数学欣赏-08数学之问-c哥德巴赫猜想

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Mathematics数学之问简明深刻问题是数学的心脏，是数学发展的动力.数学的历史就是数学问题的提出、探索、解决的历史.通过一幕幕历史镜头生动地再现一些数学问题的缘起、产生、发展、争端，直至最终解决的各个历程，可以了解数学家如何提问？如何思考？关注什么？意义何在？对于正确认识数学的本质具有重要意义.希尔伯特说……只要一门学科分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境地。本章内容古代几何作图三大难题1费马大定理2哥德巴赫猜想3四色猜想4庞加莱猜想5千禧年七大数学难题6第三节Goldbach猜想高斯说……

数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的很深。背景1数的分解问题

整数的分解与分拆：对于乘法，

算术基本定理：任一自然数都可以唯一分解为若干个素数之积。数的分解问题

对于加法，人们也可以研究自然数的构成：将一个自然数写成若干个较小的自然数之和，这个过程叫做数的分拆。其结论是极其复杂的。如：

5=5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1一般地，如果用p(n)表示整数n的加法表示种数，则它往往是一个很大的数。

P(1)=1,P(2)=2,P(3)=3,P(4)=5,P(5)=7,P(6)=11,P(7)=15,P(8)=22,…，

P(100)=190,569,292（1亿9千万）

P(200)=3,972,999,029,388(4万亿)。可见，如果不加以限制，这样的问题是复杂的，也是没有太大意义的。于是，人们研究各种限制下的整数分拆问题。这类问题被华罗庚称为“堆垒数论”。华罗庚这里面第一个问题就是分拆为方幂和的问题。1770年，法国数学家拉格朗日(Lagrange,1736—1813)证明了：

每个正整数都是不超过四个正整数的平方和，也是不超过九个正整数的立方和，还是不超过十九个正整数的四次方和。对于这种形式的分拆，德国数学家希尔伯特(Hilbert,1862—1943)证得：

对任一正整数k，都存在一个正整数c(k),使得每个正整数都是c(k)个正整数的k次方和.但是，他并不知道c(k)的具体大小。对于偶数，一个明显的分拆是可以写成两个奇数之和。而任意奇数都可以分解为若干个奇素数之积，因此可以肯定：每一个大于4的偶数都是“若干(m)”个奇素数的积加上另外“若干(n)”个奇素数的积。这里的“若干(m或n)”都可以限制为1,即“n>2时，2n=p+q,其中，p,q是素数”问题:这里的“若干”能不能有个限度。哥德巴赫经过大量的验算后猜想：Goldbach猜想2德国数学家，毕业于哥尼斯堡大学。住俄罗斯公使，业余时间研究数学,后任圣彼得堡科学院教授、院士。从1729年起，哥德巴赫和瑞士著名数学家欧拉经常通信讨论数学问题。哥德巴赫（C.Goldbach，1690--1764）公元1742年6月7日，住在圣彼得堡的哥德巴赫在给欧拉的信中提出：“我不相信关注那些虽没有证明但很可能正确的命题是无用的。即使以后它们被验证是错误的，也会对发现新的真理有益。比如费马的……。我也想同样冒险提出一个猜想：如果一个整数可以写成两个素数的和，则它也是许多素数的和，这些素数像人们所希望的那么多，……。看来无论如何，任何大于2的数，都是三个素数的和（注：当时认为1也是素数）。例如：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3；5=2+3=1+1+3=1+1+1+2=1+1+1+1+1”同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中指出“每一个大偶数都是两个奇素数之和，虽然我不能完全证明它，但我确信这个论断是完全正确的。”“每一个大于或等于9的奇数都是三个奇素数之和。”哥德巴赫猜想每一个大于或等于6的偶数都是两个奇素数之和。简称（1+1）：“1”个素数加（+）“1”个素数；观察以上两句话，我们会发现:第一句是基本的，第二句可以由第一句导出。这第一句话就是后人所称的哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想引起了众多数学家和业余数学爱好者的极大兴趣，但它的证明极其困难，直到19世纪末的160年间，没有取得实质性进展。毫无疑问，证明或否定哥德巴赫猜想，是对历代数学家智慧与功力的严峻挑战。它的魅力就在于：简单而艰深!Goldbach猜想的研究31.研究方向兰道的方向：1912年，德国数学家兰道在第五届世界数学家大会上指出：即使要证明较弱的命题：“每一个大于4的偶数都是m（m是一个确定整数）个奇素数之和。”也是现代数学力所不及的。1.研究方向18年后，一位苏联数学家证明：这样的m一定是存在的！这为人们提供了第一个研究方向。1.研究方向

因子哥德巴赫问题方向先证明：对于某个具体的m,n,每一个大于4的偶数都是不超过m个奇素数的积加上另外不超过n个奇素数的积，简称(m+n)。

2N=p1p2…pj+q1q2…qk,(j≤m,k≤n)然后再一步一步地减小m,n,最后降到m=n=1时(2N=p1+q1)，就完成了证明。2.研究方法筛法；圆法；三角和法筛法：两千多年前古希腊学者爱拉托士散纳(Eratosthenes)创造了一种得到素数的方法：在纸上由2开始顺次写下足够多个自然数，将其中2的倍数（当然不包括2，下同）都划掉，然后是3的倍数，5的倍数……如此往复，则最后剩下该范围内所有的素数。筛法就是以这种方法为基础演化而来的。123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100圆法：圆法是在20世纪20年代，由英国数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)与李特伍德(Littlewood,1885-1977)系统地开创与发展起来的研究堆垒素数论的方法.1923年，他们利用“圆法”及一个未经证实的猜测——黎曼猜测证明了任一充分大的奇数都是三素数之和．圆法内容比较复杂，此处不予介绍。三角和法：20世纪30年代，苏联数学家维诺格拉托夫创造了一种“三角和法”。1937年，维诺格拉托夫本人利用“圆法”及他自己创造的“三角和法”基本上证明了“任一充分大的奇数都是三素数之和．”3.研究进展兰道的方向：1930年,苏联25岁的数学家史尼尔勒曼证明了命题“每一个大于4的偶数都是m个奇素数之和”并估计这个数m不会超过800000.1935年m2208(苏联罗曼诺夫)1936年m271(德国海尔布伦,兰道,等)1937年m267(意大利里奇)1950年m220(美国夏彼罗,瓦尔加)1956年m218(中国尹文霖)1976年m26(旺格汉)因子哥德巴赫问题先证明：对于某个具体的m,n,

每一个大于4的偶数都是不超过m个奇素数的积加上另外不超过n个奇素数的积，简称(m+n)。

2N=p1p2…pj+q1q2…qk,(j≤m,k≤n)

逐步缩小m,n,最后降到m=n=11920年，挪威数学家布龙率先证明了（9+9）;1924年，德国数学家雷德马赫证明（7+7）；1932年，英国数学家埃斯特曼证明（6+6）；1937年，意大利数学家黎丝证明了(5+7）,(4+9)等；1938年和1940年，苏联数学家布赫斯塔勃先后证明了（5+5），（4+4）；1957年，我国数学家王元证明（2+3）；1962年，我国数学家王元与潘承洞证明（1+4）；1965年，前苏联数学家维纳格拉托夫等分别独立证明了（1+3）；1966年，我国数学家陈景润证明了（1+2）:

2n=p+q,或2n=p+q1q2至此，离哥德巴赫猜想（1+1）的证明只有一步之遥。陈景润与Goldbach猜想4陈景润（1933—1996）中国当代著名数学家1933年5月22日出生于福建省从小酷爱数学，学习刻苦，成绩优秀在高中时期，沈元老师教他数学,沈老师向学生介绍了“Goldbach猜想”，并补充说：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠，而Goldbach猜想是皇冠上的明珠。”陈景润对哥德巴赫的研究1966年5月，陈景润经过7个寒暑的艰辛研究，依靠他超人的勤奋和顽强的毅力证明了（1+2）：每一个充分大的偶数都是一个素数加上另外不超过2个素数的积。他的论文手稿长达200多页，没有全部发表。经过压缩整理，1973年正式发表。这一研究成果在国际数学界引起极大反响，在国内家喻户晓。英国数学家哈