2023年黑龙江省高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若i为虚数单位，则复数z=」三在复平面上对应的点位于（）

1+2/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知b>c分别是AABC三个内角A，B,C的对边，acosC+J§csinA=/?+c,则4=（)

3.若复数二满足（l-i）z=-l+2i,则|为=（）

3

A夜K「而

A.B.—C.D.

2222

4,若执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）

D.4

2X—x3x<01

5.已知函数/&)=〈，则/(/(—))=()

Inx,x>0e

D.0

x-y..O

6.已知x,），满足x+y..O,则上二2的取值范围为（）

x-2

3

A.—,4B.(1,2]C.(-oo,0]U[2,-HX)D.(-w,l)kJ[2,+oo)

7,已知函数/(x)=J—x(a>0),若函数y=/(x)的图象恒在x轴的上方，则实数。的取值范围为()

A.(J+8)B.(O,e)C.(e,+8)D.

8.《九章算术》有如下问题：“今有金肇，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思

是：“现在有一根金睾，长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”

按这一问题的颗设，假设金筵由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是()

775

A.；斤B.三斤C.-Jf,D.3斤

322

22

9.设耳，鸟分别为双曲线［一2r=1(。>0,*>o)的左、右焦点，过点耳作圆f+丫2=尸的切线与双曲线的左

ab

支交于点尸，若|尸鸟|=2|尸用，则双曲线的离心率为()

A.V2B.百C.75D.V6

10.设〃:=In2,〃=lg2,贝!!()

A.m—n>nm>m-\-nB./n—几>m+几

C.m+n>nm>m—nD.m+n>m—n>mn

11.已知等差数列｛2｝满足q=2,公差dwO,且4，%，生成等比数列,则1=

A.1B.2C.3D.4

12.若复数z满足(2+3i)z=13i,贝ijz=()

A.-3+2iB.3+2iC.-3-2iD.3-2i

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在AA3C中，ZC=90%CM=2MB•若sinN5AM=《,贝!JtanABAC=________

x--y-1<0,

14.已知x,)‘满足约束条件12》

+y-4«0,,则2=%+丁的最小值为_________.

y<2x,

15

15.若/(。一%2)扇=一，则a=_

o3

16.函数f(x)=^^x-sinx在(71

上的最小值和最大值分别是_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数f(x)=ln(ox)-a,(a>0).

(1)若函数〃(x)=e"(x)在(0,+8)上单调递增，求实数。的值;

(2)定义：若直线/：y=Ax+8与曲线G：/；(x,y)=O、。2：上0/)=0都相切，我们称直线/为曲线G、C2的公

切线，证明：曲线/(x)=ln(ox)-a,3>0)与8(©=加',3〉0)总存在公切线.

1&⑴分)已知矩阵*:3,丘R)不存在逆矩阵,且非零特低值对应的一个特征向量…；，求a,匕的值.

19.(12分)已知数列｛。“｝满足，4=1,%=4,且4+2-4〃“+]+3%=0

(1)求证：数列｛《,+「4｝为等比数列，并求出数列｛4｝的通项公式;

(2)设a=2〃q,求数列也｝的前几项和S“.

20.(12分)如图，在四棱锥P—A5co中，四边形ABC。为平行四边形，BD1DC,APC。为正三角形，平面PC0JL

YmABCD,E为PC的中点.

(1)证明：AP〃平面EBD；

(2)证明：BEA-PC.

21.(12分)在△ABC中，角A6,C的对边分别为“,4c,且2ccosB=2a+b.

(1)求角C的大小;

(2)若函数/(x)=2sin,+mcos2x(meR)图象的一条对称轴方程为x=g且/=(，求cos(^a+0)

的值.

x=tX=cos0

22.(10分)已知直线/：a为参数),曲线G:，(。为参数).

y——\/3+\/3ty=sin8

(1)设/与G相交于A，6两点，求|A6|；

(2)若把曲线G上各点的横坐标压缩为原来的;倍，纵坐标压缩为原来的也倍，得到曲线设点P是曲线。2上

22

的一个动点，求它到直线/距离的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

31

根据复数的运算，化简得到2=M-《"再结合复数的表示，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，根据复数的运算，可得z=［不＜八

l+2z(l+2z)(l-2z)555

所对应的点为位于第四象限.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解

答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2.C

【解析】

原式由正弦定理化简得GsinCsin4=cosAsinC+sinC，由于sinC工0,OvAv乃可求A的值.

【详解】

解：由acosC+yficsinA=〃+c及正弦定理得sinAcosC+V3sinCsinA=sin5+sinC.

因为B=7T—A—C9所以sinB=sinAcosC+cosAsinC代入上式化简得GsinCsinA=cosAsinC+sinC•

由于sinCwO,所以sin(A-=

冗

又故4=一・

3

故选：C.

【点睛】

本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.

3.C

【解析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解.

【详解】

-l+2/_(-l+2/)(l+<)31.

解：由(l—i)z=-l+2i,得2=-------1----1.

1-z(l-z)(l+z)22

故选C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

4.D

【解析】

模拟程序运行，观察变量值的变化，得出S的变化以4为周期出现，由此可得结论.

【详解】

233

5=4"=1;5=—1,，=2;5=—"=3;5=—,7=4;5=4,1=5；如此循环下去，当，=2020时，5=—;5=4/=2021,

322

此时不满足i<2021,循环结束，输出S的值是4.

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图，考查循环结构.解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论.

5.A

【解析】

2X-X3,X<0，求得/d）=ln'=—l,进而求得/（/（』））的值，得到答案.

由函数/(%)=,

Inx,x>0

【详解】

2x-?,x<0

由题意函数/（幻=

Inx,x>0

i1|3

则/(一)=ln—=一1,所以/(/(—))=/(—1)=2-1-(一1)3=彳，故选A.

eee2

【点睛】

本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理

与运算能力，属于基础题.

6.C

【解析】

设女=金，则k的几何意义为点(x,y)到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论.

x-2

【详解】

解：设％=2二2,则女的几何意义为点P(x,y)到点0(2,3)的斜率，

x-2

作出不等式组对应的平面区域如图：

v—3

由图可知当过点O的直线平行于X轴时，此时左一=0成立；

x-2

女=\y取—3所有负值都成立；

x-2

y—3fx=ly—31—3

当过点A时，k=)—取正值中的最小值，八此时攵—=——=2；

x-21尤一y=0x-21-2

故二的取值范围为(-8,0]U[2,+8)；

x-2

故选：C.

【点睛】

本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键.对

于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在.

7.B

【解析】

函数y=fM的图象恒在X轴的上方，纪一X>0在（0,+“）上恒成立.即C>X,即函数y=《的图象在直线y=X

aaa

上方，先求出两者相切时”的值，然后根据“变化时，函数y=C的变化趋势，从而得”的范围.

a

【详解】

由题《一彳>0在（0,+纥）上恒成立.即《>%，

aa

y=J的图象永远在y=X的上方，

a

,-=1

设>=幺与y=x的切点（x。,%）,贝！J61,解得a=e,

aeXn

-=xo

Ia

易知a越小，y=—图象越靠上，所以0<a<e.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒

成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围.

8.B

【解析】

依题意，金量由粗到细各尺重量构成一个等差数列，4=4则七=2,由此利用等差数列性质求出结果.

【详解】

设金肇由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{4},设首项4=4,则为=2,二公差〃=管子=m=-4，

5—15—12

,7

«2=a,+J=—.

故选B

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

9.C

【解析】

设过点冗作圆/+产=6的切线的切点为T,根据切线的性质可得。丁，尸/"且|O7|=a,再由|PE|=2|P附和

双曲线的定义可得|尸耳1=2。,|Pg|=4a,得出T为耳尸中点，则有O77/P与，得到P鸟，尸£,即可求解.

【详解】

设过点《作圆+的切线的切点为了，

OT±PFl,\F]T\=OF、」_白=a

\PF^=2\PF^PF^-\PF]=2u]PF2\=4a]PF]=2a,

所以T是耳P中点，・•・OT〃P%..•尸£1盟,

2

・•」尸耳F+1PF2『=20a2=|耳马|=4c,

―-=5,€=\[5•

a'

故选:C.

【点睛】

本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.

10.D

【解析】

由不等式的性质及换底公式即可得解.

【详解】

解：因为m=In2,〃=lg2,则加>〃，且

所以机m+n>m—n,

1111.,.10,,

又-----=l°g2l°T°g2e=l1oAg—>log?2=1,o

nm1g2In22e

m—n

即----->1，贝（]m-n>mn,

mn

即m+n>m—n>inn,

故选：D.

【点睛】

本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.

11.D

【解析】

先用公差d表示出外，%，结合等比数列求出

【详解】

4=2+。,%=2+41,因为4,外，巴成等比数列，所以(2+4)2=2(2+44),解得d=4.

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.

12.B

【解析】

由题意得,z=，求解即可.

2+31

【详解】

13i13i2-3i26i+39”~

因为(2+3i)z=13i，所以z=-------=——--------=----------=3+21.

2+3i(2+3i)(2-3i)4+9

故选:B.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.亚

2

【解析】

分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系,

从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果.

详解：根据题意，设AC=m,BC=3〃，则CM=2”,8M=〃，根据sinNR4M=1,

A

2后________________

得cosNBAM=—-—9由勾股定理可得AM=Jm2+4/,AB=VITT+9tv，

gg人廿—+4/z2+m2+9"-n2276

根据余弦定理可得一

2\m~+4,暝\lITT+9〃~5

化简整理得一12〃〃2+36/=0，即（〃/-6/）2=0,解得m=&〃,

所以tan/84C=即=聿-=迈，故答案是好.

点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给

的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关

系，求得最后的结果.

14.-3

【解析】

作出约束条件所表示的可行域，利用直线截距的几何意义，即可得答案.

【详解】

画出可行域易知2=》+了在点A（-l,-2）处取最小值为-3.

故答案为：-3

【点睛】

本题考查简单线性规划的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于基础题.

15.2

【解析】

直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出。的值.

【详解】

解：若［①-/)公=|,贝［j］公-gx3，=g,

即a-2==,所以a=2.

33

故答案为：2.

【点睛】

本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,

属于基础题.

m历兀V2垃兀

10・-----------------------------1

824

【解析】

求导，研究函数单调性，分析，即得解

【详解】

由题意得，/(X)=-cosX,

777T

令/'(x)>0,解得g,

42

rr

令/'(x)<0,解得

4

「7t\(7171

・•・/(%)在o,7上递减，在丁，彳递增.

L4；(42J

•・J(无濡=/图=警-今

而〃0)=0,/图=今—1,

故/(X)在区间［o,g］上的最小值和最大值分别是叵-V2及兀

L2」8丁,

故答案为：叵—巫，我—1

824

【点睛】

本题考查了导数在函数最值的求解中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)a=\；(2)见解析.

【解析】

(1)求出导数，问题转化为在(0,+8)上恒成立，利用导数求出0。)=皿℃)+2-。的最小值即可求解；

X

(2)分别设切点横坐标为王,々，利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足

a*_

,占有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.

ln(a¥|)-a-l=aex--ax^

【详解】

(1),/h(x)=eAfIn(or)-tz],x>0,

.a.hr(x)=e[ln(Qx)+!-Q]

x

函数〃(幻在(0,+8)上单调递增等价于"(X)..0在(0,+8)上恒成立.

令0(x)=ln(ax)+』-Q,得。(工)=」--v=-7->

XXXX

所以以幻在(0,1)单调递减，在(1,转)单调递增，则。(X)min=^D・

因为炉>0,则〃'(X)..O在(。,+8)上恒成立等价于0(X)..O在(。,+8)上恒成立；

又0(3=0,

a

夕(3=8(1)=0，

a

所以』=1,即4=1.

a

(2)设/(x)=ln(办)-a,(a>0)的切点横坐标为％=再,则/'(%)=一

切线方程为y-ln(OT|)+a='(x-芯)...①

西

设g(x)=ae",(“〉0)的切点横坐标为x=兀2，则g'(X2)=ae"2,

22

切线方程为y-ae'=ae'(x-x2)..②

'x1

ae2=—

若存在玉,马，使①②成为同一条直线，则曲线/(X)与g(x)存在公切线，由①②得玉消

2X1

ln(tU|)-a-l=ae'-ax2e

去*得一/一"一]=ae'"cix-tC2

1涉“2—l)T*2涉+1

m即一=-----=------=e---------

ax2+1%2+1

.2e"+1_.•,x~a'+e'+1八

令f(x)=ex--------,则t(x)=--————>0

x+\(x+1)-

所以，函数y=f(x)在区间(0,+8)上单调递增，

vr(l)-Z(2)<0.-.3x0G(1,2),使得f(x0)=0

；.xe(x0,+oo)时总有；(x)>t(x0)=0

又.,.x—>+oo时，f(x)—>+oo

=em在(0,+8)上总有解

ax+1

综上，函数f(x)=ln(ax)-a,(a>())与g(x)=aex,{a>0)总存在公切线.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，导数的几何意义，利用导数证明方程有解，属于难题.

a=4

18.<

[〃=-1

【解析】

由A/不存在逆矩阵，可得=再利用特征多项式求出特征值3,0,Md=3a，利用矩阵乘法运算即可.

【详解】

因为“不存在逆矩阵，det(M)=1：=0,所以。匕=T.

b4

A+1—a,-

22

矩阵M的特征多项式为了(%)=;,/=A-3A-4-ah=A-3A9

令f(^)=0,贝!14=3或4=0,

所以M£=3a，即

-1+。=3a=4

所以《"4=3’所以

b=-\

【点睛】

本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题，考查学生的运算能力，是一道容易题.

3"-1(2n-l)x3n+1+3〃(刀+1)

19.(1)证明见解析；a“三⑵3

42

【解析】

(1)根据题目所给递推关系式得到4+2—4+1=3(。,用―4)，由此证得数列｛%+「4｝为等比数列，并求得其通项公

式.然后利用累加法求得数列｛%｝的通项公式.

(2)利用错位相减求和法求得数列｛"“｝的前〃项和S“

【详解】

(1)已知氏+2-4%+|+3。"=0,

则4+2-4用=3(。卅一4)，

且4-4=3,则｛。向-%｝为以3为首相，3为公比的等比数列,

3"-l

所以/+1-a=3",a„=(a„-«„_,)+(a,-a„_)++(a,—q)+q

n22

n

(2)由(1)得：blt=n-3-n,

7；,=1X3'+2X32+……+nx3",①

37；,=1X32+2X33+……+(n-l)x3,'+nx3,,+l,(2)

①一②可得—27；=3'+32+……+3”—〃x3用=-~——〃x3,,_1,

"2

前T3,,+l-3〃X3"M(2H-1)X3,,+I+3

424

即s二(2〃7)x3"”+3〃(〃+1)

“―4_2_*

【点睛】

本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查累加法求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.

20.(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)连结AC交80于点O,连结0E,利用三角形中位线可得A尸〃0E,从而可证4P〃平面

(2)先证明5£>J_平面PCD,再证明PCJ_平面BDE,从而可证BE±PC.

【详解】

证明：(1)连结AC交BD于点0,连结0E

因为四边形A5CO为平行四边形

二。为AC中点，

又E为PC中点，

故AP〃0E,

又平面E8。，0EU平面E8O

所以AP〃平面EBD；

(2)•••△PCD为正三角形，E为PC中点

所以PCJ_OE

因为平面PCZ)_L平面ABCD,

平面「CZ)n平面ABCD=CD,

又BOU平面ABC。，BD±CD

.,.8D_L平面PCD

又PCu平面PC。，故PCLBD

又BDnDE=D,8Qu平面8OE,Z)£u平面80E

故PCJL平面BDE

又BEU平面BDE,

所以BELPC.

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的证明，线面平行一般转化为线线平行来证明，直线与直线垂直通常利用线面垂直来进行

证明，侧重考查逻辑推理的核心素养.

2万7

21.(1)C——(2)cos(2a+C)=-----

325

【解析】

(1)