2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.8矩形的性质与判定（拓展篇练习）

专题1.8矩形的性质与判定（拓展篇）（专项练习）

一、单选题

类型一、坐标系下的矩形问题

1.如图，把矩形OA8C放入平面直角坐标系中，点8的坐标为（10,8）,点。是OC

上一点，将△BCD沿8。折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点。的坐标是（）

C.(0,3)D.(0,2)

2.如图，在平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别是（8,0）,（0,6）,点C为线段A8

的中点，则OC的长等于（）

3.如图①，在矩形ABCO中，AB<AD,对角线AC、8。相交于点O,动点P从点A

出发，沿ATB-C-Q向点。运动.设点P的运动路程为x,/AOP的面积为y,y与x的函

数关系图象如图②所示，则下列结论错误的是（）

A.四边形ABC。的面积为12B.AO边的长为4

C.当x=2.5时，AAOP是等边三角形D./A。尸的面积为3时，x的值为3或10

4.如图，点A的坐标为（4,3）,轴于点B,点C为坐标平面内一点，OC=2,

点。为线段AC的中点，连接B。，则8。的最大值为（)

3石

D.2非

类型二、折注中的矩形问题

5.如图，把长方形纸片ABCO沿对角线所在直线折叠，设重叠部分为△曲，那么下

列说法错误的是（）

A.△E8O是等腰三角形，EB=EDB.折叠后N4BE和/EBO一定相等

C.折叠后得到的图形是轴对称图形D.△EB4和A£©C'一定是全等三角形

6.如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：①对折矩形纸片A8CD使4。和8C重

合，得到折痕EF,把纸片展开；②再一次折叠纸片，使点4落在£F±,并使折痕经过点B,

得到折痕同时得到线段BN.观察探究可以得到NM5c的度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

7.如图，四边形Q4BC是矩形，点A的坐标为（8,0）,点C的坐标为（0,4）,把矩形ORC

沿08折叠，点C落在点。处，则点。的纵坐标为（）

8.在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操

作：①把/翻折，点8落在C边上的点E处，折痕为"，点尸在3c边上；②把^的

翻折，点。落在AE边上的点G处，折痕为A//,点〃在CO边上，若4。=6,8=10,

类型三矩形背景下的最值问题

9.如图，AA8C中，BC=4,D、E分别是线段4B和线段BC上的动点，且

F是线段AC上一点，S.EF=FC,则。尸的最小值为（）

A.3B.2C.2.5D.4

10.如图，AABC中，NC=90。，AC=10,BC=8,线段。E的两个端点。、E分别在

边AC,BC上滑动，且DE=6,若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（)

A.10-1B.屈-3C.2向-6D.3

11.如图，在矩形ABC£＞中，AB=5,40=3.动点P满足Sy=gS的〃4BC£＞,则点

P到A、B两点的距离之和a+PB的最小值为（）

A.729B.V34C.741D.752

12.如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2.对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重

合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N,折痕BM与EF

相交于点Q;再次展平，连接BN,MN,延长MN交BC于点G.有如下结论：①NABN

=60。；②AM=1；@AB±CG；④ABMG是等边三角形；⑤点P为线段BM上一动点，点

H是BN的中点，则PN+PH的最小值是其中正确结论有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

类型四'旋转中的矩形问题

13.如图，矩形A8CO的顶点A。,。），£＞（0,2）,8（5,2）,将矩形以原点为旋转中心,

顺时针旋转75。之后点C的坐标为（)

A.（4,-2）B.（40,-20）C.（4>/2,-2）D.（276,-272）

14.如图，将斜边为4,且一个角为30。的直角三角形A08放在直角坐标系中，两条直

角边分别与坐标轴重合，。为斜边的中点,现将三角形AO3绕O点顺时针旋转120。得到三

角形EOC,则点。对应的点的坐标为（）

C.（273,-2）D.（2,-273）

15.如图，矩形ABC£＞中，AD=2,AB=币,对角线AC上有一点G（异于A,C）,连

接。G,将AAGZ）绕点A逆时针旋转60。得到AAE凡则2F的长为（）

D.2百

16.如图，矩形。48（7的顶点。（0,0）,40,3）,。（5,0）,点£）为48上一动点，将△OAO绕

点O顺时针旋转得到^OA'D',使得点A的对应点W落在。。上，当A'D'的延长线恰好经过

点C时，点。的坐标为（）

A.(2,3)B.g,3)C.D.(4,3)

二、填空题

类型一、坐标系下的矩形问题

17.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(3,3),过点B作BALx轴于点A,

8cLy轴于点C.若直线/：y=把四边形0A8C分成面积相等的两部分，

则m的值为.

C------15

----------------►

OAx

18.如图，四边形OABC为矩形，点A,C分别在无轴和y轴上，连接4C,点8的坐

标为(12,5),NCA。的平分线与y轴相交于点。，则点。的坐标为.

19.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),

点。是。4的中点，点尸在8c边上运动，点。是坐标平面内的任意一点.若以。，D,P,

。为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点。的坐标为.

y

20.如图，平面直角坐标系中，长方形04BC,点A,C分别在）'轴，x轴的正半轴上，

OA=6,OC=3,ZDOE=45°,OD,OE分别交BC,A8于点O,E,且8=2,则点

E坐标为.

类型二、折叠中的矩形问题

21.如图，在长方形ABC£＞纸片中，AO〃BC,AB//CD,把纸片沿EF折叠后，点C、

。分别落在C'、虞的位置，若NEFB=75。,则NAED'等于.

22.如图，在矩形A3CD中，AB=6,BC=8,点E为边8c上任意一点，将△ABE沿

AE折叠，使点B落在点尸处,连接CF,若△CEF是直角三角形，则线段BE的长为.

23.如图，矩形A8CD中，A8=3,AD=5.点E是8c边上一动点，连接4E.将AA8E

沿AE翻折得到AAEF,连接QF.当△AQF的面积为|•时，线段BE的长为.

24.如图，在矩形ABCO中，E是BC边上的一点，连接4E,将沿AE翻折，点

8的对应点为F.若线段AF的延长线经过矩形一边的中点，AB=2,AD=4,则BE长为

类型三矩形背景下的最值问题

25.如图，在矩形A8CO中，"＞=2心=4,点E是A£＞上一点，DE=l,尸是BC上

一动点，P、。分别是EF,AE的中点，则PE+PQ的最小值为.

26.如图，在长方形48CZ）中，已知A8=6,8C=8,点p是BC边上一动点（点P不与

民C重合），连接"，作点B关于直线A尸的对称点M,则线段MC的最小值为.

27.如图，矩形A8CO中，AB=6,AD=8,动点、E、尸分别从点A、C同时出发，

以相同的速度分别沿AE＞、CB向终点。、B移动，当点E到达点。时，运动停止，过点5

作直线EF的垂线3P,垂足为点尸，连接CP,则CP长的最小值为

28.如图，在矩形48C£>中，AB=8,BC=12,E是AB的中点，尸是BC边上一动点，

将ABEF沿着EF翻折，使得点8落在点夕处，矩形内有一动点P,连接「夕、PC、PD,则

PB'+PC+PD的最小值为一.

类型四'旋转中的矩形问题

29.如图,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转«(0°<«<90°),连接EC,ED,当a为

30.如图，在平面直角坐标系中，矩形A8CO的顶点A,C的坐标分别为(2,0),(0,T),

将矩形ABC。绕点8顺时针旋转，点A,C,。的对应点分别为A,C,(7.当点0,落在x轴

的正半轴上时，点。'的坐标为.

31.如图，矩形A8C。中，48=2,BC=1,将矩形4BCD绕顶点C顺时针旋转90。，得

到矩形E/CG,连接AE,取AE的中点”，连接OH,则.

32.如图，在平面直角坐标系中，四边形AO8C是矩形，点。(。，0),点4(5,0),点8(0,3).以

点A为中心，顺时针旋转矩形AO8C得到矩形ADE/，点。，B,C的对应点分别为。，E,

F.记K为矩形AOBC对角线的交点，则AXDE的最大面积为_.

三、解答题

33.在一次数学活动课中，林老师提出问题：“如图，已知矩形纸片A2CZ),如何用折

纸的方法把48C三等分？”

通过各小组合作讨论，奋进组探究出解决此问题的方法为：先对折矩形纸片ABCD,使

AO与BC重合，得到折痕EF,然后把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上的点

N,得到折痕8M和线段BN,如图所示.则和BN三等分ZABC.

请你对奋进组这种做法的合理性给出证明.

34.材料阅读

小明偶然发现线段A8的端点A的坐标为(1,2),端点B的坐标为(3,4),则线段AB中点

的坐标为(2,3),通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点P(4X)、

0(々,丫2)为端点的线段中点坐标为(土|歪，上尹).

(1)知识运用：

如图，矩形ONE尸的对角线相交于点M,ON、。尸分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，

点E的坐标为(4,3),则点M的坐标为.

(2)能力拓展：

在直角坐标系中，有4-1,2),B(3,l),C(l,4)三点，另有一点。与点A、B、C构成平

行四边形的顶点，求点。的坐标.

35.请阅读下列材料：问题：如图1,点A,B在直线/的同侧，在直线/上找一点P

,使得AP+8P的值最小.小军的思路是：如图2,作点A关于直线/的对称点4,连

接48,则与直线/的交点尸即为所求.请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问

题：

(1)如图3,在图2的基础上，设A4'与直线/的交点为C,过点8作8。，/,垂足为D若

CP=1,PD=2,AC=\,写出AP+BP的值为；

(2)如图3,若AC=1,BD=2,CD=6,写出此时4P+8P的最小值；

(3)求出小(5切—3)2+1+J(5F—8)2+9的最小值.

参考答案

1.c

【分析】

由题意可得AO=8C=10,A8=OC=8,DE=CD,BE=BC=10,在山△ABE中，由勾股定

理可求得A£=6,OE=4,设OD=x,则£>E=CQ=8-x,然后在我心。/^中，由勾股定理即可

求得0。=3,继而求得点。的坐标.

解：•.•点B的坐标为(10,8),

."O=BC=10,A8=OC=8,

由折叠的性质，可得：DE=CD,BE=BC=13

在^aASE中,由勾股定理得：但房2-3=加-8=6,

：.OE=AO-AE=\0-6=4,

设OD=x,则OE=CD=8-x,

在RtAODE中,由勾股定理得：OD2+OE2=DE2,

即：x2+42=(8-x)2,

解得：x-3.

.*.00=3,

.•.点。的坐标是(0,3).

故选：C.

【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是

解题的关键.

2.C

【分析】

根据勾股定理求出斜边AB的长度，再由直角三角形斜边中线定理，即可得出答案.

解：：A,8两点的坐标分别是(8,0),(0,6),

二。4=8,08=6,

.•.♦L+O82=382+62=10,

:点C为AB的中点，

.,.OC=|/lB=yxlO=5,

故选：C.

【点拨】

本题主要考查坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理，掌握直角三角

形斜边中线定理是解题的关键.

3.C

【分析】

过点P作PELAC于点E,根据//O尸的边0A是一个定值，0A边上的高PE最大时是

点尸分别与点8和点。重合，因此根据这个规律可以对各个选项作出判断.

解：A、过点P作PELAC于点E,当点尸在AB和BC边上运动时，PE逐渐增大，到

点B时最大,然后又逐渐减小，到点C时为0,而产g(?A・PE中，0A为定值，所以y是先

增大后减小，在8点时面积最大，在C点时面积最小；观察图②知，当点P与点8重合时，

/4OP的的面积为3,此时矩形的面积为：4x3=12,故选项A正确；

B、观察图②知，当运动路程为7时，y的值为0,此时点尸与点C重合，所以有

AB+BC^l,

又ABBC=U,解得：AB=3,BC=4,或AB=4,8c=3,{□,AB<3C,J听以AB=3,BC=4,

根据四边形A8C£>为矩形，所以4D=4,故选项B正确；

C、当户2.5时，即x<3,点P在边A8上

由勾股定理，矩形的对角线为5,则0A=2.5,所以OA=AP,△AOP是等腰三角形，

但△ABC是三边分别为3,4,5的直角二角形，故/BAC不可能为60。，从而AAOP不是等

边三角形，故选项C错误；

D、当点P在AB和8c边上运动时，点P与点B重合时最大面积为3,此时x的值

为3；

当点P在边。和D4匕运动时，PE逐渐增大，到点。时最大，然后又逐渐减小，

到点A时为0,而产也是先增大再减小，在。点时面积最大，在A点时面积最小；

所以当点P与点D重合时，最大面积为3,此时点P运动的路程为AB+BC+CD=\0,即410,

所以当43或10时，//OP的面积为3,故选项D正确.

故选：C.

【点拨】本题是动点问题的函数图象，考查了函数的图象、图形的面积、矩形的性质、

解方程等知识，关键是确定点P到AC的距离的变化规律，从而可确定y的变化规律，同时

善于从函数图象中抓住有用的信息，获得问题的突破口.

4.B

【分析】

先连接A。，取其中点E，连接OE、8E,根据点。、E为线段AC、4。的中点求出

OE的长，再根据斜中线定理求出8E的长，当当8、D、£三点在同一条直线上时，8。值

最大，求出结果即可.

解：如下图所示，连接AO,取其中点E,连接OE、BE,

；点。、E为线段AC、A。的中点，

/.DE=-OC=\.

2

又轴于点8,

AO=y]AB2+OB2=5

BE=-AO=~,

22

当B、D、E三点在同一条直线上时，BD值最大,

57

止匕时BO=BE+OE=l+-=-；

22

故选：B.

【点拨】本题主要考查三角形中位线定理、斜中线定理，本题解题的关键是在于找到两

点之间线段最短.

5.B

【分析】

根据长方形的性质得到/8AE=NOCE,A8=CD,再由对顶角相等可得

推出AAE8出根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得A,C,D正确；无法判

断

NABE和ZCBD是否相等.

解：•••四边形A8CO为长方形,

AZBAE=ZDCE,AB=CD,

••・折叠

AZC^ZDC'E,CD=C</D

：.ZBAE^ZDC'E,AB^=CD

在△4£8和4C'ED^,

'NBAE=NDC'E

<NAEB=NC'ED,

AB=C'D

：./\AEB^/\CEDCAAS),

：.BE=DE,

为等腰三角形，

•••折叠后得到的图形是轴刻称图形，

无法判断/4BE和/C8D是否相等.

故其中正确的是A,C,D.

故选B

【点拨】此题考查图形的翻折变换，解题关键在于应注意折叠是一种对称变换，它属于

轴对称，根据轴时称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.

6.C

【分析】

BM交EF于P,如图，根据折叠的性质得/BNM=/A=90。，N2=N3,EF〃AD,AE=BE,

则可判断EP为ABAM的中位线，利用平行线的性质得N1=/NBC,根据斜边上的中线性质

得PN=PB=PM,所以Nl=/2,从而得到/NBC=N2=N3,然后利用NNBC+N2+/3=90°

可得到NNBC的度数.

解：BM交EF于P,如图，

•••四边形A8CD为矩形,

：.ZA=ZABC=90°,

折叠纸片，使点4落在E尸上，并使折痕经过点B,得到折痕同时得到线

段BM

：.ZBNM^ZA=90°,/2=N3,

•••对折矩形纸片ABC，使AO和8C重合，得到折痕跖，

：.EF//AD,AE=BE,

，EP为ABA”的中位线，N\=NNBC,

点为的中点，

:.PN=PB=PM,

.,.Z1=Z2,

...NNBC=/2=N3,

VZ7VfiC+Z2+Z3=9O°,

Z2VBC=30°.

故选C.

【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质.

7.B

【分析】

由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等

角对等边得到BE=OE,利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等，由全等三角形对

应边相等得到DE=AE,过D作DF垂直于OE,利用勾股定理及面积法求出DF与OF的

长，即可确定出D坐标.

解：由折叠得：NCBO=NDBO,

；矩形ABCO,

；.BC〃OA,

AZCBO=ZBOA,

...NDBO=/BOA,

；.BE=OE,

在AODE和ABAE中,

ZD=ZBAO=90°

，NOED=NBEA,

OE=BE

/.△ODE^ABAE(AAS),

，AE=DE,

设DE=AE=x,则有OE=BE=8-x,

在RSODE中，根据勾股定理得：42+x2=(8-x)2,

解得:x=3,即OE=5,DE=3,

过D作DF_LOA,

VSAOED=^OD«DE=1OE*DF,

点D的纵坐标为-二=-2.4,

【点拨】此题考查了翻折变化(折叠问题)，坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练

掌握折叠的性质是解本题的关键.

8.A

【分析】

利用翻折不变性可得AE=AB=\O,推出£>E=8,EC=2,设B尸=斯=x,在RtAEFC

中，X2=22+(6-%)\可得X=¥，设。H=G//=y,在中，/+42=(8-y)2,可

得y=3,由此即可解决问题.

解：•.•四边形是矩形，

..NC=ND=90°,AB=CD=1Q,AD=BC=6,

山翻折不变性可知：AB=AE=10,AD=AG=6fBF=EF,DH=HG,

.-.£G=4,

在RtZXADELp,DE=yjAE2-AD2=7102-62=8，

.«.EC=10-8=2,

设小=在中有：X2=22+(6-X)2,

x=—10,

3

设OH=GH=y,在Rt△召G4中，/+42=(8-y)2,

y=3,

:.EH=5,

EH5_3

EF-m-5，

T

故选：A.

【点拨】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参

数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

9.B

【分析】

过点。作OG_LBC于点G,过点尸作于点儿当。£1_尸”时，。尸取得最小

值，据此求解即可.

解：过点。作OGJ_8C于点G,过点F作/77,3c于点H,如图：

"：BD=DE,EF=FC,

:.BG=GE,EH=HC,

当QFLF”时，QF取得最小值,

此时，四边形QG”尸为矩形，

DF=GH=-BE+-EC=-8c=2.

222

故选:B.

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题.

10.B

【分析】

根据三角形斜边中线的性质求得CN=gAB=41,CM=1DE=3,由当C、M、N在

同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值.

解：AABCP,NC=90。，AC=10,BC=8,

AB=>JAC2+BC2=2^41，

;DE=6,点、M、N分别是DE、AB的中点，

:.CN=-AB^441,CM=-DE=3,

22

当C、M、W在同一直线上时，MN取最小值，

的最小值为：741-31

故选：B.

【点拨】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M.N

在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键.

11.C

【分析】

首先由与9=(5矩脐1m，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线/上，作A关

于直线/的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.然后在直角二

角形43E中，由勾股定理求得BE的值，即R4+P3的最小值.

解：设AABP中A3边上的高是/?.

•'^^PAB=15矩形川jc。，

-ABh=-ABAD,

23

：.h=-AD=2,

3

.••动点尸在与AB平行且与A3的距离是2的直线/上，如图，作A关于•直线/的对

称点E,连接AE,连接的，则5E的长就是所求的最短距离.

在Rt^ABE中，AB=5,AE=2+2=4,

BE=-JAB2+AE2=V52+42=x/41，

即P4+P3的最小值为向.

故选：C.

【点拨】本题考查了轴对称一最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理,

两点之间线段最短的性质.得出动点户所在的位置是解题的关键.

12.B

【分析】

①根据折叠的性质得出AE=BE,AB=BN,ZNEB=90°,再根据含30度的直角三角形

判定定理即可得出/EMB=30。，即uj■得出ZABN=60°；

②根据折叠的性质得出设AM=x,根据勾股定理即可求出AM

的值;

③直接根据矩形的性质即可得出:

④根据NA8M=30。，得出NM8G=N8MA=60。，再根据折叠的性质和等量代换即可

得出ASGM是等边三角形;

⑤根据点H是BN的中点即矩形的性质得出BH=BE,结合题意得出PE=PH,再根据

三点共线时值最小及勾股定理即可判断.

解：由折叠可知，AE=BE,AB=BN,ZNEB=90°,

在RtA8EN中,

■:BN=AB=2BE,

：・NENB=30。,

：.ZABN=60°f故①正确；

由折叠可知，ZABM=ZNBM=30°,

设AM=x,则BM=2x,

f+22=(2x)2,

Vx>0,

解得：X=型,

3

即AM=2叵，故②错误；

3

・・・ZABG=90°,

AAB1CG,故③正确；

■:NA8M=30。，

・,./MBG=NBMA=60°,

由折叠可知，/3MG=/3M4=60。，

工ZMBG=ZBMG=NMG8=60。，

•••△8GM是等边三角形，故④正确，

连接。£・・•点H是BN的中点，

：.BH=BE=\,

・・♦/MBH=/MBE,

：.E、”关于5M对称，

:・PE=PH,

:・PH+PN=PE+PN,

・・.E、P、N共线时，PH+PN的值最小,

EN=五一」=5故⑤正确，

【点拨】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质、直角三角形中30

度角的判断、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于

中考填空题中的压轴题.

13.D

【分析】

过点B作8G_Lx轴于G,过点C作轴于H,根据矩形的性质得到点C的坐标,

求出NCOE=45。，OC=40,过点C作CE_Lx轴于E,过点。作C/Lc轴于尸，由旋转得

ZCOC/=75°,求出NC/OF=30。，利用勾股定理求出。F,即可得到答案.

解：过点8作轴于G,过点C作"，y轴于H,

•••四边形ABCQ是矩形，

：.AD=BC,AB=CD,AD//BC,ZCDA=ZDAB=90°,

：.NHCD=/ADO=NBAG,

"：NCHD=NBGA=90°,

:.△CHDgAAGB(AAS),

VA(1,O),0(0,2),8(5,2),

CH=AG=5-1=4,DH=BG=2,

：.O〃=2+2=4,

：.C(4,4),

：.0E=CE=4,

：.ZCO£=45°,0c=40,

如图，过点C作CELx轴于E,过点C/作。轴于F,

由旋转得/COO=75°,

/。。尸=30°,

:.CiF=g0Ci=g0C=2E，

OF=Jocj-CF=276,

.•.点G的坐标为（2而-2⑹,

【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，

熟记各知识点并综合应用是解题的关键.

14.A

【分析】

根据题意画出绕着。点顺时针旋转120。得到的夕，连接0。，OD',过O

作ZMLLy轴，由旋转的性质得到120。,根据40=80=。0=2,得到度数，

进而求出度数为30°,在宜角三角形中求出OM与的长，即可确定出D'

的坐标.

解：根据题意画出MOB绕着。点顺时针旋转120。得到的“，。昆，连接OZ）,0D',过

。作轴，

：.ZDOD'=}20°,

为斜边AB的中点，

：.AD^0D=^AB=2,

NBAO=/OOA=30。，

：.ZMOD'=30°,

在RtzkOM/）'中，0D'=0D=2,

MD'=1,OM=yJoD'2-MD'2=百，

则D的对应点。的坐标为（1,-百）,

故选：A

【点拨】此题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，30度角

所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，正确掌握旋转的性质得到对应的旋转图形

进行解答是解题的关键.

15.A

【分析】

过点F作FHLBA交BA的延长线于点H,则ZFHA=90°,△AG。绕点A逆时针旋转

60。得到AAEF,得/项。=60。，AF=AD=2,又由四边形A8C£＞是矩形，ZBAD=90°,得到

ZMH=30°,在RdAFH中,FH=^AF=\,山勾股定理得四尸_加=后，得到

BH=AH+AB=2币,再由勾股定理得+而？:次信厨=旧

解：如图，过点尸作尸”，区4交84的延长线于点“，则Z"M=90。，

VAAGD绕点4逆时针旋转60。得至IUAEF

：.ZFAD=600,AF=A[)=2,

,/四边形ABC。是矩形

，/BAD=90。

AZHAF^ZFAD+/BA£M50°

，ZMW=1800-ZBAF=30°

在•△4/7/中，FH=^AF=1

由勾股定理得

AH=yjAF2-FH2=V3

在RtXBFH中，FH=1,BH=AH+AB=2G

由勾股定理得

BF=y]FH2+BH2="+(2后=岳

故B尸的长g.

故选：A

【点拨】本题考查了图形的旋转，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股

定理等知识，解决此题的关键在于作出正确的辅助线.

16.B

【分析】

当AD的延长线恰好经过点C时，CA'IOD,即可求出H的坐标，再求出OA’的解析式

即可；

解：当A'D的延长线恰好经过点C时，CA'±OD

过4作EAUX于E

,：0(0,0),A(0,3),C(5,0)

/.OA=3,OC=5

由旋转可得：OAf=OA=3

CA'^^OC2-OA'2=4

'：S,=-OA:CA!=-EA!OC

ACnZZIcC22

1112

A-x3x4=-E4/x5,解得£4，若

/.OE=y/OA'2-EA'2=J32-(y)2=I

A的坐标为(|,£)

4

的解析式为y=§x

•.•矩形04BC

点纵坐标与4一致为3

在OA上

二。点坐标为总,3）

故选:B.

【点拨】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，求出A'的坐标是解题

的关键.

17.-3

【分析】

先由轴，轴得到四边形OA8C是矩形，然后由矩形的性质可得直线/过矩

形OABC的中心点，再由点B和点0的坐标求得中心点的坐标，最后将中心点的坐标代入

直线/的解析式求得"，的值.

解：...BALx轴，8C，），轴，

二四边形048C是矩形，

；宜线/将四边形0A8C分为面积相等的两部分，

二直线/过矩形OABC的中心点，

•.•点B（3,3）,点。（0,0）,

33

.•.矩形。43c的中心点为（彳，；），（中点坐标公式）

22

3333

将中心点（万，万）代入-2〃?得，-m-2m=-,

.,.m=-3,

故答案为：-3.

【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是通过直

线/平分四边形OABC的面积得到直线/经过矩形0ABe的中心点.

18.（0,2.4）##（0,y）

【分析】

过。作DEHC于E,根据矩形的性质和8的坐标求出。C=A8=5,OA=BC=\2,

NCO4=90。，求出0。=。£,根据勾股定理求出。4=4E=12,AC=13,在DEC

中，根据勾股定理得出。炉+EC2=CQ2,求出OD,即可得出答案.

解：过。作。ELAC于E,

:四边形ABC。是矩形，B(12,5),

：.OC=AB=5,OA=BC=12,ZCOA=90°,

平分NOAC,

：.OD=DE,

由勾股定理得：OA2^AD2-OD2,AE2^AD2-DE2,

；.OA=AE=12,

由勾股定理得：AC=，5?+122=13>

在/??△DEC中，DE^EC^CD2,

2

即0。2+(13_12)2=(5-OD),

解得：00=2.4,

所以。的坐标为(0,2.4),

故答案为：(0,2.4).

【点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，能根据勾股定理得

出关于OD的方程是解此题的关键.

19.(-3,4)或(8,4)或(3,4)

【分析】

当以O,O,P,。为顶点的四边形是边长为5的菱形时，有三种情况，分叨=8=5,

点尸在点。的左侧；OP=OD=5；PD=OD=5,点尸在点。的右侧，结合矩形的性质和勾

股定理可求得点。的坐标.

解：有三种情况：

(1)如答图①所示，//>=。。=5,点尸在点。的左侧.

过点尸作PEJ_X轴于点E,则PE=4.

在RZAPDE中,由勾股定理得：

DE=>iPlf-PEi=V52-42=3)

OE=OD-DE=5-3=2,

：.此时点P坐标为(2,4),此时12(-3,4)；

过点尸作PE_Lx轴于点E,则PE=4.

在•△POE中，由勾股定理得：

OE=\IOP2-PE2=752-42=3>

OE=OD-DE=5—3=2,

...此时点尸坐标为（3,4）,此时Q（8,4）；

（3）如答图③所示，9=8=5,点尸在点。的右侧.

过点P作PELx轴于点E,则PE=4.

在RsPDE中,山勾股定理得：

DE=JO产-PE?=招-4?=3,

?.OK=8+r>£=5+3=8,

•••此时点尸坐标为（8,4）,此时。（3,4）；

y

综上所述，点。的坐标为(-3,4)或(8,4)或(3,4)；

故答案为(-3,4)或(8,4)或(3,4).

【点拨】此题主要考查了矩形的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，使用分类讨论的

思想是解题关键.

卜俘6)

【分析】

过点E作EF_L。。，过点F作FNLOC,并延长N尸交A8延长线于点设

MF=ON=X,根据三角形全等得到EM=/W=6-X,则F(x,6-x),求出直线。。解析式，

代入点尸(x,6-x)求出x,即可求解.

解：过点E作印，。£>,过点尸作/WLOC,并延长NE交A8延长线于点M,如下图：

则N£FO=4WO=90。，AZOFN+AEFM=90°.ZOFN+ZFON=90°

：.2FON=4EFM

在矩形OABCL|J,AB//OC,OA=BC=6,OC=AB=3

：.ZM=ZFNO=9Q°

二四边形8CVW为矩形

:.MN=BC=6,CDIIMN,BM=CN

：.AM=ON

；/OOE=45。

，/XEFO为等腰直角三角形，EF=OF

：.AFONdEFM

：.MF=ON,EM=FN

汲MF=ON=x,则£W=/W=6-x,F(x,6-x)

设宜线0。解析式为y=H

2

由题意可知。(3,2),代入y=h得，3k=2,解得上=§,

2

又♦.♦点尸(x,6—x)在直线。。上，.\6-x=-x

解得X=二，g|JAM=ON=-1-,FN=EM=—

：.AE=AM-EM=-

5

.•.点E坐标为住6)

故答案为惇6)

【点拨】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正比例函数的性质，等腰

直角三角形的性质，解题的关键是根据题意，作出合适的辅助线，利用有关性质求解.

21.30°##30度

【分析】

根据矩形的性质得出AC〃BC,根据平行线性质得出根据折叠性质得

出ZD'EF=ZDEF=75°^PJ.

解：•••四边形48CO为矩形，

J.AD//BC,

：.ZBFE=ZDEF,

'：ZBDE=15°,

：.NDEF=75。,

四边形EDCF沿E尸折叠得到四边形ED'C'F,

,ND，EF=NDEF=75。,

：.ZAED'=180°-ND'EF-NDEF=180o-750-75o=30°.

故答案为：30°.

【点拨】本题考查矩形性质，平行线性质，折叠性质，掌握矩形性质，平行线性质，折

叠性质是解题关键.

22.4或

【分析】

△CEF是直角三角形时，有两种情况：当点F落在矩形内部时，利用勾股定理求出AC,

利用折叠性质得出NAFE=NB=90°,当△CEF是直角三角形时，只能得到N£FC=90。，推

出点A,F,C共线，则CF=4C-AF；当点F落在矩形的4〃边上时，43EF为正方形，利

用勾股定理计算CF.

解：分两种情况，

（1）当点尸落在矩形内部时，如下图所示，连接AC,

在RIA48C中，AB=6.8c=8,

AC=>JAB2+BC2=招+6=10-

•.・将△ABE沿AE折叠，使点B落在点尸处，

:.ZAFE=ZB=90°,

当MEF是直角三角形时，只能得到NEFC=90°,

•・•点A,F,C共线，即点B落在对角线AC上的点尸处,

:.EB=EF,AF=AB=6,

:.CF=AC-AF=10-6=4-.

(2)当点P落在矩形的边上时，如下图所示,

由题意，Z