2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.3菱形的性质与判定 巩固篇练习

专题1.3菱形的性质与判定（巩固篇）（专项练习）

一、单选题

类型一、利用菱形的性质求角

1.如图，在菱形ABCD中，ZBAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点尸，垂足

为E.连接。尸，则NQEE■等于（）

A.120°B.140°C.150°D.160°

2.如图,四边形ABCO内有一点E,AE=EB=BC=CD=DE,AB=AD,若/C=150。，贝ij

NBA。的大小是（)

C.75°D.80°

类型二、利用菱形的性质求线段

3.如图，在菱形A8CO中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE_LBC于点E,PFLAB

于点凡若菱形4BCD的周长为20,面积为24,则尸E+PF的值为（）

48

D.

T

4.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的顶点A在y轴上，顶点B,C

的坐标分别为(-6,0),(4,0),则点。的坐标是(

A.(6,8)B.(10,8)C.(8,6)D.(8,10)

类型三、利用菱形的性质求面积

5.图，在AABC中，AB=AC,四边形AOEF为菱形，。为AE,。尸的交点，S^ABC

=873,则S44£>EF=()

A.4B.476C.4GD.4正

6.如图，菱形ABCD中，对角线AC=6,80=8,AEA.BC于点E,则AE的值

A.4.8B.9.6C.19.2D.10

类型四、利用菱形的性质证明

7.如图，在菱形ABC。中，ABAC=55°,E为AB中点，过点E作E尸垂直于AB交

AC于点F,连接。尸，则NAF£>等于()

C

A.55°B.60°C.65°D.70°

8.已知：如图1,四边形A8CC是菱形，在直线AC上找两点E、F,使四边形尸

是菱形，则甲乙两个方案（）

乙：作。尸交4CTF点,

图I甲：令AF=CE

作点

A.甲对，乙错B.乙对，甲错C.甲乙都对D.甲乙都错

类型五、添加一个条件证明四边形是菱形

9.如图，△ABC中，D、E、尸分别是边AB、BC、AC的中点，连接AE、DF,要使

AE,力尸互相垂直平分，还需要添加一个条件，这个条件不可能是（）

A.AE1BCB.AB=AC

C.AE=BCD.4E是△ABC的角平分线

10.如图，四边形ABC。是平行四边形，下列说法能判定四边形ABC。是菱形的是（）

A.AB=CDB.BALBDC.AC1BDD.AC=BD

类型六、证明已知四边形是菱形

11.如图1,直线4〃4,直线，3分别交直线4，4于点A,8.小嘉在图1的基础上进

行尺规作图，得到如图2,并探究得到下面两个结论：

①四边形ABCQ是邻边不相等的平行四边形；

②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形.

下列判断正确的是（)

A.①②都正确B.①错误，②正确C.①②都错误D.①正确，②错误

12.如图，矩形ABC。中，AC,BD相交于点。，过点B作B尸_LAC交CO于点凡交

AC于点M,过点。作。£〃8尸交A8于点E,交4c于点M连接FMEM.则下列结论：

®ZDNO=ZBMO；®AN=CM：®ME=NF；④当AO=A。时，四边形OEBF是菱形.其

中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

类型七、用菱形的性质与判定求角度

13.如图.将菱形ABC。绕点A逆时针旋转Na得到菱形ABC。，ZB=Zp.当AC

平分NBAC时，Na与N0满足的数量关系是（

B.2Za=3Zp

C.4Za+Zp=180°D.3Za+2Zp=180°

14.如图在平行四边形ABC。中，8=240,3E，4）于点£,尸为0c中点，连接

EF、BF,下列结论：®ZABC=2ZABF；②EF=BF；③S四边形谢c=;④

NCFE=3NDEF,其中正确的有（)

DFC

E,

AL------------------JB

A.①②B.②③C.①②③④D.①②④

类型八用菱形的性质与判定求线段

15.如图，在菱形A8CD中，ZB=60°,E是BC的中点，连接AE,DE,CE与AC交

于点G、以OE为边作等边三角形。EF,连接A尸交。E于点N,交。C于点M.下列结论：

①DE=五AB;②N£4N=45。；③AE=2也CM;④点M为A尸的中点.其中结论正确的

2

序号有（）

A.①②（§）B.①②④C.②③④D.①③®

16.如图，在M8CO中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，A8的长为半径作弧，

交A。于点E;②分别以点8、E为圆心，大于;BE的长为半径作弧，两弧在的内部

交于点G,连接AG并延长交8c于点尸.若45=5,BE=6,则质的长是（）

A.4B.6C.8D.10

类型九、用菱形的性质与判定求面积

17.如图，在菱形ABCO中，ND42=45。，DELBC于点E,交对角线AC于点P,过

点尸作PFLCZ）于点?若APOF的周长为8.则菱形ABC3的面积为（）

A

A.16B.1672C.32D.32a

18.如图，。是菱形ABC£＞的对角线AC,8£＞的交点，E,F分别是OC的中点.下

列结论中正确是（）

①SMBE=SM,BF:②四边形EBFD是菱形；③四边形ABCD的面积为OCx。。，（4）

ZABE=ZOBE.

A.①②B.②④C.②③D.③④

二、填空题

类型一、利用菱形的性质求角

19.如图，在菱形A8CD外侧作等边△CBE,连接。乐AE.若NA8C=100。，则/OE4

的大小为.

分别以A,B为圆心，以大于;AB长为半径,

作弧交于两点，过此两点的直线交4）边于点E,连接BE,BD,则NEBD的度数为

类型二、利用菱形的性质求线段

21.如图，菱形A8CD的边长为2,ZABC=60°,E是AO边的中点，点P是对角线3。

上的动点，当AP+PE的值最小时，尸。的长是.

ED

22.如图，若菱形A8CD的顶点A,8的坐标分别为(3,0),(-2,0),点。在^轴上，则点

类型三、利用菱形的性质求面积

23.如图，在菱形ABCO中，4c=8,AO=5,则菱形的面积等于

24.如图四边形A8CO是菱形，点M、N分别在A&AO上，且BM=DN,MG//AD,

NF//AB,点/、G分别在BC、CO上，MG与N尸相交于点E,若NA=120。，AB=a(a>0),

AB：MB=3：1,则四边形CFEG的面积是.(用含〃的式子表示)

类型四、利用菱形的性质证明

25.如图，在四边形4BCO中，P,。、M、N分别是A。、BC、BD、AC的中点，当四

边形ABCC满足时(填写一个条件)，PQ1MN.

AP

D

BC

Q

26.如图，四边形ABC。为菱形，ZA5C=70°,延长BC到E,在NOCE内作射线CM,

使得NECM=15°,过点。作DFLCM,垂足为F.若£＞尸=卡，则对角线的长为

BCE

类型五、添加一个条件证明四边形是菱形

27.如图，在四边形ABC。中，AB力CD,E,F,G,，分别是A3,BD,CD,4c的

中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形48CO还应满足的一个条件是

28.如图，在AABC中，点。、E、尸分别在边A8、BC、CA上，BLDE//CA,DF//BA,

下列四种说法：①四边形尸是平行四边形；②如果NBAC=90。，那么四边形AED尸是

菱形；③如果A。平分N8AC,那么四边形AED尸是菱形；④如果AB^AC,那么四边形AEDF

是菱形.其中，正确的有.（只填写序号）

类型六、证明已知四边形是菱形

29.如图，A。是△ABC的高，在A8上取一点E,在4c上取一点凡将沿过E、

F的直线折叠，使点A与点。重合，给出以下判断：①EF是△ABC的中位线；②△£>£下的

周长等于△ABC周长的一半；③若AB=AC,则四边形AECF是菱形；④若NBAC是直角，

则四边形AEZJF是矩形；其中正确的是

30.将三角形纸片48c(AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得4C落在A8边上，折

痕为AC,展平纸片，如图(1);再次折叠该三角形纸片，使得点A与点。重合，折痕为

EF,再次展平后连接OE、DF,如图2.解决下列问题：(1)四边形AEQ尸的形状是

类型七、用菱形的性质与判定求角度

31.如图所示，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AO于点

F,再分别以点3、F为圆心，大于gBF长为半径画弧，两弧交于一点P,连接4尸并延长

交BC于点E,连接相交于点。，若四边形4BE尸的周长为40,/=10,/A8C=

32.如图，在ABC中，AO为斜边8c上的中线，AE//BC,CE//AD,EC的垂直

平分线FG交4C点G,连接。G,若N4OG=24。，则N8的度数为度.

类型八用菱形的性质与判定求线段

33.如图，已知等边三角形A8C绕点8顺时针旋转60。得到AC8。，E,尸分别为线段

AC和线段CD上的动点，且AE=C尸，有以下结论：①四边形ABAC为菱形；②

△ABE*CBF；③ABEF为等边三角形；④NCFB=NCGE.其中正确结论有.（填

34.如图，在菱形ABCO中，NA=120。，AB=2,点E为BC的中点，P为对角线8。

上的一个动点，分别连接PE、PC,则尸E+PC的最小值=.

类型九、用菱形的性质与判定求面积

35.如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使NABC=60。，则四边形ABC。的

36.如图，在平行四边形ABCO中，E、F分别是边A£＞、BC上一点，DE=BF,连接

AC、EF、AF,CE,若AC=5,AE=AF,£F=8,贝U四边形AECF的面积为一.

三、解答题

37.如图，在菱形ABC。中，N4BC=80。，点E在的延长线上，对角线AC与80交

于点M,EM交AD于点F,且NEFD=1()5。.

(1)求NE的度数.(2)求证：AM=AE.

38.如图，在四边形ABCQ中，AD//BC,对角线8。的垂直平分线与边AO,BC分别

相交于点”，N.

(1)求证：四边形BNOM是菱形；

(2)若8。=24,MN=IO,求菱形BNDM的周长.

39.在QABCO中，E,尸分别是A8,CO的中点，连接BF,DE,M,N分别是BF,

DE的中点，连接EM,FN.

(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；

⑵若AB=12,EM=EN=5,则四边形ABC。的面积为

40.如图，在菱形A8CD中，BELCDJ■点E,交A。的延长线于点G,"LBC于

点尸.

(1)求证：BF=DE；

(2)若NA=45。，=求。G的长.

41.如图，在平行四边形ABC。中，连接对角线AC,E,F,分别为AC上的两点且AF=CE,

连接BE,BF,DE,DF.

(1)求证：BE=DF.

(2)对AA3C添加一个条件，使四边形BECF是菱形，并说明理由.

42.如图，在QABCZ)中，过点A作AE_L8c于点E,AF_LDC于点E且他=AF.

(1)求证：口ABC。是菱形.

(2)若/£4尸=60。,。尸=2,求平行四边形A3C7)的面积.

43.如图，在QABC。中，点N在BC上，AB=BN,平分NABC交AO于点M,

请用不刻度的直尺画图(保留作图痕迹，不写画法).

(1)在图1中，过点A画出AASM中BM边上的高AP,并证明你的结论；

(2)在图2中，过点C画出C到的垂线段CQ.

44.如图，在四边形48CC中，AD//BC,对角线80的垂直平分线与边A。、BC分别

相交于M、N.

(1)判断四边形的形状，并证明你的结论；

(2)若B£>=24,MN=10,求四边形BNOW的周长.

45.如图，在四边形ABC。中，AB//CD,AB=BC=2CD,E为对角线AC的中点,

F为边8c的中点，连接OE、EF.

(1)求证：四边形CDE尸为菱形;

CD=-

3,求四边形C3EF的面积.

参考答案

1.C

【分析】

连接防，由菱形的性质得N84C=40。，NBCF=NDCF=ZBAC=40。,ZABC=1(X)°,

由线段垂直平分线的性质得AF=BF,则NA5F=NB4C=40。，ZCBF=60°,由545可得

△BCF%DCF,得到NC"=NCBF=60。，山三角形的外角性质求出NAED=100。，进而

得到答案.

解：连接8尸，如图所示:

D

・・•四边形A5co是菱形，ZE4D=80°,

・・・NBAC=-/BAD=40°,

2

AB=BC=DCf

ZJBCF=/DCF=ZfiAC=40°,

ZABC=180°-/BAD=100°

丁EF是线段A3的垂直平分线，

・・・AF=BF,

ZAFE=900-ABAC=50°

・,.ZABF=ZBAC=40°

：.ZCBF=ZABC-ZABF=6()°.

・・•在△8b和△£>,中，

BC=DC

<NBCF=Z.DCF

CF=CF

:./\BCF^/\DCF（SAS）

：.NCDF=/CBF=60。

：.ZAFD=ZCDF+ZDCF=\QO°

：./DFE=ZAFD+ZAFE=150。.

故选C.

【点拨】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、

等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点；熟练掌握菱形的性质、证明三角形全等是

解题的关键.

2.C

【分析】

山题干郎=。£=87=£心，可知四边形BEC。为菱形，又NC=150。，所以

ZB£D=150°,NCBE=NCDE=30。.连接8D,易知AE、BE、DE是的角平分线.再

根据菱形的性质即可得出答案.

解：连接2。，并延长4E交8。于点。

*.*AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD,

四边形8CDE是菱形，

：.AE,BE、Z)E是△AB。的角平分线.

."、E、0、C四点共线，

ZC=150°,

NBED=150。,

：.NBEO=、NBED=75。,

2

ZABE=Nfi4£=37.5°,

同理：ZADE=ZDAE=37.5°

：.ABAD=ZBAE+ZDAE=75°,

故选：C

【点拨】本题考查了菱形的性质和判定及三角形的性质及角平分线的灵活运用，解题关

键是熟练掌握三角形的性质，以及菱形的判定和性质.

3.B

【分析】

连接BP,通过菱形ABCZ)的周长为20,求出边长，菱形面积为24,求出SA8C的面积，

然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC,即可求出PK+P尸的值.

解：连接8P,如图，

AD

・；菱形ASCO的周长为20,

・・・/W=BC=2(H4=5,

又•/菱形ABCD的面积为24,

：.SABC=24^2=l2f

又SABC=SABP+SCBP

；.SABP+SCBP=12,

：.-AB^PF+-BC-PE=12,

22

•:AB=BC,

.\!AB.(PE+PF)=12

VAB=5,

224

：.PE+PF=]2x-=—

55

故选：B.

【点拨】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关

系，求出尸P+PE的值.

4.B

【分析】

首先根据菱形的性质，可得A氏A8=8C=10,再根据勾股定理可求出04,据此即可解

决问题.

解：VB(-6,0),C(4,0),

ABC=10,

•・•四边形A8CO是菱形，

；・AD=BC=10,

在/?/△ABO中，OA=>]AB2-OB2=7102-62=8，

AA(0,8),

■:AD//BC,

・•・£)(10,8),

故选：B.

【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握和运用菱形

性质及勾股定理解决问题.

5.C

【分析】

根据菱形的性质，结合A8MC得出。尸为△ABC的中位线，DF〃BC,DF=；BC,

从而得出AE为△A8C的高，得出3CxAE=16jL再根据菱形的面积公式，即可得出菱形

的面积.

解：・・,四边形4处尸为菱形，

:・EF〃AB,DE〃AC,AF=EF=DE=AD,AELDF,

:・/CEF=/B,/DEB=NC,

・・・AC=AB,

：.NCEF=NB=NC=/DEB,

:.CF=EF,DE=DBt

；.CF=AF,AD=DB,

:.DF〃BC,DF=-BC

2f

・・・NAQD=90。，

/.ZAEB=ZAOD=90°,

/.AE上BC,

VS咏=8g,

.'.-BCxAE=8y/3,

2

即BCxAE=l66

•••S菱形A°EF=；DFxAE=；xgBCxAE=；xl6G=4G,故C正确.

故选：c.

【点拨】本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行

线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出OF

为AASC的中位线，是解题的关键.

6.A

【分析】

根据菱形的性质可得A0=3,B0=4,然后根据勾股定理可求出AB长，再算

出菱形的面积，然后再根据面积公式可得答案.

解：•••四边形48co是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,AC±BD,A0=^AC=3,B0^BD=4,

NA08=90°,

•**AB=BC=VQ42+OB2=V32+42=5>

二菱形ABCD的面积是-ACZ)B=-x6x8=24,

22

8CA£=24,得5A£=24,

24

解得AE=g=4.8,

故选：A.

【点拨】此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的面积，勾股定理，关键是掌握菱形的

对角线互相垂直且平分.

7.D

【分析】

连接8凡根据垂直平分线的性质得出NAFB=70。，根据SAS证AWMAADF,根据全

等三角形的性质得出进而得出答案.

解：连接8尸，

E为AB中点，EFLAB,

：.AF=BF,

：.ABAC=ZABF=55°,

：.ZAFB=10°,

在菱形ABCO中,

/BAF=NDAF,AB=AD,

又AF=AF,

^ABF^ADF(SAS),

ZAFD=ZAFB=10°.

故选：D.

【点拨】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质以及等腰

三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键.

8.C

【分析】

对甲乙两种方案，分别通过证明三角形全等得到四条动相等或对角线互相垂直平分，即

可得到答案.

甲：令AF=CE

・・•四边形A3CQ是菱形，

:・/BAD:/BCD,AB=BC=CD=AD,

：.ZBAC=ZDAC=ZBCA=ZDCA,

：.ZBAF=ZDAF=ZBCE=ZDCE1

在^BA尸和△D4尸中，

AB=AD

"NBA尸=ZDAF,

AF=AF

：.^BAF^/\DAF(SAS),

：.BF=DF,

同理：△DCE^/XBCE(SAS),4BAF冬ABCE(SAS),

：.BE=DE,BF=BE,

:.BF=DF=BE=DE,

四边形尸BE。是菱形；故甲正确；

乙：由题意，连接BQ,如图

D

B

乙：作交4C于凡点，

作59，8以力。于E点

；四边形ABC。是菱形，

：.AC.\-BD,AD=BC,AD//BC,

ZDAF=ZBCE,

"：DFLAD,BE1.BC,

：.NAOF=NC8E=90°,

AADF与ACBE；

：.DF=BE,NAFD=NCEB,

J.DF//BE,

四边形DEBF是平行四边形，

"：EF±BD,

四边形QEBF是菱形；故乙正确；

故选：C

【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质,

解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断.

9.C

【分析】

由条件可先判定四边形ADEF为平行四边形，再利用等腰三角形的判定即可求得答案.

解：••・£）、E、F分别为A3、BC、AC的中点，

•.DE、EF分别为△ABC的中位线，

DE//AF,EFI/AB,

，四边形ADE厂为平行四边形，

若AB=AC即可求得四边形ADEF为菱形，故B选项可以，

当AEJ_BC时，则可求得AB=AC,可得AD=AF,故A选项可以，

当AE是△A8C的角平分线时，可证得求得四边形AOE尸为菱形，故D选项可以,

当AE=BC时，无法确定AB=AC,故C选项不可以，

，要使四边形4EDF是菱形还需要添加一个条件，这个条件不可能是C,

故选.C.

【点拨】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键.

10.C

【分析】

由菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.

解：A.・.•四边形A2C。是平行四边形，AB^CD,不能判定四边形ABC。是菱形，故选

项A不符合题意；

B二•四边形A8c。是平行四边形，BALBD,不能判定四边形A8CD是菱形，故选

项B不符合题意；

C」.•四边形ABC。是平行四边形，ACVBD,

・•・平行四边形ABCD是菱形，选项C符合题意；

D」.•四边形A8C7）是平行四边形，AC=BD,

四边形ABC力是矩形，故选项D不符合题意；

故选：C.

【点拨】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的

判定和矩形的判定是解题关键.

11.B

【分析】

根据小嘉的行尺规作图，可以得到：NABD=NCBD,AB=BC,再证明四边形ABCQ是

菱形，再进行判断即可.

解：根据小嘉的行尺规作图，可以得到：ZABD=ZCBD,AB=BC,

'：I,//l2,

：.NADB=NCBD,

,/ZABD=ZCBD,

：.ZABD=ZADB,

：.AB=AD,

,:AB=BC,

：.AD=BC,

，四边形ABCD是平行四边形，

，四边形4BCD是菱形，

，四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形.

.•.①错误，②正确

故选：B.

【点拨】本题考查了作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何

图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了菱形的判定与性质.

12.D

【分析】

根据小〃叱即可证明①，再判断出尸证明出②，再证明出

△NFM必MEN,得至1]NFNM=NEMN,进而判断出③，通过。尸与先证明出四边形为

平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到NM)O=/ABC=30。，进而得到。E=BE

,即可知四边形为菱形.

解：DE//BF

:.2DNO=ZBMO

故①正确.

ZNAE=ZMCF

又,:NDNA=NBMC=90。

NANE=NCMF=90。

在△47£与仆CMF中

NANE=NCMF=9Q

•：<AN=CM

ANAE=ZMCF

：.^ANE^/\CMF(ASA)

AAN=CM,NE=FM,AE=CF,故②正确.

在^NFM与△MEN中

FM=NE

,/-NFMN=NENM=90°

MN=MN

:./\NFM咨AMEN(SAS)

：.ME=NF,故③正确.

\'AE=CF

：.DC-FC=AB-AE,EPDF=EB

又根据矩形性质可知DF〃EB

四边形DEBF为平行四边形

根据矩形性质可知0。=40,

当AO=4。时，即三角形。AO为等边三角形

二400=60°

又,：DNLAC

根据三线合•可知NNDO=30。

又根据三角形内角和可知NABO=1800-ZDAB-ZADB=30°

故DE=EB

，四边形OEBF为菱形，故④正确.

故①②③④正确

故选D.

【点拨】本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全

等三角形是解题关键.

13.C

【分析】

根据AC平分/8AC,得至IJ/FAC=NCAC,根据旋转角为Na,得到4c

=Za,根据AC平分NBAO,得至/D4C,推出/D4C,推出/区48'=

ZB'AC=ZCAC=ZDAC'=Za,根据4£>〃8C,得到/8+NBAO=180。，推出4Na+/p

=180°.

解：’.•AC平分/8RC,

/.NB'AC=ZCAC,

；菱形ABC。绕点4逆时针旋转Na得到菱形AB'CD',

：.ZBAB'^ZCAC^Za,

；AC平分/&4£),

/.NBAC=ADAC,

：.ZBAB'=ZDAC,

：.NBAB，=NB4C=NCAC=NDAC=Za,

'JAD//BC,

：.ZB+ZBAD=ISO°,

.\4Za+Zp=180°.

故选：C.

【点拨】本题考查了菱形性质，旋转性质和角平分线，熟练掌握菱形的边、角、对角线

性质，旋转图形全等性质，角平分线定义，是解决本题的关键.

14.C

【分析】

延长EF交BC的延长线于G,取AB的中点H连接FH.想办法证明EF=FG,BE1BG,

四边形BC"是菱形即可解决问题.

解：如图，延长EF交8C的延长线于G,取A8的中点H,连接尸H.

G

D

AHB

*：CD=2AD,DF=FC,

：.CF=CB,

，NCFB=NCBF,

AB,

：.ZCFB=ZFBHf

：.ZCBF=ZFBH,

：.ZABC=2ZABF.故①正确，

•・•£>£〃CG,

：.ND=/FCG,

在^DFE和ACFG中，

/D=NFCG

<DF=CF,

ZDFE=ZCFG

：./\DFE^/\FCG(ASA),

:.FE=FG,

9：BELAD,

：.NAEB=90。,

U：AD//BC,

JNAEB=NEBG=90°,

・♦♦BF=EF=FG,故②正确，

•；SADFE=S』CFG,

:.S四边形DEBC=SaEBG=2S^BEF,故③正确，

*：AH=HB,DF=CF,AB=CD,

：.CF=BHtYCF//BH,

・・・四边形BCFH是平行四边形，

♦；CF=BC,

四边形8C尸”是菱形，

，NBFC=NBFH,

,:FE=FB,FH//AD,BE±AD,

：.FH±BE,

：.ZBFH=ZEFH=NDEF,

：.ZEFC^ZDEF,故④正确，

故选：C.

【点拨】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线

的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三

角形解决问题.

15.D

【分析】

根据菱形的性质、等边三角形的性质即可判定①；证明ADAE丝△OCT,故可判断②;

连接CF,过点A作于点”，证明△AMHgZsFMC,故可判断③④.

解：...四边形48C3是菱形，

：.AB=AD=BC,

又：4=60°,

二△ABC是等边三角形，

点是8c中点，

：.AE±BC,AB=2BE,

：.AE2=AB2-BE2=AB2-(5A8)2=-AB2,

24

DE=yjAE2+AD2=J-AB2+AB2=—AB,

V42

故①错误；

；四边形A8CD是菱形，NB=60。,AB=BC,

.,.△ABC、zMa)是等边三角形，AD//BC,N84E=NCAE=30°,

设BE=CE=a,则AB=BC=AC=2a,

二AE=dAB。-BE?=6a-

■:/\DEF、△4C£)是等边三角形，

,.AD^CD,ED=FE,NAOC=NE£＞尸=60°,

:./ADC-NEDC=NEDF-/EDC,

:.NADE-NCDF,

又AD=CO,ED=FD,

:•丛DAE学丛DCF(SAS),

o

・•・AE=CFfZDAE=ZDCF=ZDAC+ZCAE=600+30=90°,

ZDCF=90°,

・,.ZACF=ZACD+ZDCF=150°,

VAC/AE,AE=CFf

：.AC^CFf

：.ZCAF^ZCFA=]5°9

：.N£4N=N£4C+NC4用45。，

故②错误；

连接CR过点A作A”_LDC于点”，

:AH上CD,AC=AD,

：.ZAHM=ZFCM=90°,CH=DH=a,AH=AE,

*：CF=AE,AH=AE,

：.AH=FCf

又/AMH=/FMC,

：./XAMH^^FMC(A4S),

：.AM=FM,CM=HM,

工点M为AF的中点，

故④正确；

,:AE=6a,CM=—CH=—CE=-a,

222

AE=2辰M,

故③正确;

故选：D.

【点拨】此题主要考查菱形、等边三角形及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟

知等边三角形的性质、全等三角形的判定定理.

16.C

【分析】

如图，设AF交BE丁一点0,连接EF，证明四边形ABFE,由菱形的性质得出应;_L4厂，

0B=0E=；BE=3,AF=2AO,然后由勾股定理得出40=如匚36即可.

解：设A尸交8E于点。，连接EF,

由作图知：AB^AE,ZBAF^ZEAF,

•••四边形ABC。是平行四边形，

/•AD//BC,

ZEAFZAFB,

；•NBAF=ZAFB,

AB=BF=AE，

二四边形43正是平行四边形，

又=

•••四边形AB/石是菱形，

XVAB=5,BE=6,

：.AF=2OA=2OF,OB=OE=-BE=3,BE1AF,

2

.,.在MAABO中，ZAOB=90°,

AO=>JAB2-OB2=旧-S=4，

AF=2OA=8.

故选：C

BC

【点拨】本题考查作图一复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，勾

股定理等知识.证明四边形至/石是菱形是解题的关键.

17.D

【分析】

证ASE是等腰直角三角形，得NCDE=45°,CD=®E，再证AD尸产是等腰直角三

角形，得PF=DF,PD=6PF,设PF=DF=x,则尸。=&,求出x=8-4应，贝U

DE=x+y/2x=4y/2.BC=CD=&DE=8,即可求解・

解：•.・四边形A3C£>是菱形，

:.BC=CD,/BCD=/BAD,ZACB=ZACD,AD//BC,

：.ZBAD+ZB=\SO0,

Q?DAB45?,

:.ZBCD=ZBAD=45°,

■.■DEIBC,

.•.△COE是等腰直角三角形，

:.ZCDE=45°,CD=6DE，

■.PF±CD,

.•.ADPF是等腰直角三角形，

；.PF=DF，PD=>/2PF，

设PF=DF=x,则PZ)=&x，

•.•APDF的周长为8,

/.x+x+&x=8，

解得：x=8-4应，

ZACBZACD,DEIBC,PFLCD,

:.PE=PF=x,

D£=x+^x=(l+V2)x(8-4x/2)=4>/2,

BC=CD=-JiDE=8,

，菱形ABC。的面积=BCx£)E=8x4及=320，

故选：D.

【点拨】本题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质等知

识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明ADPF为等腰直角三角形.

18.A

【分析】

①先证AE=OF,再根据三角形的面积公式可得到结论；②根据已知条件利用菱形的

判定定理可证得其正确；③根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得：④根据已知无

法求得ZABE=NOBE.据此判断即可得到答案.

解：：四边形ABCD是菱形

OA=OC,ACLBD

：E、F分别是04、0C的中点.

AAE=-AO,OF=-OC.

22

：.AE=OF.

,'S^ABf：=­AEOB

S△.=*OF°B

,*S&ABE=SAOBF,故①正确

•••四边形ABC。是菱形，

AACJ.BD,OB=OD

；.AC是BO的垂直平分线

:.BE=ED

•••四边形ABCO是菱形，E,F分别是OA,0C的中点.

：.EF±OD,OE=OF.

••.2。是EF的垂直平分线

:.DE=DF,BE=BF.

：.DE=DF=BE=BF.

四边形BFQE是菱形.②正确

•.•四边形ABC。是菱形，

AC=2AO=2OC,BD=2OB=2OD

二菱形ABCD的面积=LACBO='X20C-20D=20C0。，故③不正确；

22

由已知无法求得=故④不正确

所以正确的结论有①②，

故选：A.

【点拨】本题考查了菱形的判定、性质以及菱形面积的求法，垂直平分线的性质，熟练

运用菱形的性质是本题的关键.

19.30°##30度

【分析】

根据菱形的性质得到AB=8C=CD,AB//CD,求得NBCD=180。-Z4BC=80。，根

据等边三角形的性质得到8C=8E=CE,Z.CBE=ZBCE=ZBEC=60°,求得AB=BE,

CD=CE,Z£X;E=140°,ZABE=160°,根据等腰二角形的性质得到

ZCED=ZCDE=(180°-ZDCE)=20°,ZBA£=ZBE4=^(180o-160°)=10°,于是得到结论.

解：•••四边形ABC。是菱形，

;.AB=BC=CD,ABIICD,

ZBCD=180°-ZABC=80°,

•rACBE是等边三角形，

:.BC=BE=CE,ZCBE=ZBCE=ZBEC=6()°,

:.AB=BE,CD=CE,ZDCE=140°,ZA5E=160°,

ZCED=NCDE=-(1800-NDCE)=20°,NBAE=ZBEA=-(180°-160°)=10°,

22

ZDE4=ZBEC-ZDEC-ZBEA=30°,

故答案为：30。.

【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题

的关键是熟练掌握菱形和等边三角形的性质.

20.36°

【分析】

由题意可得E4=EB,从而再根据菱形的性质可以得到/A8O的大小，从

而根据即可解答.

解：山题意可知E在线段A8的垂直平分线上，

:・EA;EB,

：.ZABE=ZA=36°9

:ABCD为菱形,

：.AD=ABf

,NABD=（180。-NA）+2=72。,

.・・NEBD=NABD-NABE=72°-36°=36。,

故答案为36。.

【点拨】本题考查菱形的应用，熟练掌握菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平

分线的画法和性质是解题关键.

21.述

33

【分析】

连接AC,CE,通过SAS证明AAb尸丝△GBP,WAP=CP,贝!]A