材料有限元分析课件

材料有限元分析课件演示文稿第一页，共六十页。材料有限元分析课件第二页，共六十页。基本要求学习、理解和掌握有限元法的基本原理、基本方法、解题思路及解题步骤；结合教学实验，较好地掌握一种有限元分析工具。第三页，共六十页。

学时安排

总学时 50 课堂教学 30 实验教学 20

学习方法自学为主，课堂教学与实验教学相结合。推荐参考教材1、杜平安，甘娥忠，于亚婷，有限元法—原理、建模及应用，国防工业出版社，20042、王成，邵敏，有限单元法基本原理和数值方法（第二版），清华大学出版社，19973、董湘怀，材料成形计算机模拟，机械工业出版社，20024、王国强，实用工程数值模拟技术及其在ANSYS上的实践，西北工业大学出版社，2000第四页，共六十页。第一章 有限元法的基本概念1.有限元分析法1.1.问题的提出（以结构设计为例）结构设计通常要解决的两类问题强度 经典分析法（如材料力学）：刚度 经典分析法（如弹性力学）：例如：深筒拉伸当d很小时，凸模（成型杆）的强度和刚度能否满足要求？材料在非线性大变形过程中的应力应变怎样分布，成型缺陷可能产生在何处？第五页，共六十页。经典分析法的弱点：（1）靠经验类比（公式中的各种系数）与较大的安全系数来确定结构尺寸和用材；（2）对结构动特性和耦合特性的分析基本无能为力；（3）对设计结果难以把握，一般要通过实验来验证。第六页，共六十页。1.2.2.特点把连续体简化成由有限个单元组成的等效体（物理上的简化），针对该等效体建立的基本方程将是一个代数方程组，而不是原先描述真实连续体的微分方程组。由于不存在数学上的近似，故有限元法的物理概念清晰，通用性较强，能灵活处理各种复杂的工程问题。1.2.有限元分析法（FiniteElementAnalysis，FEA）1.2.1.基本思路将一个连续体的求解区域离散（剖分）成有限个形状简单的子区域（单元），各子区域相互连接在有限个节点上，承受等效节点载荷（应力载荷、温度载荷、流动载荷、磁载荷等）；根据“平衡”条件分析并建立各节点的载荷场方程，然后将它们组合起来进行综合求解，以获得对复杂工程问题的近似数值解。

即：离散化处理 单元分析 整体分析第七页，共六十页。例如：分析一端固定，一端受静力的零件上应力和应变分布情况第八页，共六十页。颜色表示应力分布，形状改变表示弹性形变情况：第九页，共六十页。还可以用动画表示应力和形变的传播：第十页，共六十页。1.2.3有限元分析法应用领域举例固体力学：如线性和非线性静力分析、动力分析或稳定性分析、断裂力学和复合材料力学分析，求解结构的应力、位移、温度分布和频率特性等。流体力学：如不可压缩和可压缩的非粘性和粘性流体分析，求解流场的压力、温度、密度和流速的分布等。传热学：如分析热传导过程，求解热传导速度和温度分布、材料相变等。材料成型：如分析注射（或铸造）过程中塑料（或金属）熔体的流动充模、冷却凝固、温度变化、分子链取向、翘曲变形；板金冲压过程中的应力应变分布、制件起皱、破裂、回弹等。第十一页，共六十页。S型零件的冲压成形第十二页，共六十页。成形过程中的剪切应力变化及分布第十三页，共六十页。手机面板的注射充模过程第十四页，共六十页。铸件凝固过程分析第十五页，共六十页。1.3.有限元分析过程（以结构分析为例）几何参数载荷边界条件材料性能前置处理求解后置处理节点位移清单应力值清单位移图形显示等值线图形显示单元颜色变化图动态图形显示建立有限元模型有限元分析分析结果判定第十六页，共六十页。1.4.有限元分析法存在的问题及发展方向有限元模型的建立有限元网格的自动划分与动态划分－－自适应网格求解过程的优化 减少计算量，降低分析成本。有限元分析结果的判读和评定采用等值线图、明暗色彩、动态图形、过程模拟等直观判读，借助专家系统自动给出或评定临界数据。CAD/CAE/CAM模型的统一面向普通用户，简化建模过程，减少数据转化。第十七页，共六十页。2.预备知识2.1.变分原理（变分法）变分原理含义：求解连续介质问题的一种数学方法。求解连续介质问题通常利用该介质的微分方程（组）在给定边界条件下积分获得。例如一维热传导问题（假设稳定传热，热传导系数取1）：上式的温度场可借助富立叶积分求得近似解。第十八页，共六十页。如果用变分原理求解这类问题，则应首先建立求解问题的积分形式：式中 u－未知函数 F和E－特定的算子 －求解域 －的边界 －未知函数u的泛函（随函数u的变化而变化）此时，如果连续介质问题有解u，则解u必定使泛函对于微小变化u取驻值，即泛函的“变分”等于零 ＝0这就是所谓求解连续介质问题的变分原理。返回53第十九页，共六十页。注意：用微分方程加边界条件求解连续介质问题同用约束或非约束变分法求解连续介质问题是等价的。一方面满足微分方程及边界条件的函数将使泛函取得极值或驻值；另一方面，从变分的角度看，使泛函取得极值或驻值的函数正是满足连续介质问题的微分方程及边界条件的解。应用变分原理的目的：将求微分方程的定解问题转变成求泛函（积分）的驻值问题。第二十页，共六十页。2.2.弹性力学基本方程平衡方程 当弹性体内任一质点沿x,y,z方向的应力达到平衡时，有第二十一页，共六十页。几何方程 在小位移和小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间的几何关系有（几何方程应用）第二十二页，共六十页。本构方程表征应力和应变之间关系的物理方程。本构方程的表达式一：（本构方程应用34，49）第二十三页，共六十页。本构方程的表达式二：域的边界（即弹性体的边界）127(2)38(4)49(6)510(8)(1)(3)(5)(7)6FFFYXZ例如第二十四页，共六十页。面力边界条件位移边界条件（或曰几何边界条件）第二十五页，共六十页。小结：弹性力学基本方程（基本方程应用）第二十六页，共六十页。2.3.虚功方程2.3.1.虚位移方程（位移变分方程）等价于几何微分方程和应力边界条件（虚位移方程应用）第二十七页，共六十页。2.3.2.虚应力方程（应力变分方程）等价于平衡微分方程和位移边界条件第二十八页，共六十页。在有限元法中，常以虚功相等为条件找出一组作用在若干结点上的等效集中载荷Q去代替体力p和面力的作用。例如，采用虚位移方程，有（等效载荷应用）第二十九页，共六十页。2.3.3.最小势能原理最小势能原理的泛函表示：上式表明，在域内满足几何方程，在边界上满足给定位移条件的可能位移中，其真实位移使系统的总势能取驻值（最小值）。泛函总势能取驻值的条件是它的一次变分为零，即

＝0返回42，52第三十页，共六十页。3.预备知识应用举例3.1.平面问题的刚度分析3.1.1.离散处理设构件的厚度非常小，可近似认为该构件为平面（如图）第三十一页，共六十页。3.1.2.单元位移模式与插值函数构件上的每个单元均有3个结点i,j,m，每个结点又有2个位移分量，所以，每个单元有6个结点位移，即6个结点自由度（未考虑转动）。单元位移向量：(e)mji第三十二页，共六十页。平面问题的求解（两种情况）：位移分量是坐标的已知函数只有几个结点的位移分量已知，不能直接求应力和应变分量。为了用结点位移表示应力和应变，必须假设一个位移模式。选用一次多项式代表3结点三角形单元的位移模式几何方程求应变分量本构方程求应力分量第三十三页，共六十页。在i,j,m三点，有运用克来姆法则求解上式并化简转p54第三十四页，共六十页。第三十五页，共六十页。3结点三角形单元位移模式的矩阵形式（位移模式矩阵的应用）第三十六页，共六十页。插值函数（形函数）性质：a.b.单元中任一结点各插值函数之和等于1，即第三十七页，共六十页。3.1.3.应变矩阵和应力矩阵（1）单元应变矩阵由式(1-3)和式(1-17)可得(1-20)中的B即为单元应变矩阵，其分块子矩阵为转到42第三十八页，共六十页。（2）单元应力矩阵将单元应变公式(1-20)代入本构方程(1-4)，可得S即为单元应力矩阵，其分块矩阵为第三十九页，共六十页。注：应力矩阵s和应变矩阵B都是常量矩阵，由此计算出的单元中各点的应力值是相同的。第四十页，共六十页。3.1.4.单元刚度矩阵假设：在外力作用下，单元e的结点i，j，m发生了虚位移，虚位移引起虚应变。因为该单元所受载荷都已移置到结点上了，所以，该单元所受外力只是等效结点力，此时的虚功方程（虚位移方程）为转到41

42第四十一页，共六十页。将应变矩阵B和弹性矩阵D代入(1-27)，即得平面问题3结点三角形单元刚度矩阵。写成分块形式第四十二页，共六十页。单元刚度矩阵性质：对称性，即；奇异性，即单元刚度矩阵不存在其逆矩阵；各行(列)元素之和为0（因在力的作用下，单元处于平衡状态）；主元恒为正，即；

物理意义：若使结点位移，则施加在方向上的结点力必须与同向。(5)单元刚度矩阵元素的值与单元的位置无关；(6)平面几何相似的单元，若材料性质和厚度相同，则它们具有相同的单元刚度矩阵。第四十三页，共六十页。3.1.5.单元等效结点载荷均质等厚单元第四十四页，共六十页。沿ij边均布侧压（方向同x轴正向）pyx0yx0qmijmij第四十五页，共六十页。3.1.6.整体平衡方程构件内任一结点i上的力分布将式(1-26)代入(1-33)，并集合所有结点力的平衡方程，得 K－总刚度矩阵，Q－总结点载荷第四十六页，共六十页。建立整体平衡方程的方法之二（利用最小势能原理）将式(1-20)和(1-26)代入(1-12)，有由泛函取得驻值的必要条件第四十七页，共六十页。3.1.7.引入边界条件(1)零位移约束设某一结点沿某一方向的位移为零（例如），则构件的整体刚度矩阵变成(1-37)特征：总刚度矩阵中与零位移结点对应的对角元素为1，其余为0；载荷矩阵中与零位移结点对应的元素为0。第四十八页，共六十页。(2)非零已知位移约束已知某一结点沿某约束方向位移为，其构件的整体刚度矩阵改变成(1-38)特征：总刚度矩阵中与结点位移对应的对角元素乘以一个大数（如，）；用代替载荷矩阵中的。第四十九页，共六十页。3.1.8.梁的刚度分析（a）离散处理假设：将梁剖分成8个三角形单元；总载荷P；

节点载荷F=P/3，均布(节点6和10受力忽略不计)且垂直X-Z坐标面； 各节点在Z轴方向上的位移忽略不计（前提，z方向的厚度很小），并忽略各节点的旋转。位移边界条件：受力时，节点1和5的X方向位移为0；1、6、5、10的Y方向位移也为0。127(2)38(4)49(6)510(8)(1)(3)(5)(7)6FFFYXZ第五十页，共六十页。（b）单元刚度分析例如针对单元（4）建立的节点受力与位移之间的矩阵表达式：238(4)YX0等效载荷矩阵单元刚度矩阵单元位移矩阵式中的k11～k66分别为2x2阶子矩阵，其子矩阵元素与材料的弹性模量E、泊松系数µ、节点坐标，以及单元厚度t有关。第五十一页，共六十页。（c）总体刚度分析组合单元，得梁的总体受力与变形量之间的矩阵表达式。2x2阶子矩阵第10号节点所受合力第10号节点所受合位移总刚度矩阵第五十二页，共六十页。（d）求解总体刚度矩阵将节点力F=P/3和边界条件（节点1、5的X位移等于0，节点1、6、5、10的Y位移等于0）代入上式，求剩余节点的受力与位移。（e）分析求解结果分析最大受力值并与梁的强度进行比较；分析最大位移值并与梁的刚度进行比较。第五十三页，共六十页。3.2.变温应力的计算3.2.1.平面变温问题（变化的温度场在连续体中引起应力）的本构方程同一般外载荷引起应力的本构方程(1-4)相比，(1-39)用替代了(1-4)中的。返回51第五十四页，共六十页。3.2.1.变温问题的有限元方法第五十五页，共六十页。根据能量泛函极值条件（最小势能原理），有上式就是求解变温引起结点位移的有限元方程。

注：求解变温问题的单元应力时，应将(1-45)的计算结果代回变温问题的本构方程，即第五十六页，共六十页。4.有限元解的收敛性和误差估计4.1.有限元解的收敛准则有限元解的精度主要取决于有限元所建立的位移模式逼近真实位移形态的状况，因此，位移模式（即表征节点位移的插值函数）的选择是关键。位移模式选择的准则：完备性准则 如果出现在泛函(1-12)式中场函数的最高导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数（即近似函数）至少是m次完全多项式。协调性准则 如果出现在泛函(1-12)式中场函数的最高导数是m阶，则试探函数在单元的交界面上必须具有