北京第一七一中学2021-2022学年高一数学文下学期期末试卷含解析

北京第一七一中学2021-2022学年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（3分）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（） A． y=cos2x B． y=sin2x C． y=tan2x D． 参考答案：B考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．专题： 计算题．分析： 求出四个函数的最小正周期，判断它们的单调性，即可得到结论．解答： A、因为y=cos2x函数的周期为T=，因为f（﹣x）=cos（﹣2x）=cos2x=f（x）函数是偶函数，所以不正确．B、因为y=sin2x函数的周期为T=，因为f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x）函数是奇函数，所以正确．C、因为y=tan2x函数的周期为T=，所以不正确．D、因为y=sin（2x）=﹣cos2x，函数的周期为T=，因为f（﹣x）=﹣cos（﹣2x）=﹣cos2x=f（x）函数是偶函数，所以不正确．故选B．点评： 本题考查三角函数的周期性及其求法，诱导公式的应用，考查计算能力．2.且则cos2x的值是（）A、

B、

C、

D、参考答案：B3.，则(

)A．

B． C． D．参考答案：B4.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则A=(

)A. B. C.或 D.或参考答案：C【分析】根据正弦定理，结合题中数据求出，即可得出结果.【详解】因为，，，由正弦定理，可得，所以或；且都满足.故选C【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于基础题型.5.已知，则sinα=（）A． B． C． D．以上都不对参考答案：A【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】由α的范围，得到sinα的值小于0，进而由cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinα的值．【解答】解：∵，∴sinα=﹣=﹣．故选A【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握同角三角函数间的平方关系sin2α+cos2α=1是解本题的关键．同时注意角度的范围．6.在△ABC中，已知，，则△ABC为（

）A.等腰直角三角形 B.等边三角形C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形参考答案：A【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A＝B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B＝C，A﹣B＝0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．【详解】将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B＝0，即A＝B，已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC）＝（1﹣cosC）+＝1﹣cosC，﹣[cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣cosC，∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣cosC，即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），∴C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形．故选：A．【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7.如图13－5所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()图13－5A．45°

B．60°

C．90°

D．120°参考答案：B8.已知是两条不同直线，、是两个不同平面，下列命题中的假命题是(

)A．若

B．若C．若

D．若参考答案：A由无法得到m，n的确切位置关系.9.函数的定义域是A．(－∞,2)

B．(2,+∞) C．(－∞,1)∪(1,2) D．(－∞,2)∪(2,+∞)参考答案：C根据题设有，故，函数的定义域为，故选C.

10.若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．D参考答案：由条件知f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，则

▲

．参考答案：

；12.已知集合至多有一个元素，则的取值范围

；若至少有一个元素，则的取值范围

。参考答案：，13.设数列是以为首项，为公差的等差数列，数列是以为首项，为公比的等比数列，则=

▲

.参考答案：

14.设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于__________．参考答案：见解析解：，设，，，∴，∴，∴，，∴在是取最小．15.如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C、D，已知为边长等于的正三角形。若目标出现于B时，测得，则炮击目标的距离为

▲

.参考答案：16.下面有六个命题：①函数是偶函数；②若向量的夹角为，则；③若向量的起点为，终点为，则与轴正方向的夹角的余弦值是；④终边在轴上的角的集合是；⑤把函数的图像向右平移得到的图像；⑥函数在上是减函数.其中，真命题的编号是

．（写出所有真命题的编号）参考答案：①⑤17.如图,圆锥型容器内盛有水,水深3dm,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________dm参考答案：【分析】通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积.【详解】作出相关图形，显然,因此，因此放球前，球O与边相切于点M，故，则，所以，,所以放球后，而，而，解得.【点睛】本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某简谐运动得到形如的关系式，其中：振幅为4，周期为6，初相为；（Ⅰ）写出这个函数的关系式；（Ⅱ）用五点作图法作出这个函数在一个周期内的图象．（Ⅲ）说明这个函数图像可由的图象经过怎样的变换得到．参考答案：解：（Ⅰ）这个函数的关系式为：；

4分（Ⅱ）（一）列表：

6分（二）描点；（三）连线；图象如图：

10分（Ⅲ）把函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），然后将所得图象上各点的纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）就可以得到得图象．

14分略19.已知，，的夹角为θ，且tanθ=的值；

（2）求的值。参考答案：解：tanθ=且

（2）因为

略20.（本题满分12分）设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，是和的等差中项．（1）试求的值；（2）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；（3）设数列（），求数列的前项和.参考答案：是和的等差中项．

令则数列的各项都为正数.....................2分令则或数列的各项都为正数.....................4分??............5分21.（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若线段AB的中点为D，且a=1，CD=，求△ABC的面积．参考答案：22.（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1．参考答案：考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．专题： 证明题．分析： （1）欲证C1O∥面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C1O与面AB1D1内一直线平行，连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，易得C1O∥AO1，AO1?面AB1D1，C1O?面AB1D1，满足定理所需条件；（2）欲证A1C⊥面AB1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与面AB1D1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，满足定理所需条件．解答： 证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC且A1C1=AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1=AO，∴AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥AO1，AO1?面AB1D1，C1O?