江西省上饶市广丰实验中学2023年高三数学理模拟试卷含解析

江西省上饶市广丰实验中学2023年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数的最小值是

A．2

B．

C．4

D．参考答案：B2.在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（）A． B．2i C． D．.2+2i参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的几何意义、运算法则即可得出．【解答】解：在复平面内，复数z的对应点为（1，1），∴z=1+i．z2=（1+i）2=2i，故选：B．3.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是 （

） A． B． C． D．参考答案：C4.已知函数为偶函数，且在(－∞,0)单调递增，则的解集为(

)A．(1,3)

B．(－∞,1)∪(3,+∞)

C．(－1,1)

D．(－∞,－1)∪(1,+∞)参考答案：A5.已知有极大值和极小值，则的取值范围为（

）A．

B．C．或

D．或参考答案：C试题分析：，其判别式，解得或.考点：导数与极值．【思路点晴】解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么)在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．6.若复数是纯虚数，则实数a的值为

（

）

A．6 B．—6

C．5 D．—4参考答案：答案：A7.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（

）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁参考答案：B【分析】分别假设甲阅读，乙阅读，丙阅读，丁阅读，结合题中条件，即可判断出结果.【详解】若甲阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁都正确；满足题意；若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意；若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；故选B【点睛】本题主要考查逻辑推理的问题，推理案例是常考内容，属于基础题型.8.设点O是边长为1的正△ABC的中心（如图所示），则（▲）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．F3

【答案解析】D

解析：因为点O是边长为1的等边△ABC的中心，D为BC的中点，两两夹角为120°．所以==．所以（）?（）==+++==﹣．故选D．【思路点拨】由题意求出的长度，推出夹角大小，直接利用向量的数量积求解即可．9.已知（x，y）满足，z=x+ay，若z取得最大值的最优解有无数个，则a=（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．无法确定参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数x+ay=0应与直线BC平行；进而计算可得答案．【解答】解：由题意，的可行域如图：z=x+ay，若z取得最大值的最优解有无数个，最优解应在线段BC上取得，故x+ay=0应与直线BC平行∵kBC=1，∴a=﹣1，故选：B．10.已知函数，其中为自然对数的底数，若有两个零点，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图：中，,,

.参考答案：4由知，而，所以12.设圆，点，若圆O上存在点B，且（O为坐标原点），则点A的纵坐标的取值范围是

。参考答案：略13.设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是．参考答案：（﹣1，0）∪（1，+∞）【考点】导数的运算．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，可判断函数g（x）为增函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，而不等式f（x）＞0等价于xg（x）＞0，分类讨论即可求出【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，即当x＞0时，g′（x）恒大于0，∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，∵f（x）为奇函数∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∵f（x）＞0，∴当x＞0时，＞0，当x＜0时，＜0，∴当x＞0时，g（x）＞0=g（1），当x＜0时，g（x）＜0=g（﹣1），∴x＞1或﹣1＜x＜0故使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）14.已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：3，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的半径为．参考答案：【考点】球的体积和表面积．【分析】设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径．【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：3，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=∴R=．故答案为．15.已知f（x）=ln（1+|x|）﹣，使f（x）＞f（2x﹣1）成立的范围是．参考答案：＜x＜1【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，函数单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＞0，即＜x＜1．故答案为：＜x＜1．16.幂函数经过点，则此幂函数的解析式为

.参考答案：设幂函数为，代入点，所以所以，，填。

17.若实数满足不等式，则的取值范围是

参考答案：[-,2)

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知关于x的不等式的解集不是空集.（I）求参数m的取值范围的集合M；（II）设a,bM,求证：a+b<ab+1.参考答案：（Ⅰ）设函数，则，画出其图象，可知，要使不等式的解集不是空集，需且只需∴的取值范围的集合；

…5分（Ⅱ）∵，∴∵∵，∴，∴.

…10分19.（14分）已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立。设数列的前n项和。

（1）求函数的表达式；

（2）求数列的通项公式；

（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的整数I的个数称为这个数列的变号数。令（n为正整数），求数列的变号数。参考答案：解析:（1）的解集有且只有一个元素，当a=4时，函数上递减故存在，使得不等式成立当a=0时，函数上递增故不存在，使得不等式成立综上，得a=4，…………5分（2）由（1）可知当n=1时，当时，…………10分（3）由题设，递增，即时，有且只有1个变号数；又∴此处变号数有2个。综上得数列的变号数为3。………………14分20.设函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)若当时,求a的取值范围.参考答案：（1）当时，，当时，；当时，时，当时，，增区间，减区间（2）法一:，令，则若，则当时，，为增函数，而，从而当时，，即若，则当时，为减函数，而，从而当时，，即综上得的取值范围为.法二:由当时得:等价于:在时恒成立,等价转化为:恒成立函数的图象恒在函数图象的上方,如图:,由于直线恒过定点，而，所以函数图象在点（0，1）处的切线方程为：，故知：，即的取值范围为.21.设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线．

(Ⅰ)求函数，的解析式；

(Ⅱ)求函数在上的最小值；

(Ⅲ)若对，恒成立，求实数的取值范围．参考答案：见解析导数的综合运用试题解析：（Ⅰ），．由题意两函数在处有相同的切线．

∴∴∴．

，

（Ⅱ），由得，由得，

在单调递增，在单调递减．

当时，在单调递减，在单调递增，

?当时，在单调递增，

；

（Ⅲ）解法一：∵，

恒成立；

∴（①）

（1）当时，，（①）式恒成立；

（2）当时，由（①）得：

令

∴

对恒成立；

∴在区间上是增函数，

∴

即

（3）当时，由（①）得：

令；

∴当时，

，

当时，；

∴在区间上是增函数，在上是减函数，

∴

即

综合（1）（2）（3）可得实数的取值范围是．

解法二：令，

由题意，当，．

，恒成立，，．

，

，由得，．

由得

在单调递减，在单调递增．

?当，即时，在单调递增，，不满足．

当，即时，由?

知满足．

?当，即时，在单调递减，在单调递增，，满足．

∴实数的取值范围是．22.已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.参考