正弦值.

21.（12分）在平面直角坐标系，中，中心在原点的椭圆C经过点（-等，1）,其右焦

点与抛物线f=4遍式的焦点重合.

(I)求椭圆c的标准方程；

2

(II)设点MCm,0)为长轴上的一个动点，过点M作斜率为&的直线I交椭圆C于A,

8两点，试判断IMAF+IMBF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

22.(12分)已知函数f(x)=n1+a仇(x-1)，其中"6N*,a为常数.

(J.—

(I)当"=2时，求函数/(%)的极值；

(II)当a=l时，证明：对任意的正整数人当x22时，有Wx-1.

2021年新高考数学模拟试卷（29）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）已知集合4={0,1,2,3},集合8={X||R|W2},则4GB=（）

A.{0,3}B.{0,1,2）C.{1,2}D.{0,1,2,3}

【解答］解：A={0,1,2,3},8={x|-2WxW2},

・・・AG3={0,i,2}.

故选：B.

2.（5分）设i为虚数单位，复数z=半，则z的共轨复数是（）

A.3-2iB.3+2zC.-3-2/D・-3+2i

【解答】解：・.・z=丝2=（2+3旷）=3-2i,

1一『

.*.z=3+2i.

故选：B.

3.（5分）已知向量展，b,其中曲=VL\b\=2,且G-b）La,则会与b的夹角是（）

7T717171

A•—B•一C・-D.一

6423

【解答】解：由向=&，网=2,且值一7）1二

所以（Q—b）・Q=0,即a?—b・a=o,

所以=a2=2,

7%_2_72

所以cos0=

|a|x|6|&x22

又峭0,n],

所以。=%

TT71

即a与b的夹角是一.

4

故选:B.

4.（5分）等比数列{〃”}的前5项的和S5=10,前10项的和Sio=50,则它的前20项的和

520=（）

A.160B.210C.640D.850

【解答】解：由等比数列的性质可知列,S10-S5,S15-Sio,S20-S15成等比数列,

即10,40,515-50,S20-S15成等比数列

可知：其公比为4,

S20=10+40+160+640=850.

故选：D.

5.(5分)在△ABC中，A=60°，AC=a,BC=V6,则C=()

A.30B.45°C.60°D.90°

ab

【解答】解:由正弦定理得:

-si~nA7=~si~nB

1

sinB=2,

sm60°sinB'

又.：a>b,：.A>Bf且OVBVn,

.•.8=30°,

.,.C=180°-A-8=90°,

故选：D.

6.（5分）抛物线b=2px（p>0）的焦点为F,准线为L,A、8是抛物线上的两个动点，

且满足设线段AB的中点M在£上的投影为N,则粤的最大值是（）

J\AB\

231

A.-B.1C.-D.—

326

【解答】解：设\BF\=b,连接AF、BF,

由抛物线定义，得|Af]=|AQ|,\BF]^\BP\,

在梯形ABPQ中，2\MN\=\AQ\+\BP\=a+b.

由余弦定理得，

|AB|2=a2+Z?2-2aZ?cos60°—a2+b2-ab,

配方得，(a+b)2-3ab,

一匕

又•：ab4(——a+)o2,

2

:.Ca+b)2-3而2(。+力)2—确(〃+人)2=i(♦+()2

44

1

得到|AB|N-(a+b).

.Ml

••,S：I,

\AB\

即谒的最大值为

7.(5分)从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张,

则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为()

2335

--C--

A.5B.58D.8

【解答】解：从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1

张，

基本事件总数〃=4X4=16,

抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，分别为：

(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,

4),

则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为p==

故选：D.

8.(5分)已知正四面体ABC。的棱长为次，则其外接球的体积为()

89V28V29

A.-TiB.---71C.---71D.—71

3892

【解答】解：如图所示：

过A作AE_L平面BCD,

由于AB=BC=CD=AD=BD=V3,所以BF=

92

所以BE=耳x2=1，

利用勾股定理的应用解得AE=百=！=V2.

设外接球的半径为r,

则：M+（鱼一「）2=产，解得：，=苧,

所以丫=gx7TX3=为鉴.

故选：B.

多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）“微信运动”是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号用户

通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况.某人根据2018年1月至2018年11月期

间每月离步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列

结论正确的是（）

°1234567891011月份

A.月跑步里程逐月增加

B.月跑步里程最大值出现在10月

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

在A中，2月跑步里程比1月的小，8月跑步里程比7月的小，11月跑步里程比10月的

小，故A错误；

在8中，月跑步里程10月最大，故B正确；

在C中，月跑步里程高峰期大致在9、10月从小到大依次为2月、8月、3月、4月、1

月、5月、7月、6月、11月、9月、10月，故C正确；

在。中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，

故。正确.

故选：BCD.

10.(5分)已知函数f(x)=sinr-cosx,g(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的

是()

A.函数f(x)的值域g(x)的值域不相同

n

B.把函数/(x)的图象向右平移5个单位长度，就可以得到函数g(x)的图象

C.函数/(x)和g(x)在区间(一争-)上都是增函数

D.若xo是函数/(x)的极值点，则xo是函数g(x)的零点

【解答】解：函数/(x)=siar-cosx,g(x)=f(x)=cosx+sinx,

对于A,f(x)=V2sin值域是［一VLV2］；

g(x)=V2sin(x+引，值域是［一夜，V2J,它们的值域相同，所以A错误；

TC

对于8,函数f(x)的图象向右平移万个单位长度，

得尸/(1一方)=V2sin(1一竿)。夜sin(x+/)的图象，不是g(x)的图象，所以8

错误；

对于CfxE(—1)时，X—^6(—0),f(x)是单调增函数；

77"7TTT7T

X6(-J,-)时，(0,一)，gG)是单调增函数；所以C正确；

对于"若X0是函数/(X)的极值点，则g(如)=0,

即xo是函数g(x)的零点，D正确.

故选：CD.

11.(5分)关于函数/(x)=答;，正确的说法是()

A./(%)有且仅有一个零点

B.f(x)的定义域为{x|x#l}

C./(尤)在(1,+8)单调递增

D./(X)的图象关于点(1,2)对称

【解答】解：/（x）=咨=2（*土3=2+冷,作出函数/（X）图象如图:

X—1X—1X—1

由图象可知，函数只有一个零点，定义域为在（1,+8）上单调递减，图象关于

（1,2）对称，

故C错误，

故选：ABD.

12.（5分）棱长为1的正方体A8CD-A山iCbDi中，点M、N分别在线段421、8。上运

动（不包括线段端点），且AM=8N.以下结论正确的是（）

A.AAiLMN

B.若点M、N分别为线段ABi、BC1的中点，则由线MN与A81确定的平面在正方体

ABCD-A\B\C\D\上的截面为等边三角形

1

C.四面体M3CN的体积的最大值为一

24

D.直线DM与直线4N的夹角为定值

【解答】解：A.作NE1BC,MFA.AB,垂足分别为E,F,,:AM=BN,；,NE=MF,

二四边形MNEF是矩形，：.MN//FE,♦.•44|_1_面4（7,EFu面AC,：.AA\±EF,：.AA\

LMN,故4正确；

B.点M、N分别为线段A3、BCi的中点，则由线MN与481确定的平面在正方体A8CZ）

-A1B1C1D1上的截面为△ABC,为等边三角形，故B正确.

C.设BN=XBCi,则WBCN=4SA8CN•MBCW,又AM=BN=XBC\=\ABI,

1、111

:&BCN=2入,dM-BCN=(l-入)1-a，：・VMBCN=QS^BCN，dM-BCN=gA(l-A)<24,

当且仅当；I=3寸取得最大值，故C成立；

D.设BN=XBCi,当人接近于0时，直线QiM与直线AiN的夹角近似于直线。M和直

7T

线A1B的夹角，接近于了当人接近于1时，直线。iM与直线4N的夹角近似于直线

71

DiBi和直线41cl的夹角，接近于金，故。不正确；

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.(5分)设函数/(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x6[0,1]时，“X)=x+2,

,35

则/(?=Y—.

【解答】解：依题意得/(-x)—f(x)且f(x+2)—f(x),

•V3(-)3="-升32)=/(-1)=|i+2=|51

故答案为：

14.(5分)已知(/+1)(X-2)9=。。+。](X-1)+(12(X-1)2+…+〃]](X-1)”,贝！J。]+〃2+。3+…

+mi的值为2.

9211

【解答】解：:已知(M+1)(%-2)=劭+%(%-1)+a2(x-I)+…+an(x-I),

・••令x=L可得。0=-2,

再令元=2,可得0=-2+〃1+〃2+…+Q11,求得QI+42+…+。11=2,

故答案为：2.

15.(5分)己知双曲线--比=1的焦点到渐近线的距离为1,则双曲线的离心率为V2.

m——

【解答】解：根据条件可得』=1,廿=%，则渐近线方程为y=±2r,

故焦点到渐近线距离d==华=b=1,

后c

故c=V2,

所以离心率《=早=V2,

故答案为：V2.

16.(5分)已知函数/(〃)=/i2cos(mt),数列｛的｝满足〃〃=/(〃)+f(n+1)(nGN+),则

a1+〃2+,••+。2〃=-2〃.

【解答】解：函数f(几)=n2cos(mr),数列｛〃〃｝满足即=/(〃)+f(n+1)(nEN+),

a2ksk-1)+f(2k)=-(24一1)2+(22)2=4i-1.

aik="2k)4/(22+1)=(2k)2-(2H1)2=-^k-1.

••a2k-i+a2k=-2.

.•・。1+。2+-・+。2〃=-2n.

故答案为：-2n.

四.解答题(共6小题，满分70分)

17.(10分)在等差数列｛〃〃｝和正项等比数列｛d｝中，671=1,*1=2,且4,ai,1成等差

数列,数列｛加｝的前〃项和为S〃,且S3=14.

(1)求数列｛〃〃｝,｛力,｝的通项公式；

令九〃为=〃〃，求数列｛办｝的前项和为

(2)C=abn，(-1)Cn+Tn.

【解答】解：(1)等差数列｛〃〃｝的公差设为比正项等比数列｛加｝的公比设为q,q>0,

a\=\,bi=2,且bi,az,历成等差数列，

可得2。2=历+历，即2(\+d)=2+2q,B|Jd=q,

数列｛加｝的前"项和为S",且S3=14,可得2+2q+2/=14,解得q=2,4=2,

则an=2n-1,bn=2n；

n+

(2)cn=abn=2'-1,

(-1)ndn=ncn+n=n*2n+l,

则n

dn=2n<-2),

前项和为T,,=2•(-2)+4M+6«(-8)+—+2n«(-2)n,

-232・4+4・(-8)+676+…+2"«-2),,+l,

相减可得3乙=-4+2(4+(-8)+•••+(-2)n)-2〃•(-2),,+1

=-4+2-------■-——--2〃《-2),,+|

1-(-2)

化简可得T„=—1包¥•(-2)"+1.

bcosB]

18.(12分)在①cos2B-V5sinB+2=0②2bcosC=2a-c③展=-^一~^三个条件中任选一

个，补充在下面问题中，并加以解答,

已知aABC的内角A,B,C所对的边分别是a,h,c,若①，且a,h,c成等差数

列，则aABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解答】解：选择①cos28—V5sin8+2=0,

则：1-2sin28-gsin8+2=0,

化为：2sin2B4-V3sinB-3=0,

解得sinB=苧，

又a,b,c成等差数列，

：.2b=a+c,8为锐角.

'.tr—c^+c?,-2accosB—(a+c)2-3ac,

化为：t7—ac.

(写32=ac,可得a=c.

...△ABC是等边三角形.

故答案为：①.

19.(12分)在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项

解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时

间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，

否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的

频率分布直方图.

(1)若甲解密成功所需时间的中位数为47,求心人的值，并求出甲在1分钟内解密成

功的频率；

(2)在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的

概率分别为P.=Pi(言)"-1+与？(〃=i,2,3),其中P,表示第i个出场选手解密成

1010

功的概率，并且P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立.

①求该团队挑战成功的概率；

②该团队以Pi从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派

出的人员数目X的分布列与数学期望.

【解答】解：(1)甲解密成功所需时间的中位数为47,

0.01X5+0.014X5+Z>X5+0.034X5+0.04X(47-45)=0.5,

解得0=0.026,

A0.04X3+0.032X5+aX5+0.010X10=0.5.

解得a=0.024.

•••甲在1分钟内解密成功的频率是尸1-0.01X10=0.9.

(2)①由题意及(1)可知第一个出场选手解密成功的概率为pi=0.9,

第二个出场选手解密成功的概率为P2=0.9X磊+^x1=0.91,

第三个出场选手解密成功的概率为p3=0.9x扁产+告x2=0.929,

该团队挑战成功的概率为/?=0.9+0.IX0.91+0.1X0.09X0.929=0.999361.

②由①知按Pi从小到大的顺序的概率分别为pi,pi,03,

根据题意知X的可能取值为1,2,3,

则P(X=l)=0.9,

P(X=2)=(1-0.9)X0.91=0.091,

P(X=3)=(1-0.9)(1-0.91)=0.009,

...团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列为：

X123

P0.90.0910.009

E(X)=1X0.9+2X0.091+3X0.009=1.109.

20.(12分)如图，已知多面体ABCD-A\B\C\D\,AA\,BB\,CCi,DD\均垂直于平面ABCD,

AD//BC,AB=BC=CD=AA\=CC\=2,=AD=DD}=4.

(I)证明:4cl_L平面COD1C1；

(II)求直线BCi与平面AiBiG所成角的正弦值.

【解答】（I）证明：如图，连接AC,

\'AAi//CCi,且44i=CCi,

二四边形ACC1A1为平行四边形，即4C1〃AC.

又底面A8C£>为等腰梯形，且AB=BC=C£>=2,AD^4,：.AC±CD.

'：CCi_L平面ABCD,ACu平面ABCD,

：.CC\_LAC.

又C0CCC1=C,，AC_L平面CDD\C\,

平面CDD\C\-,

（II）解：法一、由题意得BG=2A/L延长DC,DiCi,AB,481交于点G,取CG

中点M,连接8M,AC.

'：BM//AC//AiC\,BMC平面AiBCi,AiCiu平面ALBCI,

.•.8M〃平面AIBICI,

.•.点B到平面481cl的距离和点M到平面481cl的距离相等.

由（I）知AiCj_L平面CQDiCi,

又AlCiu平面A1B1C,

平面4B1C1JL平面CD£»iCi.

过点M作MH±GDi于点H,则例”_1_平面A\B\C\,

即点M到平面A\B\C\的距离为MH=乎.

设直线BC\与平面A\B\C\所成的角为。,

则sin®=鹘=希=

2,24

即直线BC\与平面481。所成角的正弦值为上

4

解法二、以。为坐标原点，DA所在直线为x轴，过点。且垂直于平面4。囱4的直线

为y轴，所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则8(3,V3,0),4式4,0,2),8式3,痘,1),。式1,取,2),

无1=(-2,0,2),4，i=(-3,V3,0),B2i=(-2,0,1).

设平面AiBiCj的法向量£=(x,y,z),

由「.4&=一3尤+gy=0,令尸］,得屋(L显,2).

71•B1C1=—2x+z=0

设直线BC\与平面A\B\C\所成的角为0,

则sin。=|cos〈BCi，n)\=?£&=

即直线BC\与平面481cl所成角的正弦值为三.

4

21.(12分)在平面直角坐标系xO)，中，中心在原点的椭圆C经过点(-等，1),其右焦

点与抛物线于=4遍%的焦点重合.

(I)求椭圆。的标准方程；

2

(H)设点例(/«,0)为长轴上的一个动点，过点M作斜率为w的直线/交椭圆C于A,

B两点,试判断|MAF+|M3|2是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【解答】解：(I)由题意知椭圆C的两个焦点F[(一通，0),F2(V5,0).

(271=12_

设椭圆C：=l(a>h>0).由市庐-解得，

口—2=55=4

x2y2

故椭圆C的标准方程是土+-=1.

94

(II)由题意可设直线/的方程为y=|(x-m).

(y=l(x-m)

联立J^2y2消去),得，2P-Invc+ni2-9=0.

J+彳=1

因为△=(-2w)2-8(zn2-9)>0,所以m6(-3V2,372).

因为点M(m，0)为椭圆C长轴上的一个动点，所以"店(-3,3).

此时△>().设A(xi,yi),B(A?,”)，则乂1+刀2=瓶，xix2=

222222

于是|AM|+|AfB|=(xt—m)+y/+(%2-m)+泥=挈(石—m)+(x2-m)-

"g"(xl+x2)~+x2)+qm—豆［(%1+x2)~2%1%2〕