2023年甘肃天水高三第二次调研数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若函数川/有且只有4个不同的零点，则实数必的取值范围是()

「e21(e2}(e2\(e2l

L4J14JI4；I4j

2.已知i为虚数单位，复数z=(l+i)(2+i),则其共甄复数()

A.l+3zB.l-3zC.-1+3/D.-1-3Z

3.已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={x|x2-4x-5<0},贝lj4色8=()

A.{-2,-1,0}B.{-1,0,1,2}C.{-L0,1}D.{0,1,2)

4.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，

设计两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐

第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P”P2,则()

115

A.Pi»P2=-B.Pi=P2=-C.Pi+P2=-D.P!<P2

5.若函数,f(x)=sin2x的图象向右平移J个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间10,aj上单调递增,

则。的最大值为().

7万

12

6.若集合A={xwN|x=丽},a=2日则下列结论正确的是(

A.{a}=AB.a^AD.。史A

TTTT

7.已知函数/(x)=sin(2x—一)的图象向左平移(p((p>0)个单位后得到函数g(x)=sin(2x+—)的图象，则。的最小

44

值为()

8.已知函数/(》)=上2'+(7—2)e*—x(Z>0),若函数Ax)在xeR上有唯一零点，贝"的值为()

A.1B.,或0C.1或0D.2或0

2

9.“。=一TT!”是“函数./"）=$沿（3*+9）的图象关于直线》=-不TF对称”的（）

oo

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.若i为虚数单位，则复数z=1土上在复平面上对应的点位于（）

1+2/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

ln（2—x）,x,1,..

11.已知函数/（x）={2,，若f（x）-公+a.O恒成立，则实数。的取值范围是（）

-x+l,x>1,'1

A.--,1B.[0,1]C.[1,4W)D.[0,2]

12.执行如图所示的程序框图后，输出的值为5,则P的取值范围是（）.

3759](7151531

A.6^]。Ij'记

4,816532

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在矩形48C。中，E为边勿的中点，AB=1,BC=2,分别以A、O为圆心，1为半径作圆弧EB、

EC（E在线段AO上）.由两圆弧石5、EC及边3C所围成的平面图形绕直线血旋转一周，则所形成的几何体的体

积为

D

14.已知复数z=(l-i)・(a+i)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数”的值为.

15.从集合｛1,2,3｝中随机取一个元素，记为。，从集合｛2,3,4｝中随机取一个元素，记为〃,则a«人的概率为.

16.函数)=4/+'的单调增区间为.

X

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知a,),c分别是AA3c的内角A,B,C的对边，且上=」-----.

b2-cosB

(I)求2.

c

(II)若8=4,cosC=-,求△ABC的面积.

4

(田)在(II)的条件下，求cos(2C+?]的值.

x=2t

18.(12分)在平面直角坐标系尤Oy中，曲线C的参数方程为12(，为参数)，以原点。为极点，x轴的正半

y=-r

轴为极轴建立极坐标系，直线/极坐标方程为0cos(8-=0.若直线/交曲线c于A，B两点,求线段AB的长.

19.(12分)已知函数=a<0.

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)求函数“X)的极小值；

(3)求函数“X)的零点个数.

20.(12分)已知函数/(x)=〃71n(1+x)-x,g(x)=〃a-sinx.

⑴若函数〃x)在(0,+8)上单调递减，且函数g(x)在上单调递增，求实数m的值；

(2)求证：(1+sinl)[1+sin-~1+sin――.1+sin-----—<e~QnGN"，且〃22).

I1x2八2x3)(

21.(12分)十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”(新型农村合

作医疗)推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准.提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：

表1：新农合门诊报销比例

医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院

门诊报销比例60%40%30%20%

根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下:

表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表

医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院

一个结算年度内各门

诊就诊人次占李村总70%10%15%5%

就诊人次的比例

如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、10()元、200元、

500元.若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次.

(I)李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%,从去三甲医院门诊就诊的人

次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？

(II)如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于

门诊实付费用(报销后个人应承担部分)X的分布列与期望.

22.(10分)在如图所示的多面体中，四边形A5EG是矩形，梯形OGEF为直角梯形，平面OGEE_L平面ABEG,

且DG上GE,DF//GE,AB=2AG=2DG=2DF=2.

(1)求证：FG工平面BEF.

(2)求二面角A-BF-E的大小.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由/(x)=那—初川是偶函数，则只需/(%)=阴—32在t©(0,十功上有且只有两个零点即可.

【详解】

解：显然〃X)=别-g2是偶函数

所以只需xe(0,4w)时，/(x)=阴-如2="一蛆2有且只有2个零点即可

令ex—mx2=0>则"？=—7

X

x

A/xe，/、e'(x-2)

令g(x)=A，g(4=尸

xe(O,2),g<x)<O,g(x)递减，且x-0+,g(x)f+oo

x«2,+8),g，(x)>0,g(x)递增，且X-+oo,g(x)—物

©2

g(x)Ng(2)=i

xe(0,+oo)时，〃彳)=阴一如2=e*-77iN有且只有2个零点，

只口5需6加>一

4

故选：B

【点睛】

考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.

2.B

【解析】

先根据复数的乘法计算出2,然后再根据共朝复数的概念直接写出Z即可.

【详解】

由z=(l+i)(2+i)=l+3"所以其共轨复数4=1—33

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的乘法运算以及共甄复数的概念，难度较易.

3.D

【解析】

解一元二次不等式化简集合3,再由集合的交集运算可得选项.

【详解】

因为集合A={-2,-1,0,1,2},8={x[(x-5)(x+l)<0}={x[—1<x<5}

.-.AnB={-2,-l,0,l,2}n{x|-l<x<5}={0,l,2},

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，属于基础题.

4.C

【解析】

将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.

【详解】

三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321

3

方案一坐车可能：132、213、231,所以，Pi=-；

6

2

方案二坐车可能：312、321,所以，Pi=T；

6

所以Pl+P2=—

6

故选C.

【点睛】

本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.

5.C

【解析】

由题意利用函数丫二人"成3:+⑼的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出。的最大值.

【详解】

7T7T

解：把函数/(X)=sin2x的图象向右平移F个单位长度得到函数g(x)=sin(2x--)的图象，

63

若函数g(x)在区间[0,上单调递增，

在区间[。，上，2x——G[—―,2^7——],

333

则当。最大时，2a-g=g,求得a=W，

3212

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数y=Asin(ox+e)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题.

6.D

【解析】

由题意A={xeN|x=Mi面}=0,分析即得解

【详解】

由题意A={xeN|x=J2O2O}=0,故A={。}

故选：D

【点睛】

本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.

7.A

【解析】

首先求得平移后的函数g(x)=sin(2x+2。一彳)，再根据sin(2x+2Q-彳)=sin(2x+；■)求°的最小值.

【详解】

根据题意，/(x)的图象向左平移。个单位后，所得图象对应的函数

式兀冗

g(x)=sin2(x+0)---=sin(2x+2°----)=sin(2x+—),

_4J44

TTTTTTIT

所以2夕—々=2br+上MeZ,所以。=br+生,％wZ.又。＞0,所以9的最小值为一.

4444

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.

8.C

【解析】

求出函数的导函数，当f>()时，只需/(-lnf)=O,即inr」+l=O,令g")=lnf」+l,利用导数求其单调区间,

tt

即可求出参数，的值，当f=0时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断；

【详解】

解：'：f(x)=te2x+(t-2)ex-x(Z>0),

Af'(x)=2re2v+Q—2)e*—1=(re，-l)(2e*+1),.•.当.>0时，由/'(x)=0得x=-Inf,

则f(x)在(F,-ln/)上单调递减，在(—In/,+x>)上单调递增，

所以/(一In/)是极小值，只需/(―In。=0,

即Inf—1+1=0.令g«)=lnr—1+1,则8'(/)=1+二>0,.•.函数g«)在(0,+8)上单

tttt

调递增.：g⑴=0,=

当7=0时，f(x)=-2ex-x,函数/(x)在R上单调递减，V/(l)=-2e-l<0,/(-2)=2-2e-2>0,函数/(幻

在R上有且只有一个零点，.•・f的值是1或0.

故选：C

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.

9.A

【解析】

JI7

先求解函数“X)的图象关于直线》=-三对称的等价条件，得到夕=br+q兀,kwZ,分析即得解.

88

【详解】

TT

若函数/(X)的图象关于直线x=~对称，

则3x1——I+=kji+~，攵£Z,

7

解得夕=%万+可肛女eZ,

TT7T

故“°=一”是“函数/(x)=sin(3x+(P)的图象关于直线X=-不对称”的充分不必要条件.

OO

故选：A

【点睛】

本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

10.D

【解析】

31

根据复数的运算，化简得到2=：-《"再结合复数的表示，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，根据复数的运算，可得Z==<=?=£_7,

l+2z(l+2z)(l-2z)555

所对应的点为(I，-位于第四象限.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解

答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

11.D

【解析】

由|/(刈一以+0.()恒成立，等价于y="(x)|的图像在y=a(x-l)的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用

数形结合的方法求解答案.

【详解】

,।fln(2-x),x,1,।।

因为|/(刈=2,.由|/(x)|..a(x—l)恒成立，分别作出y=l/(x)l及y=〃(x—1)的图象，由图知，当。<0

时，不符合题意，只须考虑-0的情形，当y=a(x-l)与y=|/(x)|(x..l)图象相切于(1,0)时，由导数几何意义，此

时。=。2_])'|曰=2,故喷W2.

【点睛】

此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.

12.C

【解析】

框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时,退出循环，输出〃.

【详解】

1113

第一次循环:S=q,〃=2；第二次循环：5=7+不=:,“=3；

222'4

_1117.必n111115,

第三次循环:S=^+级+域=/=4；第四次循环：^-+-+-+-=-,^5；

715

此时满足输出结果，故一〈尸

816

故选：C.

【点睛】

本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.—

3

【解析】

由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1,母线长为2；体积为

K="h=2ll；两个半球的半径都为1,则两个半球的体积为/=*»3=竽；则所求几何体的体积为

展号•

考点：旋转体的组合体.

14.-1

【解析】

利用复数的乘法求解-再根据纯虚数的定义求解即可.

【详解】

解：复数Z=(l-。♦(a+i)=a+1+(1-a)i为纯虚数,

/.6r+l=0,l-awO,

解得a=-1.

故答案为：T.

【点睛】

本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题，属于基础题.

8

5.9-

先求出随机抽取。力的所有事件数，再求出满足a的事件数，根据古典概型公式求出结果.

【详解】

解：从集合｛1,2,3｝中随机取一个元素，记为“，从集合｛2,3,4｝中随机取一个元素，记为"

则(a,切的事件数为9个，即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),

其中满足的有(1,2),(1,3),(1,4),(2中),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),共有8个,

Q

故aWb的概率为—•

【点睛】

本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.

16.：+8)

【解析】

先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的X的集合，从而可得函数的单调增区间.

【详解】

函数的定义域为(一8,0)口(0,+8).

1(1A

令y'>0,则x〉一，故函数的单调增区间为：彳,+s.

2U)

故答案为：(/#001

【点睛】

本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)-；(II)厉；(皿)-7-3".

216

【解析】

（I）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；（II）由余弦定理可求。，然后结合三

角形的面积公式可求；（m）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.

【详解】

cosA_sinA

（I）因为：=

b2-cosBsin8

所以2sinA—sinAcosB=sinBcosA,

所以2sinA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,

一3asinA1

由正弦定理可得，一=-----=—；

csinC2

（II）由余弦定理可得，1^—16-4f;

48。

整理可得，3。2+2。-16=0，

解可得，a=2.

因为sinC

4

所以SAABC=；a〃sinC=：x2x4x=y/15;

(IH)由于sin2c=2sinCcosC=,cos2C=2cos2C-l=--.

4488

后。厂>/3.”1/7、6715-7-3石

/TT以cos(2CH—)=一cos2c------sin2c=-x(—)------x------=------------•

322282816

【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，意在考查学生对

这些知识的理解掌握水平.

18.16

【解析】

由x?cos0--=pcos^cos—+psin^sin—=V2,化简得。cos6+/?sin(9=2,由x=pcose,y=psin。，所

'y4J44

x-2t

以直线/的直角坐标方程为x+y=2,因为曲线C的参数方程为〈I,,整理得d=8），，直线/的方程与曲线C

y=­t

I2

x+V=2,、/、

的方程联立，｛一。，整理得丁+8左-16=0,设4（4%）,3（左,%），则％+》=8,玉/=一16,根据弦长公

式求解即可.

【详解】

(JC\7171[-

由pcos0=pcos^cos—+psin^sin—=，2,化简得pcosd+『sing=2,

V4J44

又因为x=pcos8,y=psin。，所以直线/的直角坐标方程为x+y=2,

x-2t

因为曲线C的参数方程为41,,消去「，整理得Y=8y,

ly=2r

x+y=2

将直线/的方程与曲线C的方程联立，V2。，消去丁，整理得f+8彳-16=0，

x=8y

设A(五,3),5(乙,%)，则%+X=8,再入2=T6,

所以AB=Qa一w)2+(弘一%)?=J(X|-J+(二一%2)2=及*|+*2)2-4中2,

将X+X=8,玉々=-16,代入上式，整理得AB=16.

【点睛】

本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题.

19.(1)y=—l；(2)极小值一1；⑶函数y=/(x)的零点个数为1.

【解析】

(1)求出/(0)和/'(0)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

(2)利用导数分析函数y=/(x)的单调性，进而可得出该函数的极小值；

(3)由当xWl时，/(x)<0以及/(2)>0,结合函数y=/(x)在区间(0,+。)上的单调性可得出函数y=/(x)的

零点个数.

【详解】

(1)因为=所以/'(x)=旄*一

所以〃0)=—1,/\0)=0.

所以曲线产/(x)在点(0,/(0))处的切线为y=-l；

(2)因为/(*)=旄*-疝"=》卜*一6"),令/"(x)=0,得x=0或x=a(a<0).

列表如下：

X(-00,4)a(«,o)0(0,+力)

/'（X）+0—0+

/W极大值极小值

所以，函数y=/（x）的单调递增区间为（―8,a）和（0,+。），单调递减区间为（。,0）,

所以，当x=0时，函数y=有极小值/（0）=—1；

⑶当xWl时，/(x)<0,且/(2)=e2_">e2_2>0.

由（2）可知，函数y=/（x）在（0,+©）上单调递增，所以函数y=/（x）的零点个数为1.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属

于中等题.

20.（1）1；（2）见解析

【解析】

(1)分别求得/（X）与g（x）的导函数，由导函数与单调性关系即可求得加的值;

(2)由（1）可知当%>0时，ln（l+无）<x,当0<x<、时，sinx<x,因而

.1.1.(-L->0,(«e^„>),构造

sinl,sin-----,sin-----,・..,sin2

1x22x3

］、]、

In(l+sinl)|1+sin\1+sin...1+sin,由对数运算及不等式放缩可证明

1x2〃-l)x〃.

7、-

In(l+sinl)f1+sin-~-]

1+sin—...l+sin=2--<2,从而不等式可证明.

2x3n

【详解】

（1）•••函数在（0，+8）上单调递减，

.•.1（%）=言--140,即机Wl+x在（0,+8）上恒成立,

/n£1,

又•.•函数g（x）在龄上单调递增,

骷

:.g'(X)=m-COSu¥2。即加之COSX在上恒成立，m>1,

・•・综上可知，m=l.

(2)证明：由⑴知，当m=1时，函数/(x)=ln(l+x)—x在(0,+8)上为减函数,

g(x)=x-sinx在上为增函数,而〃O)=O,g(O)=O,

・••当x>0时，ln(l+x)<x,当Ov尤时，sinx<x.

•sinbsin-----，sin------sin-------------；---->O,(nGN\n>2

1x22x3(n-l)xn'

：.In(l+sinl)|1+sin-----IIl+sin------1+sin-----------

(/i-ljxn?

1

ln(l+sinl)+ln1+sin-----+ln1+sin...+ln1+sin-----------

I("l)x”

<sinl+sin----+sin------4-...+sin,--------

1x22x3(〃-l)x〃

1x22x3(z?-l)xn(2)(23)

=2--<2

n

'.1

即In(1+sinl)1+sin1+sin—...]+sin------—<2,

1^22x3I(〃-l)x^

:.(l+sinl)(1+sin।.11

1+sin-----...14-sin--------<e2,(〃£N,〃22).

2x3j、(H-l)xnJ'7

【点睛】

本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题.

21.(,IT)、-3-1-6；

495

(II)X的发分布列为：

X2060140400

p0.70.10.150.05

期望£X=61.

【解析】

(I)由表2可得去各个门诊的人次比例可得2000人中各个门诊的人数，即可知道去三甲医院的总人数，又有60岁

所占的百分比可得60岁以上的人数，进而求出任选2