安徽省安庆市龙潭中学2021-2022学年高三数学文模拟试卷含解析

安徽省安庆市龙潭中学2021-2022学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线=1右支上一点P到左、右焦点的距离之差为6，P到左准线的距离为，则P到右焦点的距离为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：丨PF1丨﹣丨PF2丨=6，则a=3，由c==5，求得双曲线的准线方程为x=±=±，点P到右准线的距离为﹣×2=，根据双曲线的第二定义，点P到右焦点的距离为d=e，即可求得P到右焦点的距离．【解答】解：由题意可知：双曲线=1焦点在x轴上，焦点为F1，F2，则丨PF1丨﹣丨PF2丨=6，即2a=6，则a=3，由c==5，双曲线的准线方程为x=±=±，点P到右准线的距离为﹣×2=，由双曲线的第二定义，点P到右焦点的距离为d=e=×=，故P到右焦点的距离，故选：B．2.已知定义在上的函数，当时，；当时，；当时，，则（

）A．2

B．0

C.-1

D．-2参考答案：A试题分析：当时，，得，故当时，是以为周期的周期函数，，又因为当时，时，，故选A.考点：（1）函数的周期性；（2）函数的奇偶性.3.已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线C右支上一点P满足且，则双曲线C的离心率为（

）A．3

B．

C．2

D．参考答案：D试题分析：设，则，∴，∴，由余弦定理可得，∵，∴，∴，∴．故选D．考点：双曲线的简单性质.【方法点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义、余弦定理的运用，考查向量的数量积公式，综合性较强，是高考中的高频考点，属于中档题．设，则，利用双曲线的定义，可得，利用余弦定理可得，再利用数量积公式，即可求出双曲线的离心率．4.已知球O的面上四点A、B、C、D,

则球O的体积等于（

）

A． B．

C．

D．参考答案：C略5.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有（）A.

240种

B.

300种

C.360种

D.420种参考答案：D略6.将一根钢管锯成三段,焊接成一个面积为,形状为直角三角形的框架,有下列四种长度的钢管供选用,其中最合理(够用且最省)的是（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：C7.已知函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1，x2，x1＜x2，则下面说法正确的是（）A．x1+x2＜2 B．a＜eC．x1x2＞1 D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】对于A：根据对数的运算性质判断即可，对于B：利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a＞e；对于C：f（0）=1＞0，0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，对于D：f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增即可得出结论．【解答】解：∵x1+x2=ln（a2x1x2）=2lna+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2），取a=，f（2）=e2﹣2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，A不正确；∵f（x）=ex﹣ax，∴f′（x）=ex﹣a，令f′（x）=ex﹣a＞0，①当a≤0时，f′（x）=ex﹣a＞0在x∈R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．②当a＞0时，∵f′（x）=ex﹣a＞0，∴ex﹣a＞0，解得x＞lna，∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．∵函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2，∴f（lna）＜0，a＞0，∴elna﹣alna＜0，∴a＞e，B不正确；f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，C不正确；f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=lna，且x1+x2＜2x0=2lna，D正确．故选：D．8.函数f（x）=x+ln（x﹣1）的零点所在的区间为（）A．（1，） B．（，2） C．（2，e） D．（e，+∞）参考答案：A考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：先计算f（1.1）＜0，f（）＞0，根据函数的零点的判定定理可得函数f（x）=x+ln（x﹣1）的零点所在的区间为（1.1，），从而得出结论．解答：解：函数f（x）=x+ln（x﹣1），∴f（1.1）=1.1+ln＜1.1+ln=1.1﹣2=﹣0.9＜0，∴f（）=﹣ln＞﹣lne=＞0，故有f（1.1）?f（）＜0，根据函数零点的判定定理可得，函数f（x）=x+ln（x﹣1）的零点所在的区间为（1.1，），故函数f（x）=x+ln（x﹣1）的零点所在的区间为（1，），故选A．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，不等式的性质，属于中档题．9.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.在复平面内，已知复数z=，则z在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：∵z==，∴z在复平面上对应的点的坐标为（），在第二象限．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，a=3，c=，cosC=，则sinA=，若b＜a，则b=．参考答案：，3

【考点】正弦定理．【分析】由同角三角函数基本关系式可求sinC，由正弦定理可得sinA，可求cosA=±，分类讨论，当cosA=时，可求cosB=﹣＜0，与b＜a，B为锐角，矛盾，舍去，从而利用两角和的余弦函数公式可求cosB，求得sinB，利用由正弦定理可得b的值．【解答】解：∵a=3，c=，cosC=，∴sinC==，∴由正弦定理可得：sinA===，可得：cosA==±，∴当cosA=时，cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC=﹣×=﹣＜0，由于b＜a，B为锐角，矛盾，舍去，∴cosA=﹣，cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC=﹣（﹣）×=，可得：sinB==，∴由正弦定理可得：b===3．故答案为：，3．12.若函数在(0,+∞)内有且只有一个零点，则在[－1,1]上的最大值与最小值的和为

▲

．参考答案：–3分析：先结合三次函数图象确定在(0,+∞)上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数f(x)在[－1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以，，

13.如图所示，是圆的两条切线，是切点，是圆上两点，如果，，则的度数是___________．

参考答案：

略14.已知为虚数单位，复数的虚部是

参考答案：215.在直角三角形中，，，，若，则

．参考答案：16.已知函数f(x)＝2sinxcos|x|(x∈R)，则下列叙述：①f(x)的最大值是1；②f(x)是奇函数；③f(x)在0,1上是增函数；④f(x)是以π为最小正周期的函数．其中正确的序号为________．参考答案：①②④17.若数列{an}是正项数列，且，则=．参考答案：2n2+6n【考点】8E：数列的求和．【分析】由已知数列递推式求出首项，并得到当n≥2时，．与原递推式作差可得数列通项公式，进一步得到，再由等差数列的前n项和求解．【解答】解：由，令n=1，得，∴a1=16．当n≥2时，．与已知递推式作差，得．∴，当n=1时，a1适合上式，∴，则．∴=4（1+2+…+n）+4n=4×=2n2+6n．故答案为：2n2+6n．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）某企业投资甲、乙两个项目的利润率分别为随机变量和．根据市场调查，和的分布列分别为5%10%2%8%12%P0.80.2P0.20.50.3（1）在甲、乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目甲和乙所获得的利润，求方差，；

（2）将万元投资甲项目，万元投资乙项目，表示投资甲项目所得利润的方差与投资乙项目所得利润的方差的和．求的最小值．（注：）参考答案：解析：（1）由题设可知和的分布列分别为

-510P0.80.2

-2812P0.20.50.3

，，，．

6分（2），当时，为最小值．

12分19.如图，在梯形ABCD中，，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，.（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角为，试求的取值范围.参考答案：(1)详见解析；(2).【分析】(1)由题意结合勾股定理和余弦定理可证得BC⊥AC，结合面面垂直的性质定理可得BC⊥平面ACFE.(2)以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由题意可得平面MAB的一个法向量n1=(1,,-λ)，平面FCB的一个法向量n2=(1,0,0)，则cosθ=，结合三角函数的性质可得cosθ∈[,].【详解】(1)在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.又平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC?平面ABCD,∴BC⊥平面ACFE.(2)由(1)知,可分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,令FM=λ(0≤λ≤),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),∴=(-,1,0),=(λ,-1,1).设n1=(x,y,z)为平面MAB的法向量,由,得,取x=1,则n1=(1,,-λ)为平面MAB的一个法向量,易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,∴cosθ=

.∵0≤λ≤∴当λ=0时,cosθ有最小值,当λ=时,cosθ有最大值,∴cosθ∈[,].【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理及其应用，空间直角坐标系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|+|=?（+）+2．（1）求曲线C的方程；（2）动点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线l：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．参考答案：【考点】圆锥曲线的轨迹问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）用坐标表示，，从而可得+，可求|+|，利用向量的数量积，结合M（x，y）满足|+|=?（+）+2，可得曲线C的方程；（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y=，直线PB的方程是y=分类讨论：①当﹣1＜t＜0时，l∥PA，不符合题意；②当t≤﹣1时，，，分别联立方程组，解得D，E的横坐标，进而可得△QAB与△PDE的面积之比，利用其为常数，即可求得结论．【解答】解：（1）由=（﹣2﹣x，1﹣y），=（2﹣x，1﹣y）可得+=（﹣2x，2﹣2y），∴|+|=，?（+）+2=（x，y）?（0，2）+2=2y+2．由题意可得=2y+2，化简可得x2=4y．（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y=，直线PB的方程是y=∵﹣2＜x0＜2，∴①当﹣1＜t＜0时，，存在x0∈（﹣2，2），使得∴l∥PA，∴当﹣1＜t＜0时，不符合题意；②当t≤﹣1时，，，∴l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组，，解得D，E的横坐标分别是，∴∵|FP|=﹣∴=∵∴=×∵x0∈（﹣2，2），△QAB与△PDE的面积之比是