2023届湖北省腾云联盟高三年级上册学期8月联考数学试题（解析版）

2023届湖北省腾云联盟高三上学期8月联考数学试题

一、单选题

1.已知集合”={X|2，>4},N={X，<9},则MnN=()

A.{x|2<x<3}B.{x|x>2}

C.{x|x<3}D.{x|-3<x<2}

【答案】A

【分析】先化简集合，再根据交集的定义计算即可.

【详解】-：M=(x\2x>4\={x\x>2\,N={X\X2<9}={X|-3<X<3}

.♦.MnN={x[2<x<3}

故选：A

2.已知复数z=(a—i)(-2+i)为纯虚数，则实数。=()

A.--B.--C.gD.-2

232

【答案】C

【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可.

［详解］z=(«-i)(-2+i)=(-2a+l)+(a+2)i,

因为复数z为纯虚数，

所以.八，即a=g.

［Q+2W02

故选：C

八.兀5兀.3兀7兀/、

3.sin-cos—+sin—cos—=()

8888

A.1B.-1C.—D.--

22

【答案】B

【分析】根据互补正弦值相等，结合两角和的正弦公式即可求解.

【详解】•.•sing=sin萼,sin^=sin寿，故

XXXo

.兀5兀.3兀7K.7兀5兀.5兀7兀.(7兀5兀、.3兀.

sin—cos—+sin—cos——=sin—cos—+sin—cos—=sin—+—=sin—=-1

88888888I88J2

故选：B

4.已知正四棱台上底面边长为2,下底面边长4,高为3,则其表面积为（）

A.36B.12V10+20

C.12713+20D.48

【答案】B

【分析】先求出侧面上的斜高，再求出正四棱台的上、下底面的面积和侧面积，由表面

积公式即可得出答案.

【详解】设正四棱台上、下底面的中心为。,a,c。为侧面上的斜高，

过C作CE，0Q交边0Q于点E,

所以O0=3,OC=l，a£>=2,

所以。£>=>/^工1=师，

所以正四棱台的上、下底面的面积为：H=22+42=20,

正四棱台的侧面积为：S=------x\/10x4=12V10,

22

20+12而.

则其表面积为：s=st+s2=

故选：B.

oC

O1uE\D

5.在平行四边形ABC。中，E是8c的中点，F是AE的中点，则前=()

C

AOB

1—3——1.3.

A.-AD--ABB.——AD——AB

2424

3—1—

C.-AD--ABD.——AD——AB

4242

【答案】D

【分析】因为方=丽+前,分别用ADA8表示出CEE尸，代入即可得出答案.

【详解】因为E是8c的中点，尸是AE的中点，

____.1

所以存'=区+瓯，WCE=--AD,

EF^-EA=-（EB+BA]=-（-DA+BA[=--AD--AB,

22、，212J42

所以丽=屋+酝=-，AZj_』A力一，A/j=—上AZi-’A氏

24242

故选：D.

6.高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的

加法，幕是重复的乘法.定义：=&七二£=',二个4（从右

b^ab^a

个个

往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为1（）82,则下列各数中与土434

T

最接近的是（）（参考数据：怆2=0.3）

A.1061B.1064C.IO71D.1074

【答案】C

【分析】根据高德纳箭头表示法即可求解

4M3=4m4=4T（4T4）=4T4、"256=42%,进而根据对数的运算与指数的互化

3i4

即可求解.

【详解】因为4M3=色%="256=4256,故位2=*取对数得

34MT10

j256A256

lg-^y=5121g2-82«512x0.3-82«71.6,故而yalO，*,故最接近的是10九，

故选：C

7.已知直线/是曲线y=lnx与曲线y=/+x的一条公切线，直线/与曲线y=/+x相

切于点（",/+“），则〃满足的关系式为（）

A.cr+l-ln（2«+l）=0B.a2+l+ln（2a+l）=0

C.a2-l-ln（2a+l）=0D.a2-l+ln（2a+l）=0

【答案】C

【分析】求导，根据切点处的导数值为切线的斜率，以及由两切点的坐标，根据两点问

斜率公式，即可列出方程求解.

【详解】记y=/（x）=lnx得r（x）=g,记g（x）=/+x得g'（x）=2x+l,设直线/与曲线

―伍）=短（a）

f（x）=lnx相切于点（皮晒，由于/是公切线，故可得Jg（a）-/g）_,

—=2。+1

M化简得/-i_in(2a+l)=(),

即

a~+a-\nh，/、

---------------=g'(a)=2a+\t

a-b

故选：c

8.在三棱锥P—ABC中，NPAC=NPAB,AC=2AB=4,PA=PB=夜，BC=2>5,

则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（）

644.68]

A.22万B.267VC.-----D.——

33

【答案】A

【分析】根据勾股定理可判断A以8是等腰直角三角形，从而求出N%C,在中

利用余弦定理求出PC,根据勾股定理可判断PB_LPC,从而可知P8_L平面附C,从而

可将三棱锥补为以△以C为底面的直三棱柱，外接球球心即为直三棱柱上下底面三角形

外接圆圆心连线的中点，根据几何关系即可求解.

【详解】

PA1+PB-=AB2^>PA±PB,且NPA8=45-，

二ZPAC=ZPAB=^,

在△山C中，根据余弦定理得,

PC2=AC2+AP2-2ACAPcos^PAC=\6+2-2x4xy/2x—^\0,

2

PB-+PC2=2+10=12=叱，

/.PBLPC,

又PAnPC=尸，PAPCu平面出C,

平面B4C,

故可将三棱锥B-APC补为直三棱柱SC-尸4。,

则直三棱柱BAG-PAC的外接球即为三棱锥尸-48C的外接球,

设AB4c外接圆圆心为。2,△A8G的外接圆圆心为。.则直三棱柱的外接球球心为

。02中点O,OA即为外接球的半径.

…_PC_c后

在△BAC中，根据正弦定理可得JA-sin/PAC-&-，，O2A=石,

T

2

」

...OA2=OO；+O/2=+O^A2=+5

2

二外接球表面积为：4兀。*=4兀x"=22兀.

2

故选：A.

二、多选题

9.集成电路产业是信息产业发展的核心，是支撑经济社会和保障国家信息安全的战略

性，基础性和先导性产业.下表统计了2015-2021年我国集成电路市场规模及同比增长情

况，关于2015-2021年我国集成电路市场规模的下列说法正确的是（）

11024

匚二I市场规模同比增长率

2015-2021年我国集成电路市场规模（单位：亿元.%）

A.集成电路市场规模逐年增长

B.同比增长率的平均数不超过20%

C.集成电路市场规模同比增长率最高的年份是2017年

D.集成电路市场规模的中位数小于极差

【答案】ACD

【分析】由图中信息可判断A,C；计算同比增长率的平均数、中位数和极差可判断B,

D.

【详解】对于A,由图可知，集成电路市场规模逐年增长，故A正确；

对于B,同比增长率的平均数为：

-20.10%+24.79%+20.71%+15.77%+17.01%+24.59%「丁」

x=-------------------------------------------------------------------------=20.495%＞20%,故B不正

6

确；

对于C,集成电路市场规模同比增长率最高的年份是2017年，为24.79%,故C正确;

对于D,集成电路市场规模的中位数为：6532,

集成电路市场规模的极差为：11024-3610=7414＞6532.故D正确.

故选：ACD.

10.己知函数/（x）=Asin（（yx+c）（力＞0,。＞0,0＜。＜兀）的部分图象如图所示，则（）

A.A=2B.co=2

D.〃叫）=->/§

【答案】ABD

【分析】由函数的最值可求A,根据周期可求。，由最低点的坐标可求9,进而可得/（x）

的表达式，代入/（例＞）即可求解.

【详解】由图中最低点可知：4=2,又周期T=（£-g）x4=n=0=竽=2,

再根据普）=25也（2*2+夕］=-2==+9=当+2版，故e=f+2E,由于

\12J\\2）623

TT

0＜夕＜兀，取左=（）,因此

夕）=/（2x方）=2sin（?+］）=2x_曰）=_g,

故ABD正确，C错误，

故选：ABD

11.已知双曲线C:/-£=l的左、右焦点分别是士，鸟，点P是双曲线C右支上的一

24

点，且玲，则下列结论正确的是()

A.双曲线C的渐近线方程为〉=±2"》

B.耳心内切圆的半径为2

C.忸耳|+|「闾=12

24

D.点P到x轴的距离为w

【答案】ABD

【分析】由双曲线的标准方程求出渐近线方程即可判断A；因为尸鸟，对

归4-俨闾=2两边同时平方结合勾股定理可求得|做|俨闾=48,再由

|尸制+|尸用=J|W1+|PE|2+2|P用归用代入可判断c；由、>+4用=2求得

△尸耳耳内切圆的半径可判断B；由等面积法可判断D.

2

【详解】解：由双曲线C的方程V—工=1,得a=l,b=2屈,c=5,所以双曲线C的

24

渐近线方程为y=±2遥x,A正确；

因为尸尸口尸工，归与一归用=2,旧用=2r=10,所以|P用2+归因2=向闻2=]0o,

附f+|P球-2附||「闯=|耳闾J2阀旧闻=%解得|P3P司=48,故

归用+|尸用=Jp/消+|列珠+2归用户周=400+96=14,C错误；

△P片耳内切圆的半径为幽士但生因=2,B正确；

2

设点P到X轴的距离为d,由大鸟的面积为闿因=24,可得度iU=24,解得

22

,24

a=—.

5

故选：ABD.

12.已知函数/(x)=(x—Q)(x—))(x—c)的三个零点。，b,c满足av0<c,

\a+b+c=9

b”则()

[ab+bKc+ca=24

A.0<a<lB.2<Z?<4

Q

C.4<c<5D.仅一4)(c-4)的最小值是

【答案】BC

【分析】结合导数以及二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】由题意,函数/(x)=(x5)(x-6)(x—c),

/(x)=x3-(«+Z>+c)x2+^ab+bc+ca)x-abc

=x1-9x2+24x-abc，

f(x)=3(x-2)(x-4),

令/(x)>0,得x<2或x>4,令/(x)<0,得2Vx<4,

所以/(x)的极小值在x=4处取得，极大值在x=2处取得，

即“X)的极小值为"4)=16-a%,“X)的极大值为〃2)=2()-必c,

又因为/(l)=16_"c=/(4),/(5)=2()_"c=/(2),

而函数y=/(x)的三个零点分别为。，b,c,且a<6<c,

所以2<b<4,4<c<5,故A错误，B、C正确；

由题中条件可知人+c=9-a,

Z?c=24-a(/?+c)=24-a(9-a)=a2-9a+24,

因止匕(b-4)(c-4)=bc-40+c)+16

=a2-9a+24-4(9-a)+16

=a2-5a+4,

因为函数y=r-5x+4在(1,2)上单调递减，

所以当aw(l,2)时，/-5a+4>22-5x2+4=-2

所以D错误.

故选：BC

三、填空题

13.若函数/(x)=2'+a'(a>0MWl)是偶函数，则。=.

【答案】我5

【分析】根据偶函数满足/(幻=/(-力，进而可得2T+G'=2，+优，化简即可求解。的

值.

【详解】由题意知：/（x）=/（—x）n2-*+aT=2"+/,同乘以2,罐得

2'+/=（2'+优）2*优,2'+优丰0,2xax=l,故2a=1na=g,

故答案为：y

14.k-£|（工+2）5的展开式中V项的系数是.

【答案】50

【分析】依题意可得，-4+2）5=/（》+2）5_#+2）5,再写出（x+2）s展开式的通

项，即可求出展开式中V项的系数.

【详解】依题意：［2-。（*+2）'=/（工+2）5-:（》+2）5,

其中（x+2）’展开式的通项为Tr+i=C；•V，2,，0</<5,reZ,

所以展开式中含d的项为/•C；•产4.24--C；-X5-1-21=50x3,

X

所以展开式中V项的系数是50.

故答案为：50

15.记数列｛%｝的前八项和为S“，若见=产^,则使得S“取得最小值时〃的值为

3〃一49

【答案】16

【分析】根据数列的单调性，即可判断S”的最小时〃的值.

,2〃,日2981+1

【详解】由“不而得〃小寸丁='当间6时，单调递减，且

3A?-49

1

<0,

3/1-49

当〃=1时，4<0,故当〃<16时，。“<0,当〃之17时，--->0,且%>。,

-49

所以当〃=16时，S“最小.

故答案为：16

四、双空题

16.已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线/与R轴的交点为“，抛物线C的焦点为尸,

过点H的直线与抛物线C交于4（肉,）,3（々,巴）两点，忸耳=4|力用，则士=

x\

若48的中点到准线/的距离为2三5，则片_________.

4

【答案】164

【分析】由题可得以=4%,可设直线方程与抛物线联立，可得)，,*=",根据抛物线方

22

程可得」x=16,X.X,=44.进而可得不=£,X2=2°，再结合条件即得.

X4p-8

【详解】由题可知”(-§0),设直线A8:x=)-g代入抛物线方程可得，

y2-2p(y+p2=0,则乂%=。2，

因为忸同=4|AF|,

22

所以＞2=4%,又药=?,工2=注，

2P2P

y"

...上=%=16,王尤,=^p^=q=16x；,

玉g4p24

2P

&=，，%=2p，

o

25

又AB的中点到准线l的距离为—，

4

.x.+xp2525

..--2+5=7-,n即n占+多+0=2

—+2p+p--,即。=4.

82

故答案为：16；4.

五、解答题

17.已知正项数列｛%｝的前〃项和为S.，«„+l(a„+l-3)=a„(a„+3)(/JeN*),且5=18.

(1)证明：数列｛4｝为等差数列，并求数列｛4｝的通项公式；

(2)若"=」一，求数列也｝的前"项和外.

anan+\

【答案】(1)证明见解析，an=3n

【分析】(1)由an+｛师|—3)=a„(4+3)(〃eN")可得(4+1+«„)(«„+1-«„)=3(a„+l+a„),

所以数列｛4｝是以公差为3的等差数列，可求出数列｛4｝的通项公式

(2)求出｛〃｝,由裂项相消法求出却

【详解】⑴由4用(。,5-3)=q(q+3)得“3-a；=3。向+3a“，

二(%+i+%)(%-%)=3(%+%).

又见>°，••+”“+i>°，,,°”+i一〃”=3.

・,•数列｛q｝是以公差为3的等差数列.

又S3=18,・，・3a,+9=18,4=3,an=3n.

〜.11(11、

(2)由(])知包=C.2/亦=3、....-

(3〃)x3(〃+l)9\nn+lJ

••・(=4+仇+仇+・・・+2

18.如图，△4?C是边长为3的等边三角形，线段A石交3c于点。，BD=\.

⑴求sinNAT>5；

(2)若AD=3£>E,求BE长.

【答案】(1)延I

14

(2)BE=—

3

【分析】（1）在中由余弦定理及已知可求得AD的长，再由正弦定理可得到

sinZADB；

（2）由（1）得到cos/4DB=-也，△阻）中由余弦定理可求得8E的长.

14

【详解】（1）解：在△M£）中，由余弦定理可得A。?=AB2+B£>2-2A8X8£>XCOSZABE>,

代入数据可得AD2-32+l2-2x3xlxl=7,;.AD=@,

由正弦定理可得一^—=AD,

sinZADBsinZABD

所以sinW)坐出幺叽厚二组

AD币14

(2)在△ABZ)中，由(1)及余弦定理得cos/AQB=-XZ,

14

cosZ.EDB=cos(zr—N4O8)=—cosZ.ADB=,

又小=丝=且，

33

在ABED中,由余弦定理可得

BE2=BD2+DE2-2BDXDEXCOSZEDS=l+--2xlx—x—=—

93149

故BE=叵.

3

19.如图，在四棱锥8-ACRW中，四边形ACFM为直角梯形，FM//AC,ZACF=9Q,

平面ACFM±平面ABC,BC=CF=1,AC=®/ABC=60.

⑴证明：BC1AM.

（2）若四棱锥8-AC尸也的体积为正，求平面与平面所成的锐二面角的余弦

4

值.

【答案】（1）证明见解析

⑵迎

19

【分析】（1）根据余弦定理证明BCLAC,再利用面面垂直的性质得到8。，平面4。尸加

即可得到8C_LAM；

（2）根据（1）结合四棱锥B-ACRW的体积为巫，可得知尸=立，再以C为坐标原

42

点建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解二面角的余弦即可

【详解】（1）因为在A45C中BC=1,AC=百,/ABC=60,故

AC2=BC2+AB2-2BC-ABcosZABC,所以AB：-AB-2=0,解得AB=2,故

AC2+BC2=AB2,故BCLAC.又平面ACBW_L平面ABC且交于AC,故3CL平面

ACFM,又AWu平面4CFM,

(2)由(1)结合锥体的体积公式可得/_ACH”=gx；(MF+AC)xCFx8C=¥，故

；x；(MF+G)=¥，解得“尸=母.又CB，C4,CBJ_C£b_LC4,故以C为坐标原

点建立如图空间直角坐标系.

则A(60,0),8(0,1,0),M*0』，故身=卜收1,0),AM=一与,设平

◊4"1y—\j

面M46的一个法向量为〃=(x,y,z),则，”,即qfj,令x=2有

n-AM=0_Ylx+z=0

2

y=2百

故3=(2,26,6),又平面/CB的一个法向量为浣=(1,0,0),设平面MA8与

z=5/3

2则

平面FCB所成的锐二面角为6,则邮同一在+(26『+疔19

20.为进一步推动新能源汽车产业健康有序发展，财政部、工业和信息化部、科技部,

发展改革委联合发布了《财政部工业和信息化部科技部发展改革委关于2022年新能源

汽车推广应用财政补贴政策的通知》，进一步明确了2022年新能源汽车推广应用财政补

贴政策有关要求.为了解消费者对新能源汽车的购买意愿与财政补贴幅度的关系，随机

选取200人进行调查，整理数据后获得如下统计表：

愿意购买新能源汽车不愿意购买新能源汽车

购买时补贴大于1.5万6535

购买时补贴不大于1.5万4555

(1)能否有95%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关？

(2)若从购买时补贴大于1.5万的样本中用分层随机抽样的方法抽取20人，从这20人中

随机抽取3人调查家族收入情况，记X表示这3人中愿意购买新能源汽车的人数，求X

的分布列与数学期望.

附：

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1)有95%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关

39

(2)分布列见解析，X的数学期望为三人

【分析】(1)根据题意列出2x2列联表，计算卡方并比较即可；

(2)先计算出在愿意购买新能源汽车的人中抽取13人，在不愿意购买新能源汽车的人

中抽取7人，结合超几何分布相关知识求解概率与期望即可.

【详解】(1)2x2列联表如下：

愿意购买新能源汽车不愿意购买新能源汽车合计

大于1.5万6535100

不大于1.5万4555100

合计11090200

可得/=200x(65x55-45x35/=8008()8＞先川,

110x90x100x10099

所以有95%的把握认为对新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关.

(2)依题意，分层随机抽样的抽样比为2含0=三1，

则有65x(=13,35x1=7,

所以在愿意购买新能源汽车的人中抽取13人，在不愿意购买新能源汽车的人中抽取7

人,

X的所有可能取值为0,1,2,3,

P（X=0）=*短，尸。=1）=粤=翡P（X=2）=警喘,

<-r,OK^203dU1Xv/

P（X=3）=||=堪,

所以X的分布列为:

X0123

79191143

P

228380190?70

珀八7I91。91°14339/A、

芭（石（X）=0x----F1x----F2x----F3x---=—（人,），

v722838019057020

所以X的数学期望为王39人.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知定点Z（-l,0），E（l，0），动点〃满足

|M制+|M闾=20.记点〃的轨迹为C.

（1）求曲线C的方程；

（2）经过K且不垂直于坐标轴的直线/与C交于A8两点，x轴上点「满足|心|=归邳，证

\AB

明:丽为定值，并求出该值.

【答案】（1）千+丁=1

（2）证明见解析，2母

【分析】（1）利用椭圆的定义求点用的轨迹方程C；

（2）设出直线/为：y=&（x+l）,kH0,联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，从

而表达出弦长|AB|,再求出A8中点，进而表达出A8的垂直平分线，求出P点坐标，

得到"P的长，得到高AB为\定值.

【详解】（1）由椭圆的定义可知：〃的轨迹为以耳（-i,o）,E（LO）为焦点的椭圆，且

\MF\+\MF^=2y[2

则可得2n=2及，c=\,

所以。二四,/="2-C2=2-1

所以C的方程为1+丁=1

⑵设直线/为：y=Mx+l),AxO,

2

则联立、+y2=i得：0+242)/+4尸％+2公_2=0,

设4(%],、]),8(工2，%),则玉+工2=_.2'X\X2~"；—Z7T'

2/c

yi+y2=k(xt+x2)+2k=-^—T,

1i乙K

4公丫