2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.2 菱形的性质与判定 基础篇练习

专题L2菱形的性质与判定（基础篇）（专项练习）

一、单选题

类型一、利用菱形的性质求角

1.如图，在菱形A8CD中，ZABC=10°,对角线AC、8。相交于点。，E为3c中点,

则NCOE的度数为（）

A.70°B.65°C.55°D.35°

2.如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个内

角为100。的菱形，剪切线与折痕所成的角的大小等于（）

类型二、利用菱形的性质求线段

3.如图，菱形A8C。的两条对角线相交于点。，若ZADC=12O°,DO=2,菱形的周

长为（）

D

B

A.8B.16C.12D.12>/3

4.如图，菱形ABC。的顶点4B,C的坐标分别是(0,2),(2,1),(4,2),则顶点。的

坐标是（)

C.(3,2)D.(2,3)

类型三、利用菱形的性质求面积

5.图，边长为。的正六边形内有一边长为“的菱形，该菱形其中一个内角为60。，则

A.3B.4C.2D.1

6.如图，四边形ABCD为菱形，点A、B、C、。在坐标轴上，4（石,0）,A8=3,则

菱形ABC。的面积等于（）.

C.475D.8百

类型四、利用菱形的性质证明

7.如图，四边形4BC。是菱形，E、尸分别是8C、CD两边上的点，添加一个条件,

不能判定AABE丝△的）尸的是（)

A

A.EC=FCB.AE=AFC.ZBAF=ZDAED.BE=DF

8.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）

A.对角线互相平分B.对角线互相垂直且相等

C.对角线相等D.对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角

类型五、添加一个条件证明四边形是菱形

9.如图，AABC中，D为BC上一点,DE〃AB,DF//AC.增加下列条件能判定四边

形AFDE为菱形的是（）

A.点力在N84C的平分线上B.AB=AC

C.ZA=90°D.点。为BC的中点

10.如图，已知A8C3为任意四边形,E,F,G,"分别为AB,BC,CD,D4的

中点，添加下列哪个条件，不能判断四边形EFG”为菱形的是（）

A.EH=HGB.EGA.HFC.AC=BDD.AC±BD

类型六、证明已知四边形是菱形

11.如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点。在边AB的延长线上，连接EC,CD,

若A8=BC,那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BOEC是菱形；

③AC，DC；④。C平分NBOE,正确的有（）

12.小红按如下操作步骤作图：

①作线段AB；

②分别以点4、8为圆心，以线段d（力;4B）的长为半径画弧，分别相交于点C、。两

③连接AC、BC、A。、BD.

则四边形AOBC一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.以上都不对

类型七、用菱形的性质与判定求角度

13.菱形不具备的性质是（）

A.对角线一定相等B.对角线互相垂直

C.是轴对称图形D.是中心对称图形

14.尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线，已知：如图（1）,直线/及外一点A,

求作/的垂线，使它经过点A,小红的做法如下：

①在直线/上任取一点B,连接48

②以A为圆心，A8长为半径作弧，交直线/于点O；

③分别以瓦。为圆心，A8长为半径作弧，两弧相交于点C；

④作直线AC,直线AC即为所求如图（2）,小红的做题依据是（）

ra(i>m<2)

A.四条边都相等的四边形是菱形：菱形的对角线互相垂直

B.直径所对的圆周角是直角

C.直线外一点到这条直线上垂线段最短

D.同圆或等圆中半径相等

类型八用菱形的性质与判定求线段

15.如图，在平行四边形ABC。中，NBA。的平分线交BC于点E,NABC的平分线交

AQ于点尸，若BF=6,AB=5,则AE的长为（）.

D.8

16.如图，在RMABC中，/C=90。，4=30。，AB=2,将Z8EF沿EF所在直线翻折

得到ZDEF,点。为/4BC的平分线与边4c的交点，则线段EF的长度为（）

A.；B.近C.-D.2百

2233

类型九、用菱形的性质与判定求面积

17.如图，在NMON的两边上分别截取。4,OB,使。4=08；再分别以点A,B为

圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接4C,BC,AB,OC.若他=2,OC=4,

则四边形AO8C的面积是（）

M

O

5

A.45/5B.8C.4D.

2

18.如图，在矩形ABC。中，E、F、G、〃分别为边AB、BC、CD、D4的中点.若AB

=4,AD=6,则图中阴影部分的面积为（）

A.12B.6C.24D.3

二、填空题

类型一、利用菱形的性质求角

19.如图，在菱形ABC。中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F,垂足为点E,连接

AF.AC,若NZ)CB=70。，则/项C=

20.如图，菱形ABCD的对角线相交于点。，延长BC至点E,使CE=BC,连接3E,

类型二、利用菱形的性质求线段

21.如图，已知菱形ABCD的对角线AC,的长分别为6,4,贝ijAB长为

B

22.若一个菱形的两条对角线长分别为10和24,则这个菱形的边长是.

类型三、利用菱形的性质求面积

23.在菱形A3CO中，AC=10,BD=24,则菱形的边长等于,面积等于.

24.如图，菱形A8CZ）的周长为40,P是对角线8。上一点，分别作尸点到直线AB、

的垂线段PE、PF,若PE+PF=8,则菱形的面积为.

类型四、利用菱形的性质证明

25.如图，在四边形ABC。中，A3与CO不平行，E、尸分别是A£＞、3c的中点，G、

，分别是B。、AC的中点，当AB、CD满足条件时，有EFLGH.

26.尺规作图：作一个角的平分线.

小涵是这样做的：

已知：AMAN,如图1所示

求作：射线AO,使它平分

图1图2

作法：（1）如图2,以A为圆心，任意长为半径作弧，交AM于点B,交AN于点C；

（2）分别以5、C为圆心，A8的长为半径作弧，两弧交于点。；

（3）作射线49.

所以射线AD就是所求作的射线.

小涵是个喜欢动脑筋的孩子，他继续对图形进行探究：连接3。、CO和3C,发现8c

与AD的位置关系是,依据是.

类型五、添加一个条件证明四边形是菱形

27.在四边形A8C。中，AB//CD,AD//BC,添加一个条件,即可判定该四

边形是菱形.

28.小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件:①A5=8C；②③">=BC；

®AC±BD,⑤AC=B£>.从中随机抽取一张卡片，能判定oABCD是菱形的概率是.

类型六、证明已知四边形是菱形

29.如图，在口ABC£>中，点E是8c边上的动点，已知AB=4,BC=6,ZB=60°,

（1）如图1,当点方恰好落在AO边上时，x=；

（2）如图2,若点8,落在△4OE内（包括边界），则x的取值范围是

30.菱形的判定：

（1）有一组邻边的平行四边形叫做菱形.

D

几何语言描述：

•.•四边形ABC。是平行四边形，AB=

二四边形ABC。是菱形.

几何语言描述：

：在平行四边形ABCD中，AC±____________

平行四边形ABCC是菱形.

(3)四条边都的四边形是菱形.

几何语言描述：

;在四边形ABC。中，AB=BC=CD=,

；•平行四边形48C。是菱形.

类型七、用菱形的性质与判定求角度

31.如图在菱形488中，边AB的垂直平分线与对角线AC相交于点E,23=14()。,

那么4DEC=度.

32.如图，菱形A8CO中，/。=120。，点E在边CO上，将菱形沿直线4E翻折，使点

。恰好落在对角线AC上，连结则°.

类型八用菱形的性质与判定求线段

33.如图，在平行四边形A8CC中，AE平分/84力，交BC于点E,8尸平分乙4BC,

交A。于点F,AE与BF交于点P,连结EF,PD.若AB=4,A£>=6,NABC=60。，则。P

34.如图，矩形ABC。的对角线AC,8。相交于点O,DE//AC,CE//BD.若A£>=2,

AB=3,则四边形CODE的周长是

类型九、用菱形的性质与判定求面积

35.如图，在四边形ABC。中，对角线AC,交于点。，AC与80互相垂直且平分,

BD=6,AC=8,则四边形周长为,面积为.

36.如图，在NMON中，使OA=OB,按以下步骤作图：①以。为圆心，任意长为半

径作弧，分别交OM,ON于点A,B-,②分别以点A、8为圆心，0A长为半径作弧，两弧

交于点C；③连接AC、BC、AB、0C.若A8=2cm,四边形Q4C8的面积为4cn?.则0C

的长为cm.

三、解答题

37.如图，在菱形A5C。中，AELBC于点E,AFLCZ)于点F.

⑴求证:BE=DF.

(2)当NBA£)=110。时,求NEA尸的度数.

>°

C

38.如图，在菱形A8C。中，对角线AC、B力相交于点0,过点。作对角线8。的垂

线交BA的延长线于点E.

(1)证明：四边形ACDE是平行四边形;

(2)若AC=8,BD=6,求△ADE'的周长.

39.如图，四边形A8CD是菱形，边长为10cm,对角线AC,8。交于点O,NBAD=

60°.

(1)求对角线AC,80的长；(2)求菱形的面积.

40.如图，在菱形A6C。中，E是对角线AC上的一点.连BE,DE,求证：BE=DE.

41.如图，四边形ABC。的对角线AC与8。交于点0,若ABHCD,OA=OC,

(1)求证：四边形ABC。是平行四边形

(2)请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件，使四边形ABC3是菱形

42.如图，在四边形A6CO中，AC与80相交于点0.且AO=CO,点E在上,

满足NE4O=NOCO.

(1)求证：△AOE之△(%)£)；

(2)若A8=BC,求证：四边形AECO是菱形.

43.如图，80是AA6C的角平分线，过点。作交48于点E,DFUAB交BC

于点F.

(1)求证：四边形3瓦不是菱形；

(2)如果2A=80,NC=30,求NBDE的度数.

44.图，点力为△ABC边AC上一点，过点。作OE〃AB,点。为BE的中点，连接

A。并延长，交QE的延长线于点F,连接AE、BF.

(1)试判断四边形A8FE的形状，并说明理由；

(2)若AB=B凡AC=10,NC=3(T,求OC的长.

45.如图，在平行四边形中，BELAD,BFLCD,垂足分别为E,F,且4E=

CF.

(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；

(2)若力B=10,AB=13,求平行四边形4BC。的面积.

参考答案

1.C

【分析】

先根据菱形的性质求出/8AC的度数，再证0E是AABC的中位线即可得到答案.

解：；四边形48co是菱形，

AD〃8C,点。是4c的中点，ZBAC=-ZBAD,

2

：.NBAD=1S00-ZABC=110°,

ZBAC=55°,

是8c的中点，

.••。后是4ABC的中位线，

：.OE//AB,

.".ZCOE=ZBAC=55°,

故选C.

【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的性质，熟知菱形的性质是解题的关

键.

2.C

【分析】

折痕为AC与8。，N8AO=100。，根据菱形的对角线平分对角可得NA8。和N8AC的

度数，由此得出答案.

解：如下图，

•••四边形ABCD是菱形；

：・NABD=gNABC,NBAC=；NBAD,AD//BC；

VZBA£>=l()0o,

・•.ZABC=1800-ZBAD=80°,

・・・NABD=40。,ZBAC=50°,

・•・剪切线与折痕所成的角的大小应为40°.

故选：C.

A

【点拨】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，熟练掌握菱形对角线平分对角的性质

是解题的关键.

3.B

【分析】

根据菱形的对角线互相垂直，四边形相等，每条对角线平分每组对角，易得到

N£>CO=30。，再根据含30。的直角三角形的性质求出菱边CO的长度，然后用菱形的周长公

式求解.

解：；菱形A8C。的两条对角线交于点。，ZADC=120°,

AACLBD,ZZX;B=60°,AD=AB=BC=CD,

：.ZACD=NBCA=-NDCB=30°,

2

在R/ADOC中，DO=2,

8=28=2x2=4,

菱形ABCD的周长为4x4=16,

故选：B.

【点拨】本题主要考查了菱形的性质、含30°的直角二角形的性质，理解菱形的性质是

解答关键.

4.D

【分析】

根据菱形的性质以及中点坐标公式即可求解.

解：设。点的坐标为（。力），

菱形的对角线的交点也是两条对角线的中点，

...AC的中点与80的中点坐标相同，

a+2_0+4

...根据中点坐标公式有：八22

力+12+2

则4=2,b=3,

即。点坐标为：(2,3),

故选：D.

【点拨】本题考查了菱形的性质和中点坐标公式，掌握并运用中点坐标公式是解答本题

的关键.

5.C

【分析】

边长为a的正六边形可拆成6个边长为〃的等边三角形，图中的菱形有一个/为60°,

则该菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形，所求即可解

由图可知，边长为a的正六边形可拆成6个边长为“的等边三角形，图中的菱形有一个

角为60。，则该边长为a的菱形可以拆成2个边长为〃的等边三角形，

边长为«的等边三角形的底边上的高也是底边的中线，

6

则利用勾股定理可得高为：亚-((

2F

6

一

边长为。的等边三角形的面积为：-x<2。餐,

24

则可知正六边形的面积为：立/x6=百"，2-I-八s八一“，

4242

则阴影部分的面积为：述。2一正。2=吗2,

22

s皿影_Gq-

则有。一7F7，

w——a'

2

故选：C.

【点拨】本题主要考查/三角形的基本概念和正多边形的基本概念，通过特殊角以及菱

形和正六边形的边长相等，得出正六边形可拆成6个边长为“的等边三角形，菱形可以拆成

2个边长为a的等边三角形是解答本题的关键.

6.C

【分析】

利用勾股定理求出。8,再利用菱形对角线互相垂直且平分的性质求出AC和BZ),最后

利用菱形面积公式求解即可.

解：

0A=逐，

•••四边形A8C。为菱形，

..AC上BD,

:.OB=>/AB2-OA2=J3-逐了=2，

；.BD=2OB=2x2=4,

AC=20A=2s/5，

，菱形ABC力的面积5=,4£'-8。=1、2石*4=4有，

22

故选C.

【点拨】本题考查勾股定理、菱形的性质及面积公式，熟练掌握“菱形的对角线互相垂

直且平分”是解题的关键.

7.B

【分析】

根据菱形的性质结合全等三角形的判定条件逐项判断即可.

解：：四边形48C。是菱形，

AAB=AD=BC=CD,ZB=ZD.

A.由EC=FC,可得出8C—CE=C£>—C",即8£=£>尸，

A^ABE^ADF(SAS),故该选项不符合题意；

B.AE=AF,结合已知不能证明"BE丝AWF(没有“5S4”或"ASS'),故该选项

符合题意；

C.由NBAF=ND4£,可得出一84尸一=,即

ZBAE=NDAF,

：.^ABE^ADF(ASA),故该选项不符合题意；

D.由BE=O尸可直接证明“BE丝”。尸(SAS),故该选项不符合题意；

故选B.

【点拨】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定.熟练掌握上述知识是解题关键.

8.D

【分析】

根据菱形的性质与平行四边形的性质逐项分析判断即可.

解：A.菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；

B.菱形和平行四边形的对角线都不相等，故B选项不符合题意；

C.菱形的对角线不相等，故C选项不符合题意；

D.菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角，平行四边形的对角线不

互相垂直，每一条对角线不平分一组对角，故D选项符合题意.

故选：D.

【点拨】本题考查了平行四边形和菱形的性质，熟练掌握菱形性质是解题的关键.

9.A

【分析】

根据平行四边形的判定和性质定理已经菱形的判定定理即可得到结论.

解：如图所示，连接4。

。尸〃AC交A8于点F,

...四边形。E4F是平行四边形，ZFAD=ZEDA,

当点。在/BAC的平分线上时，

二NFAD=NEAD,

：.ZEAD=ZEDA,

：.AE=DE,

二四边形OECF是菱形，故选项A符合题意；

当AB=AC时，不能说明四边形。ECF是菱形，故选项B不符合题意；

当NA=90。时，只能说明四边形。ECF是矩形，故选项C不符合题意；

当点。为BC的中点时，不能说明四边形。ECF是菱形，故选项D不符合题意；

故选：A.

A

【点拨】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，正确的

识别图形是解题的关键.

10.D

【分析】

根据题意连接3D,AC,根据三角形中位线定理与菱形的判定求解即可.

解：如图连接8。，AC,

因为E、F、G、”分别是边48、BC、C。、D4的中点，根据三角形中位线定理，

WEH〃DB,DB//FG.AC//HG,AC\\EF,故四边形EFG”是平行四边形.

A选项：EH=HG,邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意.

B选项：EG1HF,对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意.

C选项：AC=B£＞，根据三角形中位线定理”G=；AC,HE=；BD,故EH=HG,

即邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意.

D选项：ACA.BD不能证明四边形EFG4是菱形，符合题意.

【点拨】本题主要考查菱形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是连接80，AC,

根据三角形中位线定理与菱形的判定求解即可.

11.D

【分析】

利用平移的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质逐项判断即可.

解：•.•平移△48C到ABOE的位置，且点。在边48的延长线上，

AD//CE,AC//BE,

.•.四边形A8EC是平行四边形，

故①正确：

♦.•平移△ABC到^BDE的位置，

：.AB=BD^CE,BC=DE,

"：AB=BC,

：.AB=BD=CE=BC=DE,

.••四边形3OEC是菱形，

故②正确；

•••四边形BDEC是菱形,

：.BELCD,

'：AC||BE,

ACVCD,

故③正确；

；四边形8OEC是菱形，

.•.QC平分/83E,

故④正确：

,正确的有4个.

故选D.

【点拨】本题主要考查了平移的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质.

12.B

【分析】

根据垂直平分线的画法得出四边形AOBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形.

解：•••分别以A和B为圆心，大于;A3的长为半径画弧，两弧相交于C、D,

：.AC=AD=BD=BC,

•••四边形AO8C一定是菱形，

故选：B.

【点拨】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关

健.

13.A

【分析】

根据菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形

的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2

条对称轴，分别是两条对角线所在直线，即可判断.

解：根据菱形的性质可知：

菱形的对角线互相垂直平分，故B正确；

菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C,D正确；

菱形不具备对角线一定相等，故A错误；

故选：A.

【点拨】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质.

14.A

【分析】

根据作法和菱形的判定方法可证明四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的性质判断AC

与BD垂直.

解：由作法得AB=AD=BC=DC,则四边形ABCD为菱形，

所以ACJ_BD.

即四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直.

故选A.

【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；

作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线

的垂线）.

15.D

【分析】

首先利用平行四边形的性质和角平分线的定义得出四边形A8EF是菱形，然后利用菱形

的性质求解即可.

解：设AE与B尸交于G,

AD

\TGK\\

BEC

・・・四边形ABCD是平行四边形，

：.ADIIBC,

:.ZAFB=/EBF.NFAE=NBEA,

,/BF平分ZA3C,

:.ZABF=NEBF,

.\ZAFB=ZABF,

:.AF=AB,

TAE平分/BAR

AZBAE=ZME,

；.NBAE=NBEA,

:.AB=BE,

:.AF=BE,

9

：AD//BCfHPAF//BE,

・••四边形A8EF是平行四边形.

9

：AB=AFf

・・・四边形A8EE是菱形，

AE±BF,AG=GE=-AE,BG=GF=-BF=3,

22

,?AB=5,

:.AG=\IAB2-BG2=4>

.\AE=2AG=8.

故选：D.

【点拨】本题主要考查平行四边形性质，菱形的判定与性质，等腰三角形判定与性质,

角分线定义，勾股定理，掌握平行四边形性质，菱形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，

角分线定义，勾股定理是解题关键.

16.C

【分析】

连接8n求证四边形BED尸是菱形，利用含30度角的直角三角形的性质以及等边三

角形的判定和性质求解即可.

解：如图，连接3D,

VZC=90°,NA=30。，AB=21

：.BC=L1,ZABC=90°-ZA=60°,

2

・・,点。为NABC的平分线与边AC的交点，

・・・ZABD=ZCBD=-NABC=30。，

2

•.•将ABE尸沿Ef所在直线翻折得到△。石尸，

:・BE=DE,BF=DF,

AZEDB=ZCBD=30°fNFDB=NABD=30。,

：.ZEBD=ZFDB=30°fNEDB=NFBD=30°,

:・BE〃DF,BF//DE,四边形BED厂是平行四边形，ZADF=ZC=90°,

又〈BE=DE,

・・・四边形BEDF是菱形,

:・BE=BF=DF=DE,

在放44。尸中，

VZA=30°,

♦：AF=2DF=2BF,

:.AB=AF+BF=2BF+BF=3BF,

BF—-AB——,

33

又­?BE=BF,NABC=60°,

•・.△BE厂是等边三角形，

：.BE=BF=EF^~,

3

故选：C.

【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形

的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握运用这些知识点.

17.C

【分析】

根据作法判定出四边形CMC8是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算

即可得解.

解：根据作图，AC=BC=OA,

■:OA=OB,

OA=OB=BC=AC,

四边形OACB是菱形，

VAB=2,OC=4,

S菱形0Aoi.X2X4=4.

故选：C.

【点拨】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键.

18.A

【分析】

连接AC,BD,FH,EG,得出平行四边形A8FH,推出HF=AB=2,同理EG=4O=4,

求出四边形EFGH是菱形，根据菱形的面积等于/xGHx〃F,代入求出即可.

解：连接AC,BD,FH,EG,

,:E,F,G,”分别为边A8,BC,CD,D4的中点，

：.AH^^AD,BF=；BC,

：四边形ABC。是矩形，

：.AD=BC,ADUBC,

：.AH=BF,AH//BF,

：.四边形AHFB是平行四边形,

：.FH=AB=2,

同理EG=AD=4,

；四边形ABC。是矩形，

：.AC^BD,

VE,F,G,，分别为边AB,BC,CD,D4的中点，

：.HG//AC,HG=；AC,EF//AC,EF=^AC,EH=|BD,

：.EH=HG,GH=EF,GH//EF,

；•四边形EFGH是平行四边形，

.•.平行四边形EFGH是菱形，

J.FHVEG,

.•.阴影部分EFGH的面积是\xHFxEG=1x6x4=12,

【点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定等知识点，关

健是求出四边形EFGH是菱形.

19.20°

【分析】

由菱形的性质和等腰三角形的性质求出N8AC和2或8的度数，即可解决问题.

解：:EF是线段A8的垂直平分线，

；.AF=BF,

：.ZFAB=ZFBA,

:四边形ABC。是菱形，NDCB=70。,

：.BC=AB,ZBCA=^ZDCB=35°,ACA-BD,

...NBAC=NBC4=35°,

ZFBA=90°-ZBAC=55°,

：.ZFAB=55°,

ZMC=ZFAB-ZBAC=55°-35°=20°,

故答案为:20°.

【点拨】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形

的性质是解题的关键.

20.20°

【分析】

根据菱形的性质得到8c=CL»=CE,求出ZDCE的度数，利用菱形的性质求出N08C即

可.

解：•.•四边形A8CD是菱形，

:.BC=CD,AB//CD,

CE=BC,

：.CE=CD,

：.ZCDE=ZE=70°,

；.NDCE=；(180°-2ZE)=40°,

'：AB//CD,

，N48C=NOC£MO°,

二NOBC=gN48c=20。，

故答案为：20°.

【点拨】此题考查了菱形的性质，等边对等角求角度，熟记菱形的性质是解题的关键.

21.713

【分析】

根据菱形的性质求得。4，。8的长，然后在RfAAOB中利用勾股定理即可求解.

解：：菱形ABCO的对角线AC,8。的长分别为6,4,

AC_L肛OA=-AC=3,OB=-BD=2,

22

Rt\AOB中，AB=-JO^+OB2=也+2?=V13，

故答案为：岳

【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

22.13

【分析】

根据菱形的性质对角线互相垂直且互相平分，再利用勾股定理AB=JAO'BO?即可

得到菱形的边氏.

解：如图，80=10,AC=24,

•••四边形ABC。是菱形，

.'.OA^^AC=12,O8=g8D=5,AC1BD,

••AB=飞AO。+BO。=13.

故答案为：13.

【点拨】本题考查了菱形的性质和勾股定理的运用，掌握菱形的性质是解题的关键.

23.13120

【分析】

由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长；由菱形面积公式即可求得面

积.

解：根据题意，设对角线AC、8。相交于。，

在菱形A8CD中，AO=1AC=5,BO=-BD=12,且AO_L8。，

22

AB=yjACP+BO2=13>

•••菱形对角线相互垂直，

二菱形面积是S」ACxBO=120.

2

故答案为：13,120.

【点拨】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，注意菱形各边长相等的性质，勾

股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求A8的值是解题的关键.

24.80

【分析】

根据菱形的性质得到49=AD=1()，再根据三角形的面积公式计算即可.

解：连接AP

•••四边形ABCD是菱形

:.AB=AD

•.•菱形ABC。的周长为40

:.AB=AD=1O

PELAB,PFLAD

二菱形ABCD的面积

==2x(S^+)=2x(1x10-PE+1x10-PF)=10(PE+PF)

-.-PE+PFS

•••菱形ABC。的面积=10x8=80

故答案为：80.

【点拨】本题考查了菱形的性质、三角形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键.

25.AB=CD

【分析】

当AB=CZ)时，有EFLGH,连接GE、GF、HF,EH,根据三角形的中位线定理可得

EG=GF=FH=EH,则四边形E尸GH是菱形，最后利用菱形的性质即可.

解：当A8=CO时，有EFLGH,理由如下：

如图所示，连接GE、GF、HF、EH.

G分别是A。、8。的中点，

...£：6是4A3。是中位线

：.EG=^AB,

同理=^48,FG=|CD,BH=^CD.

又,：AB=CD

:.EG=GF=FH=EH.

，四边形EFG”是菱形

：.EFLGH.

故答案为：AB=CD.

【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定与性质，找到证明EFG”是菱

形的条件是解答本题的关键.

26.AD1BC(AD与BC互相垂直)菱形的对角线互相垂直

【分析】

作NBAC的平分线，就是要证明这条射线是角平分线，把这条射线分得的两个角置于

两个三角形中，为构造两个三角形，以A为圆心，任意长为半径作弧，交AM于点B,交

AN于点C,满足AB=AC,然后分别以B、C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；

由有BD=CD,由AD=AD,△ABD^AACD,则/BAD=/CAD,

脑筋的孩子，他继续对图形进行探究：连接BD、CD和BC则AB=BD=CD=AC,四边

形ABDC为菱形，BC与AD是菱形的对角线，BC1AD,.

解：以A为圆心，任意长为半径作弧，交AM于点B,交AN于点C；则AB=AC,

分别以B、C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；则BD=CD.

VAD=AD,

.,.△ABD^AACD(SSS),

，ZBAD=ZCAD,

...AD是/BAC的平分线

由作图知AB=BD=CD=AC,

，四边形ABDC为菱形，

/.BC±AD.

故答案为：①BCLAD,②菱形的对角线互相垂直.

【点拨】

本题考查尺规作图中角平分线的拓展问题，关键是掌握角平分线的作法依据全等三角形,

由于作图的半径相同，由要掌握菱形的判定与性质.

27.AB^AD(答案不唯一)

【分析】

根据平行四边形的判定证出四边形A5co是平行四边形，根据菱形的判定证出即可.

解：添加的条件是AB=AD

理由如下："."AB//CD,AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形，

若48=40,

四边形A8C。是菱形.

【点拨】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定等，能根据菱形的判定定理正

确地添加条件是解此题的关键.

2c8。.2一

5

【分析】

根据菱形的判定定理判断哪个条件合适，然后根据概率公式计算.

解：根据菱形的判断，可得①；④能判定平行四边形A8CQ是菱形，

2

二能判定QABC。是菱形的概率是不，

2

故答案为：j.

【点拨】本题考查了菱形的判定，概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键.

29.224x42#-2

【分析】

(1)根据折叠的性质知EC=BC-BE=6-4=2；

(2)当片落在DE上时，作于4,由折叠的性质可证A£>=QE,再利用AABH

是含30。的直角三角形，从而求出。夕的长，即可解决问题.

解：(1)：将AABE沿AE折叠，点&是点8的对应点，

：.AB=AB\NB=NAB'E,

•.•四边形A8CD是平行四边形，

：.ZB=ZADC,AB//CD,AD//BC,

，NAB'E=NADC,

：.B'E//CD,

：.B'E//AB,

...四边形A母讨是平行四边形，

四边形ABEb是菱形，

二EC=BC-BE=6-4=2,

故答案为：2；

（2）如图，当片落在。E上时，作AHLDE手〃,

VZAB'H=60°,AB'=4,

：.HB'=^AB'=2,AH=4iHB'=2y/3,

在RtXADH中，

DH=j6?-（2后=2x/6.

'：AD//BC,

：.ZDAE=ZAEB=ZAED,

.•.£>4=OE=6,

EB=BE=6-（2屈-2）=8-2瓜,

二EC=BC-BE=6-（8-2娓）=2娓-2,

；•若点8,落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是24x426-2，

故答案为：24x426-2.

【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，含30。角的直角三角形的性质

等知识，找到临界状态求出x的长是解题的关键.

30.相等AD垂直BD相等AD

略

31.40

【分析】

由菱形性质解得C5=CDZBCE=ZDCEf进而证明二△OCE(S4S),再由全等

三角形对应角相等的性质，解得NEDC=NEBC,结合线段垂直平分线的性质解题即可.

・・•四边形ABCD是菱形，

，CB=CD,ZBCE=ZDCE

在ABCE和中

CB=CD

•NBCE=NDCE

CE=CE

..△BCE-DCE(SAS)

:.ZEDC=ZEBC

•••在菱形中ABCD中，ZABC=14O°

:.ZBAD=1800-ZABC=40°

^BAC=-ZBAD=20°

2

・・・边AB的垂直平分线与对角线AC相交于点E,

:.AE=BE

:.ZABE=ZBAC=20°

Z.EBC=ZABC-ZABE=120°

,\ZEDC=\20°

.../DEC=180O-120-20°=40°

故答案为：40.

【点拨】

本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的性质，其中涉及菱形的性质、全等三角形的判

定与性质、三角形内角和180。等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

32.75

【分析】

根据菱形的性质先求出NBAC,再由折叠知AD=AB,从而求出NADB的度数.

解：•••四边形ABCD为菱形，

；.AB=BC=CD=AD,CD〃AB,

VZD=120°,

...NDAB=60。，

VAC为菱形ABCD的对角线，

/BAC=30°,

•••将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，

.,.AD'=AD,

.,.AD'=AB,

ZAD'B=^(180-ZBAC)=75°,

故答案为：75.

【点拨】本题是对菱形知识的考查，熟练掌握菱形的性质定理是解决本题的关键.

33.24

【分析】

先证明四边形A8EF是菱形，可得再由NABC=60。，可得/ABF=30。，

胆P=60。，从而得到AP=』AB=2,再过点P作于M,可得AM=，AP=1,

22

PM=y/3,再由勾股定理，即可求解.

解：