江西省九江市乐观中学2022年高三数学文月考试卷含解析

江西省九江市乐观中学2022年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为()A.

B．0

C．钝角D．锐角参考答案：C略2.已知双曲线（a>0,b>0)的一条渐近线与曲线相切，则该双曲线的离心率为(A)

(B)

(C)2

(D)参考答案：A略3.已知复数满足是虚数单位，则的虚部为（

）A． B． C． D．参考答案：考点：1.复数的概念；2.复数的四则运算.4.的值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.曲线，（为参数）的对称中心（）A.在直线上 B.在直线上C.在直线上 D.在直线上参考答案：B试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.6.执行右图所示的程序框图，输出结果的值是___

．参考答案：1略7.B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是A． B． C． D．参考答案：C8.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是

参考答案：D

9.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（

）

A．

B．

C.

D．参考答案：C10.函数y=（x3﹣x）2|x|图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数y为奇函数，它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0，结合所给的选项得出结论．【解答】解：由于函数y=（x3﹣x）2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知命题“若，则”，则命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是

．参考答案：212.在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，财该五面体的体积为______．参考答案：24.【分析】由三视图得到五面体的直观图，然后根据几何体的结构特征，利用分割的方法求得其体积．【详解】由三视图可得，该几何体为如下图所示的五面体，其中，底面为直角三角形，且，侧棱与底面垂直，且．过点作，交分别于，则棱柱为直棱柱，四棱锥的底面为矩形，高为．所以．故答案为：．【点睛】本题考查三视图还原几何体和不规则几何体体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，解题的关键是由三视图得到几何体的直观图，属于基础题．13.已知幂函数的图象过点，则=______________。参考答案：14.在平面内，|AB|=4，P，Q满足kAP?kBP=﹣，kAQ?kBQ=﹣1，且对任意λ∈R，|λ﹣|的最小值为2，则|PQ|的取值范围是

．参考答案：[2﹣，2+]考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（﹣2，0），B（2，0），P（m，n），Q（s，t），由斜率公式可得P，Q的轨迹方程，对任意λ∈R，|λ﹣|的最小值为2，运用向量的坐标运算，结合二次函数的最值求法，可得m=﹣1，n=±，即P为定点，由于Q在圆s2+t2=4上，连接OP，延长交圆于Q，Q'，则可得|PQ|的最小值为2﹣|OP|，最大值为2+|OP|，进而得到所求范围．解答： 解：设A（﹣2，0），B（2，0），P（m，n），则kAP?kBP=﹣，可得?=﹣，化简可得m2+9n2=4，（m≠±2），设Q（s，t），由kAQ?kBQ=﹣1，可得s2+t2=4，（s≠±2），对任意λ∈R，|λ﹣|的最小值为2，=（m+2，n），=（4，0），即有|λ﹣|2=[（m+2）2+n2]λ2+16﹣8λ（m+2），配方可得最小值为16﹣=4，化简可得3n2=（2+m）2，又m2+9n2=4，解得m=﹣1，n=±，即有P（1，±），由于Q在圆s2+t2=4上，连接OP，延长交圆于Q，Q'，则可得|PQ|的最小值为2﹣|OP|=2﹣=2﹣；最大值为2+|OP|=2+．则有|PQ|的取值范围是[2﹣，2+]．故答案为：[2﹣，2+]．点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，考查曲线的方程和运用，同时考查二次函数的最值的求法，圆的性质的运用，属于难题和易错题．15.已知P(2，m)为角终边上一点，且，则_________．参考答案：

16.若双曲线的左焦点为，右顶点为，为的左支上一点，且，则的离心率是

．参考答案：417.已知函数在处有极大值，则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.证明函数在上是增函数

参考答案：任取，且，则

因为，得

所以函数在上是增函数19.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点.求证：⑴；⑵.参考答案：（1）证明：取的中点，连结因为分别是的中点，所以且在直三棱柱中，，，又因为是的中点，所以且.

…………2分所以四边形是平行四边形，所以，

………………4分而平面，平面，所以平面.

……………………6分（2）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以面，又因为面，所以面面，

…8分又因为，所以，面面，，所以面，

………10分又因为面，所以，即，连结，因为在平行四边形中，，所以，又因为，且，面，所以面，……………………12分而面，所以.……………14分

20.在四棱锥S-EFGH中，，，，，平面平面EFGH，M，N分别为SF，GH的中点.（1）求证：MN∥平面SEH；（2）求E到平面SGH的距离.参考答案：（1）证明见解析（2）【分析】（1）取的中点为，连接，，证明平面平面得到证明.（2））取的中点为，连接，，得到为边长为的正三角形，计算其面积，利用等体积法，计算得到答案.【详解】（1）取的中点为，连接，，∵，分别为，的中点，∵，，∵平面，平面，平面，平面，∴平面，平面，∵平面，平面，，∴平面平面，∴平面（2）取的中点为，连接，，∵，∴，，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵，，∴，∴平行四边形，∴，∵，，∴，，在中，，在中，，∴为边长为的正三角形，∴，设到平面的距离为，∵，解得，∴到平面的距离为【点睛】本题考查了线面平行，点到平面的距离公式，利用等体积法可以简化运算，是解题的关键.21.已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当x≥1时，求证：不等式ex﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出答案（Ⅱ）f（x）﹣=f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，F′（x）=，由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）原不等式等价于ex﹣1≥xlnx+1，设φ（x）=ex﹣1﹣xlnx﹣1，x≥1，利用导数求出函数的最小值大于等于0即可【解答】解：（Ⅰ）∵x＞0，f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a，f（1）=0，∴切点是（1，0），∴切线方程为y=（1﹣a）（x﹣1），（Ⅱ）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，∴F′（x）=，①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）上递增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，∴g′（x）在（1，）上递增，从而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．③若a≥，F′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）上递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，从而g（x）在[1，+∞）上递减，∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣≤0，综上所述，a的取值范围是[，+∞）．（Ⅲ）不等式ex﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1等价于ex﹣1﹣a（x2﹣x）≥xlnx﹣a（x2﹣x）+1，等价于ex﹣1≥xlnx+1，设φ（x）=ex﹣1﹣xlnx﹣1，x≥1，∴φ′（x）=ex﹣1﹣（1+lnx），x≥1，再设m（x）=ex﹣1﹣（1+lnx），∴m′（x）=ex﹣1﹣≥0恒成立，∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴m（x）min=m（1）=1﹣1=0，∴φ′（x）≥0，在[1，+∞）上恒成立，∴φ（x）在[1，+∞）上单调递增，∴φ（x）min=φ（1）=1﹣0﹣1=0，故ex﹣1≥xlnx+1，故当x≥1时，不等式ex﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1成立22.为了缓解高考压力，某中学高三年级成立了文娱队，每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．(1)求文娱队的人数；(2)求的分布列并计算．参考答案：解：设既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队中共有人，那么只会一项的