万有引力习题总结

万有引力习题总结班级__________座号_____姓名__________分数__________1．开普勒行星运动定律轨道定律面积定律：v1r1=v2r2周期定律：a3/T2=k1．关于开普勒第三定律a3T2是一个与绕太阳运行的行星无关的常量,可称为开普勒常量表示行星运动的自转周期C.该定律适用于行星绕太阳的运动,不适用于卫星绕行星的运动D.若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R1,周期为T1,月球绕地球运转轨道的半长轴为R2,周期为T2,则R132．若金星和地球的公转轨道均视为圆形，且在同一平面内，如图所示．在地球上观测，发现金星与太阳可呈现的视角（太阳与金星均视为质点，它们与眼睛连线的夹角）有最大值，最大视角的正弦值为k，则金星的公转周期为（）A．年 B．年 C．k3年 D．年二、割补法3．如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起。若挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)（）A．eq\f(GM2,R2) B．eq\f(GM2,R2)C．\f(GM2,R2) D．\f(GM2,R2)三、月地检验月球的向心加速度地球表面重力加速度比值g=s2a月/g=1/3600注意：不是月球表面重力加速度注意：不是赤道表面物体的自转向心加速度结论：与距离平方成反比，遵循同样的规律，属于同一种性质的力4．（2022•上饶三模）为了验证地面上物体的重力与地球吸引月球，太阳吸引行星的力是同一性质的力，同样遵从平方反比律的猜想，牛顿做了著名的“月﹣﹣地检验”，并把引力规律做了合理的外推，进而把决定天体运动的万有引力定律与1687年发表在《自然哲学的数学原理》中，完成了物理学的第一次大统一．已知月球绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，下列说法正确的是（）A．物体在月球轨道上运动的加速度大约是在地面附近下落时的加速度的B．物体在月球表面下落时的加速度是在地球表面下落时的加速度的C．月球绕地球运行的周期是近地卫星绕地球运行周期的60倍D．月球绕地球运行的线速度是近地卫星绕地球运行线速度的四、重力加速度地面天上地下两极赤道=g==(不计自转)g=－Rω自2g=(不计自转)5．(2022·茂名调研)宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′。他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T。假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为（）A．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F′,F))) B．Teq\r(\f(F,F′))C．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F－F′,F))) D．Teq\r(\f(F,F－F′))6．由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2022年中国十大科技进展新闻,于2013年1月19日揭晓,“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二。若地球半径为R,把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙”号下潜深度为d,“天宫一号”轨道距离地面高度为h,“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为（）A.R-dR+h B.(五、黄金代换与抛体、圆周运动的综合①黄金代换（g为星球表面重力加速度）②自由落体运动;③竖直上抛上升时间；上升高度④平抛运动水平射程⑤竖直面单层轨道通过最高点的临界速度7．(2022·海南卷)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶eq\r(7)，已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R.由此可知，该行星的半径约为()\f(1,2)R\f(7,2)RC．2R\f(\r(7),2)R六、星球瓦解问题重力是万有引力的一个分力，地球赤道上物体的重力mg＝－mRω自2，假设地球自转加快，即ω自变大，物体的重力将变小。当=mRω自2时，mg=0，此时地球赤道上的物体无重力，要开始“飘”起来了，若自转继续加快，星球即将瓦解。可求得：①瓦解临界角速度ω瓦==；②瓦解临界周期T瓦=；③瓦解临界密度ρ瓦=。8．（2022上海）组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动。由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T。下列表达式中正确的是（）A．T＝πB．T＝2πC．T＝D．T＝七、计算中心天体的质量和密度“一个中心、两个基本点”——需要已知量r、T(或ω、v)；g、R原理“天上”环绕法“地上”黄金代换法万有引力提供向心力：==万有引力等于重力：质量M===M=密度特例，当r=R时：9．[2022·北京卷]利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（）A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离10．宇航员站在某一星球距其表面h高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面。已知该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球的质量为（）A．eq\f(2hR2,Gt2)B．eq\f(2hR2,Gt)C．eq\f(2hR,Gt2) D．eq\f(Gt2,2hR2)11．我国航天事业取得了突飞猛进地发展，航天技术位于世界前列，在航天控制中心对其正上方某卫星测控时，测得从发送“操作指令”到接收到卫星“已操作”的信息需要的时间为2t(设卫星接收到“操作指令”后立即操作，并立即发送“已操作”的信息到控制中心)，测得该卫星运行周期为T，地球半径为R，电磁波的传播速度为c，由此可以求出地球的质量为（）\f(π28R＋ct3,2GT2)\f(4π2R＋ct3,GT2)\f(π22R＋ct3,2GT2) \f(π24R＋ct3,GT2)12．(多选)有一宇宙飞船到了某行星上(假设该行星没有自转运动)，以速度v贴近行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得（）A．该行星的半径为eq\f(vT,2π)B．该行星的平均密度为eq\f(3π,GT2)C．无法求出该行星的质量D．该行星表面的重力加速度为eq\f(4π2v2,T2)八、利用自转测密度13．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g,地球自转的周期为T,引力常量为G。地球的密度为（）A.3π(g0-g)九、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律eq\f(GMm,r2)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))越高越慢→结合黄金代换→14．(2022·江门调研)如图所示的a、b、c三颗地球卫星，其半径关系为ra＝rb<rc，下列说法正确的是()A．卫星a、b的质量一定相等B．它们的周期关系为Ta＝Tb>TcC．卫星a、b的角速度一定小于卫星c的角速度D．它们的速度关系为va＝vb>vc15．(2022·江苏)(多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有（）A．TA>TB B．vA>vBC．SA＝SB \f(RA3,TA2)＝eq\f(RB3,TB2)16．（高考题）两颗人造卫星A、B绕地球作圆周运动，周期之比为TA:TB=1:8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为()

A．RA:RB=4:1，vA:vB=1:2B．RA:RB=4:1，vA:vB=2:1

C．RA:RB=1:4，vA:vB=1:2D．RA:RB=1:4，vA:vB=2:117．(2022·广东·14)如图2，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是()A．甲的向心加速度比乙的小B．甲的运行周期比乙的小C．甲的角速度比乙的大D．甲的线速度比乙的大18．(多选)设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动,若测得土星到太阳的距离为r,土星绕太阳运动的周期为T,万有引力常量为G,则根据以上数据可解得的物理量有（）A.土星线速度的大小 B.土星加速度的大小C.土星的质量 D.太阳的质量十、图像问题19．(2022·湖南衡阳联考)两颗互不影响的行星P1、P2，各有一颗近地卫星S1、S2绕其做匀速圆周运动。图6中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a，横轴表示该位置到行星中心距离r平方的倒数，a－eq\f(1,r2)关系图如图所示，卫星S1、S2的引力加速度大小均为a0。则（）A．S1的质量比S2的大B．P1的质量比P2的大C．P1的第一宇宙速度比P2的小D．P1的平均密度比P2的大20．假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，自身球体半径分别为RA和RB．两颗行星各自周围的卫星的轨道半径的三次方（r3）与运行公转周期的平方（T2）的关系如图所示；T0为卫星环绕各自行星表面运行的周期。则（）A．行星A的质量小于行星B的质量B．行星A的密度小于行星B的密度C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度D．当两行星周围的卫星的运动轨道半径相同时，行星A的卫星的向心加速度大于行星B的卫星的向心加速度十一、宇宙速度的理解与计算（1）第一宇宙速度v1＝7.9km/s；（2）三层含义：①人造地球卫星的最小发射速度；②最大环绕速度；③近地卫星的环绕速度；（3）第一宇宙速度的求法：①eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，所以v1＝eq\r(\f(GM,R))。②mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)，所以v1＝eq\r(gR)；（4）第二、第三宇宙速度也都是指发射速度。21．（多选）下列关于三种宇宙速度的说法正确的是（）A．第一宇宙速度v1＝km/s，第二宇宙速度v2＝km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2B．美国发射的“凤凰”号火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度C．第二宇宙速度是使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的小行星的最小发射速度D．第一宇宙速度km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度22．假设地球的质量不变,而地球的半径增大到原来半径的2倍,那么从地球发射人造卫星的第一宇宙速度的大小应为原来的（）A.2倍 B.12倍C.12十二、卫星共线、行星冲日问题（1）从相距最近到再次最近内侧的天体转过的角度比外侧的多2π，即θ1-θ2=2πω1t-ω2t=2π2πt/T1-2πt/T2=2πt/T1-t/T2=1(转得快的比慢的多转1圈)（2）从相距最近到首次最远内侧的天体转过的角度比外侧的多π，即θ1-θ2=πω1t-ω2t=π2πt/T1-2πt/T2=πt/T1-t/T2=1/2(转得快的比慢的多转1/2圈)23．(2022·河北省普通高中高三教学质量监测)如图，地球赤道正上空有两颗卫星，其中a为地球同步卫星，轨道半径为r，b卫星的轨道半径是同步卫星轨道半径的eq\f(1,\r(3,16))。从图示时刻开始计时，在一昼夜内，两颗卫星相距最近的次数为()A．2次 B．3次C．4次 D．5次24．（多选）(2022·江苏南通如东一检)某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，行星会运行到日地连线的延长线上(相距最近)，如图所示。设该行星与地球的公转周期之比为k1，公转半径之比为k2，则()A．k1＝eq\f(N＋1,N) B．k1＝eq\f(N,N－1)C．k2＝ D．k2＝十三、地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86400s。(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。(4)高度一定：据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝×104km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。(5)速率一定：运动速度v＝eq\f(2πr,T)＝3.07km/s(为恒量)。(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。25．设地球的质量为M，半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，则有关同步卫星的说法中不正确的是（）

A.同步卫星的轨道与地球的赤道在同一平面内

B.同步卫星离地的高度h=

C.同步卫星的角速度为ω，线速度大小为

D.同步卫星离地的高度h=十四、“同步卫星”、“赤道上的物体”和“近地卫星”的比较问题（1）“同步卫星”与“赤道上的物体”的比较①角速度ω相等——ωA:ωC=1:1②周期T相等——TA:TC=1:1③向心加速度比较时，运用公式a＝ω2r，而不能运用公式a＝eq\f(GM,r2)。——aA:aC=(R+h):R④线速度比例关系时，运用公式v＝ωr，而不能运用公式v＝eq\r(GM/r)。——vA:vC=(R+h):R（2）“同步卫星”与“近地卫星”的比较因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式①a＝Geq\f(M,r2)，②v＝eq\r(\f(GM,r))，③ω＝eq\r(\f(GM,r3))，④T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，而不能运用公式a＝ω2r，v＝ωr或v＝eq\r(gr)。26．中国航天局秘书长田玉龙2022年3月6日证实，将在2022年年底发射高分四号卫星，这是中国首颗地球同步轨道高时间分辨率对地观测卫星。如图所示，A是静止在赤道上随地球自转的物体；B、C是同在赤道平面内的两颗人造卫星，B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球同步卫星。下列关系正确的是（）A．物体A随地球自转的角速度大于卫星B的角速度B．卫星B的线速度大于卫星C的线速度C．物体A随地球自转的加速度大于卫星C的加速度D．物体A随地球自转的周期大于卫星C的周期27．如图4－4－2所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是()\f(a1,a2)＝eq\r(\f(r,R))\f(a1,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))2\f(v1,v2)＝eq\f(r,R) \f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))十五、卫星的轨道28．（多选）可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道()A．与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆（如a）B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆C．与赤道平面成一夹角的椭圆，地心是其中一个焦点（如c）D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是静止的（如b）29．(多选)1970年4月24日,我国自行设计、制造的第一颗人造卫星“东方红一号”发射成功,开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道,如图所示,其近地点M和远地点N的高度分别为439km和2384km,则（）A.卫星在M点的速度小于N点的速度B.卫星在M点的角速度大于N点的角速度C.卫星在M点的加速度大于N点的加速度D.卫星在N点的速度大于7.9km/s十六、椭圆轨道卫星问题vv1r1r2v2近地点远地点（1）线速度v，近地点；远地点；根据开普勒第二定律：v1r1=v2r2.（2）加速度a，根据牛顿第二定律a=F/m=.（3）周期T，根据开普勒第三定律a3/T2=K,.30．（多选）(2022·东北三校模拟)如图3所示，地球球心为O，半径为R，表面的重力加速度为g。一宇宙飞船绕地球无动力飞行且沿椭圆轨道运动，轨道上P点距地心最远，距离为3R，则()A．飞船在P点的加速度一定是eq\f(g,9)B．飞船经过P点的速度一定是eq\r(\f(gR,3))C．飞船经过P点的速度小于eq\r(\f(gR,3))D．飞船经过P点时，对准地心弹射出的物体一定沿PO直线落向地面31．（多选）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1和2相切于Q点，轨道2和3相切于P点，设卫星在1轨道和3轨道正常运行的速度和加速度分别为v1、v3和a1、a3，在2轨道经过P点时的速度和加速度为v2和a2，且当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时周期分别为T1、T2、T3，以下说法正确的是（）A．v1＞v2＞v3B．v1＞v3＞v2C．a1＞a2＞a3D．T1＜T2＜T3十七、卫星变轨问题（1）渐变①变轨原因——卫星受大气微弱阻力卫星在高空运动中通常不计微小的空气阻力而在圆周轨道圆周运动，万有引力刚好等于需要的向心力mv2/r。若考虑到微弱空气阻力影响，则在同一圆周轨道上运动的卫星速度减小而使需要的万有引力mv2/r小于此时的万有引力，不能保持圆周运动的条件，卫星从大圆周轨道渐变为小圆轨道。卫星的运动轨道实际上是半径逐渐微弱减小的螺旋线。②不同轨道上的加速度、速度比较速度变小是变轨的原因，但变轨的结果反而是导致速度变大。因为万有引力做正功大于微小空气阻力所做的负功而使其有动能变大，即速度变大。即“坏心反而办了好事”。（2）突变①变轨原因——卫星瞬间加、减速卫星在圆周轨道正常圆周运动，万有引力刚好等于需要的向心力mv2/r。若在此时卫星上的发动机突然加速一下下，需要的万有引力mv2/r大于此时的万有引力，不能保持圆周运动的条件，卫星从圆周轨道1运动变为椭圆轨道2运动，且椭圆与圆外切于加速点P，如右图所示。若卫星在1轨道上P点突然减速，则其轨道将变为与圆周轨道内切的椭圆轨道。②变轨前后瞬间速度比较从轨道1瞬间加速离心变到轨道2，所以有vp1<vp2.③不同轨道上的加速度比较常比较P点处两轨道上的加速度，因在此处只受万有引力且相同，由牛顿第二定律得出卫星在两轨道上的P点加速度相同。即ap1=ap2.32．(2022·江西赣中南五校高三入校联考)一人造卫星绕地球运动，由于受到稀薄气体阻力的作用，其轨道半径会缓慢发生变化。若卫星绕地球运动一周的过程都可近似看做圆周运动，则经过足够长的时间后，卫星绕地球运行的()A．半径变大，角速度变大，速率变大B．半径变小，角速度变大，速率变大C．半径变大，角速度变小，速率变小D．半径变小，角速度变小，速率变小33．（2022·天津卷）我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接十八、双星系统模型的特点——先约分后相加(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m1r1＝m2r2。34．(多选)经长期观测,人们在宇宙中已经发现了“双星系统”,“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成,每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离,而且“双星系统”一般远离其他天体。如图所示,两颗星球组成的双星,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L,质量之比为m1∶m2=3∶2,则可知（）、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3、m2做圆周运动的线速度之比为2∶3做圆周运动的半径为25做圆周运动的半径为L35．（多选）（2022·全国卷=1\*ROMANI）2022年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（）A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度十九、三星36．假设宇宙中存在质量相等的三颗星体且分布在一条直线上，其中两颗星体围绕中央的星体转动，假设两颗星体做圆周运动的半径为R，每个星体的质量均为m，引力常量为G.忽略其他星体对该三颗星体的作用．则做圆周运动的星体的线速度大小为()A.eq\r(\f(Gm,4R)) B.eq\r(\f(5Gm,R))C.eq\r(\f(5Gm,4R)) D.eq\r(\f(Gm,R))37．(2022·大连二模)宇宙空间有一些星系与其它星体的距离非常遥远，可以忽略其它星系对它们的作用．如图2所示，今有四颗星体组成一稳定星系，在万有引力作用下运行，其中三颗星体A、B、C位于边长为a的正三角形的三个顶点上，沿外接圆轨道做匀速圆周运动，第四颗星体D位于三角形外接圆圆心，四颗星体的质量均为m，万有引力常量为G，则下列说法正确的是()A．星体A受到的向心力为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\r(3)))eq\f(Gm2,a2)B．星体A受到的向心力为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2\r(3)))eq\f(Gm2,a2)C．星体B运行的周期为2πaeq\r(\f(a,1＋3\r(3)Gm))D．星体B运行的周期为2πaeq\r(\f(a,3＋\r(3)Gm))二十、黑洞(1)黑洞是现代广义相对论中，宇宙空间内存在的一种密度无限大体积无限小的天体。黑洞的引力很大，使得视界内的逃逸速度大于等于光速。（2）黑洞的逃逸速度大于等于光速c，即黑洞的第二宇宙速度，是黑洞第一宇宙速度的倍。（3）白洞：科学家最新研究理论显示，当黑洞死亡时可能会变成一个“白洞”，它不像黑洞吞噬邻近所有物质，而是喷射之前黑洞捕获的所有物质。38．英国《新科学家(NewScientist)》杂志评选出了世界8项科学之最,在XTEJ1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中,若某黑洞的半径R约为45km,质量M和半径R的关系满足MR=c2A.108m/s2 B.10C.1012m/s2 D.10二十一、拉格朗日点问题大家知道，地球绕太阳一圈时间是一年（公转周期），“太阳系中公转周期为一年的星体轨道半径是多大呢？”这个问题看似简单，显然是“与地球轨道半径一样”，因为地球公转周期就是一年呀。这样回答是错误的！实际上，要真是在地球轨道上再放一个物体，由于受到地球的影响，公转周期就不是一年，除非将地球拿走。在地球存在的情况下，能满足问题条件的特殊点共有5处，就是拉格朗日点了，分别记作L1、L2、L3、L4、L5，这5个点前三个实际上是由欧拉发现的，法国数学家拉格朗日后来又证明了L4、L5的存在，现在人们都将这5个点统称为拉格朗日点了。拉格朗日于1772年推导证明在这些点，小物体能相对于两个大物体保持相对静止（如果两个大物体是太阳和地球，那么这个小物体绕太阳公转时间为一年）。他可能没想到，200多年后，他的这个发现被科学家广泛应用。在太阳与地球的L1点，现在已被放置太阳探测仪，L2点因背对太阳，易于保护校准，适合放置空间天文台，嫦娥二号卫星也选择这里（太阳－地球拉格朗日L1、L2点距地球约150万公里）。L3、L4、L5因离地球较远，目前还没有被利用。另外，地球—月球的拉格朗日L1点是登月的必经之路，非常适合建造地月间的旅行中转站，所以这个位置显得非常重要，占领这个位置，就抢占了通往月球的咽喉，这对于月球的开发的意义是显而易见的。地月拉格朗日点：L1、L2距离月球万km，距离地球分别为±万km，L3、L4、L5距离地球一个，也就是万km。39．(2022·山东卷)如图所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．