2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年全国统一考试数学文史类(新课标全国卷I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合{1,2,3,4，＝|＝}，则＝( )．A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} 12i2．(2013课标全国Ⅰ，文1 i211i

1 11+i 1+i1+

11iA． 2 B． 2 C． 2 23．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概是( )．1 1 1 1A．2 B．3 C．4 6课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线x2a2

y2b2

的离心率为 ，则C的渐近线方程525为( )．1x 1x 1xA．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝±x5(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题∀R,2＜3；命题＝－2，则下列命题中为真命题的( )．A．p∧q p∧q q D．p∧q26．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为 的等比数{a}的前n项和为3 nS，( )．nA．Sn＝2an－1 2an7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的输出的s属( )．A．[－3,4] C．[－4,3] 8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O为坐标原点F为抛物线：2＝4 2x的焦点P23为C上一点，4 ，则△POF的面积( )．232A．2 22

C．2

D．49．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数x在[－π，π的图像大致( )．10(2013课标全国Ⅰ，文10ABC的内角C的对边分别为c23co2＋cos0，则)．D．511．某几何体的三视图如图所 示，则该几何体的体积( A．16＋8πB．8＋8πD．8＋16π12．已知函数的取值范围( )．A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[－2,1] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

x22x,xln(x1),x0.

若|f(x)|≥ax，则a已知两个单位向量的夹角为若则.1x3,设满足约束条件1xy0,则的最大值．已知H是球O的直径AB上一点平面α，H为垂足截球O所得截面的面为π，则球O的表面积．设当时，函数x－2cosx取得最大值，则cosθ＝ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．12a}的前nS满足S＝0，S＝－5.求{an

n n 3 5 1 求数列 的前n项和．a2n1a2n112A20者服用A位患者服用B40h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？12BC，∠BAA＝60°.1

111 1 16若，求三棱柱BC的体积．61 111(本小题满分12分)已知函数(＝ea24，曲线＝)处的切线方程为(1)求的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．21．12分)已知圆1)＋，圆－12＋2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线(1)求C的方程；(2)l是与圆，圆M与曲线C交于两点，当圆P(22)(23)(242B10如图，直线AB为圆的切线，切点为，点C的角平分线BE交圆于点垂直BE104—4：坐标系与参数方程已知曲线C1

x45cost, 的参数方程为 (t y 5 5sint数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2

ρ＝2sinθ.把C1

的参数方程化为极坐标方程；求CC1

ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.当2 2设且当a12 22013年全国统一考试数学文史类(新课标全国卷I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解析：∵＝{＝，∈}{1,4,9,16∴A∩B＝{1,4}．2．答案：B 解析：12i 12i12ii

11+ i.1i23．

2i 2 2 2答案：B解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件1数是2，所以所求的概率为3.4．答案：C5e c5

c255解析：∵ ，∴ ，即 5解析：∵ ，∴ ，即 b21 b1∵22，∴ .∴ .a2 4 a 2∵双曲线的渐近线方程为ybx，a1∴渐近线方程为y2x.故选C.5．答案：B解析：由2＝30p为假命题．令＝31，∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，∴31＝0在(0,1∴R＝－，即命题q为真命题．由此可知只有q为真命题．故选B.6．答案：D12aa1qn aaq 3 n

1 1 n

＝3－2a，故选D.n7．答案：A

1q 1q 12 n3解析：当时，，则当1≤3＝－.∵该函数的对称轴为t＝2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴s＝4，s＝3.max min∴s∈[3,4]．综上知s∈[－3,4]．故选A.8．答案：C解析：利x P

4 ，可得x＝3 .222P222∴y＝

163.∴S＝|＝2 .63P故选C.答案：C

△POF 2 P9．解析：x)sinx知其为奇函数．可排除B．当0,π排除A. 2当(0π′(＝sin＋cos(1cos)＝－2cocos＋1.x

2π.3x10．答案：D

2π，可排除D，故选C.31解析：由23co＋cos＝0，得co2＝ .250,π，∴cos1. 2 536b249 13∵cos或b ()．25故选D.11．答案：A解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．1V半圆柱＝2π×22×4＝8π，V ＝4×2×2＝16.长方体所以所求体积为16＋8π.故选A.12．答案：D解析：可画出|f(x)|的图象如图所示．恒有公共点，所以排除恒成立．若≤0，则以＝ax与＝|－2＋相切为界限，yax, 由 得－(＋2 y x2 2x,∵Δ(2)＝0，＝2.∴a∈[－2,0]．故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．4513．答案：2解析：＝0|＝1〉＝60°，＝1111.2 2即－＝0.∴1t2∴t＝2.14．解析：画出可行域如图所示．画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3.9π2解析：如图，O的半径为2R则，3R.3又∵π·E2πE1.R2 9∵在RtOEH＝

+2，＝.3 839π∴S＝4π2＝ .2 55球 2 555解析：∵f(x)＝sinx－2cosx＝555255其中sinφ＝ ，cosφ＝

sin(x－φ)，5 5π当＋ 时取最大值．2π π即θ－φ＋ (k∈Z)，θ＋ ＋φ2∴cosθ＝cosπ

25＝－sinφ＝2 .5 5三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．解：(1)设{a}的公差为S＝

n(n1)d.n3a

n 1 23d0,由已知可得 15a10d5,1a1故{a}的通项公式为an n1 1(2)由(1)知 ＝

1 1

1 ，a a2n12n1

32n12n

22n

2n1 1 从而数列

aa2n1

n项和为a2n1an＝12n.

解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得 1x＝

(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3， 1y＝

(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.xy，因此可看出A(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：7 7从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有10的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有10的0,1上，由此可看出A证明：取AB的中点，连结，A1 1因为CA＝CB，所以OC⊥AB.，∠BAA＝60°，1 1故△AAB为等边三角形，1OA1OA1 1AC平面OA，故1 1 1与△AAB2313所以＝ .616A1OA1

，则A＝O2＋OA2，1 1OA⊥平面为三棱柱B

的高．31 1 1113又△ABC的面积S＝

，故三棱柱B

的体积V＝S

×OA＝3.

△ABC

111

△ABC 1解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)4e＋124， 1ex2. 2从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)＜0.2)，(－ln2－2，－ln当＝2时，函数()取得极大值，极大值为－24(－－M的圆心为rN的圆心为r＝3.设圆P的圆心为1 2y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以)＋(r＋r＝4.31 2 1 23由椭圆的定义可知曲线C是以为左、右焦点，长半轴长2，短半轴长为 的椭左顶点除)，x2 y2其方程为 =1(x≠－2)．4 3对于曲线C上任意一点当且仅当圆P(2,0所以当圆P2)＋24.3若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可2 .3lr≠R知l不平行于xl与x轴的交点为

|QP

R14,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．

|QM| r1l与圆M相切得

||

＝1，解得 .1k1k2222当时，将 2 y2当时，将

x2

y2=1

462代入 2代入 1k1k2，并整理得2＝，解得＝

1,2 7所以|x－x|＝ .2 1 72当 时，由图形的对称性可18.24323

718或.7(22)(23)(242B证明：连结BC于点故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，DE由勾股定理可得(1DGBC的中垂线，3所以.32DE的中点为，连结所以CF⊥BF，3故Rt△BCF外接圆的半径等于 .32x45cost, y 5 5sint

消去参数4)5)22，1即C22－－11＝0.1xcos,将ysin

代入22－－11＝0得

2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1

的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2

的普通方程为＋－20.x2y28x10y160,由x2y22y0x1, x0, 解得 y 1 y 2.C

交点的极坐标分别为

2,π，2,π.1 2 4 2