2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.10正方形的性质与判定（基础篇练习）

专题1.10正方形的性质与判定（基础篇）（专项练习）

一、单选题

类型一、据正方形性质求角的大小、线段的长及面积

1.如图，在正方形ABC。中，E、尸是对角线8。上的点，AB=BF=DE,则NE4F的

度数为（）

A.22.5°B.30°C.45°D.67.5°

2.如图，在边长为2的正方形ABC。中，点E,P分别是的中点，连接EF,CE,

点G,H分别是ERCE的中点，连接G”，则GH的长度为（）

C,亚

D.1

2

3.如图，正方形ABCO的边长为2,“在CO的延长线上，四边形CEF”也为正方形,

则AOBF的面积为（）

H

E

A.4B.72C.242D.2

类型二、据正方形性质进行证明

4.在锐角三角形A3C中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方

形ABZ5E和AC尸G,连接CE、8G和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论：

①BG=CE；②BG_LCE；③AA/是△AEG的中线；④NE4M=NABC,其中正确结论的

5.如图，在正方形A8CQ中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC',连接CC',DC,

若NCC'£>=90。，C'D=2,则线段8C的长度为（）.

A.4B.5C.2瓜D.2A/5

6.如图，G是正方形A8CZ）内一点，以GC为边长，作正方形GCEF,连接BG和DE,

试用旋转的思想说明线段BG与OE的关系（）

A.DE=BGB.DE>BGC.DE<BGD.DE>BG

类型三、添加一个条件使四边形成正方形

7.已知四边形ABC。是平行四边形，下列结论中不正确的是（)

A.当4B=BC时，四边形ABCO是菱形

B.当/ABC=90。时，四边形ABC。是矩形

C.当ACLBQ时，四边形ABCQ是菱形

D.当AC=8O时，四边形ABC£»是正方形

8.在四边形ABC。中，N4=NB=NC=90。.如果再添加一个条件可推出四边形是正方

形，那么这个条件可以是（）

A.AB=CDB.BC=CDC.ZD=90°D.AC=BD

9.下列关于口ABC。的叙述，正确的是（）

A.若AC=3D,则口ABCD是矩形B.若AB=AD,则口ABC£）是正方形

C.若则QABCD是菱形D.^ACIBD,则DABC。是正方形

类型四、据正方形性质与判定求角的大小、线段的长及面积

10.如图，在正方形ABCQ中，以对角线8。为边作菱形8QFE,连接贝iJ/AFB

--()

A.22.5°B.25°C.30°D.不能确定

11.如图，在边长为&的正方形A8C£>中，点E是对角线AC上一点，且立'1.AB于

点F,连接。应当/4Z>E=22.5°时，EF=（）

A.1B.2y/2-2C.V2-1D.；

12.如图，在边长为1的正方形ABCD中，当第1次作A0,8£>,第2次作0E_L4。；

第3次作EF_LAO...........依次方法继续作垂直线段，当作到第10

次时，所得的最小的三角形的面积是（)

A-fB.击C*口.击

类型五、据正方形性质与判定进行证明

13.如图，正方形ABC。中，E、尸是对角线80上的两点，80=6,BE=DF=4,

c.VioD.25/10

14.在矩形ABCD中，M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点（不与端点

重合），对于任意矩形ABCD,下面四个结论中，正确结论的个数是（）

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③存在无数个四边形MNPQ是菱形；

④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.

A.1B.2C.3D.4

15.如图，已知在正方形ABC。中，对角线AC与BQ相交于点O,AE,OF分别是NOA。

与/OOC的平分线，AE的延长线与。尸相交于点G,则下列结论：®AG±DF；©EF//AB-,

③AB=AF；®AB=2EF.其中正确的结论是（）

D

BC

A.①②B.③④C.①②③D.@@③④

类型六、中点四边形

16.下列命题错误的是（）

A.对角线互相垂直平分的四边形为菱形

B.对角线垂直且相等的四边形是正方形

C.直角三角形的两直角边长是3和4,则斜边长是5

D.顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相互垂直

17.如图，在四边形ABCD中，点E,尸分别是AD,BC的中点，G,，分别是8,

AC的中点，AB,CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形.（）

A.AB=CDB.ABIICDC.AC=BDD.AD=BC

18.如图，小宋作出了边长为2的第一个正方形AgG。，算出了它的面积.然后分别

Z

取正方形A4CQ四边的中点&、层、C2、4作出了第二个正方形A/GA，算出了它

的面积.用同样的方法，作出了第三个正方形48夕3。3,算出了它的面积…，由此可得，

第六个正方形的面积是（）

D：

8

A.4x(l)5B.4x(l)6C.4x(l)5D.4x(l)6

2244

类型七、正方形的综合问题

19.如图，在四边形A8C。中，对角线ACLBD,且AC=12,8Z)=9,则该四边形的面

积是()

A.30B.54C.—D.60

2

20.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,P,。分别是BC,AB上的两个动点，AE

=2,AAEQ沿EQ翻折形成△FEQ,连接PF,PD,则PF+PD的最小值是()

21.用两个全等的直角三角形拼图，不一定能拼成下列的哪一种图形()

A.矩形B.平行四边形C.等腰三角形D.菱形

二、填空题

类型一、据正方形性质求角的大小、线段的长及面积

22.如图，在正方形4BCD内部作等边△CDE,连接BD.则N8DE的度数为

23.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1

所示菱形，并测得NB=60。，对角线AC=20cm,接着活动学具成为图2所示正方形，则

图2中对角线AC的长为cm.

24.如图，平面内直线且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABC。的4个

顶点分别在4条平行线上，则正方形的面积为

类型二、据正方形性质进行证明

25.如图，直线/经过正方形A8CO的顶点B,点A,C到直线/的距离分别是1,3,

则正方形ABCD的面积是

26.如图，四边形ACDF是正方形，/CE4和NABF都是直角，且点E、A、B三点共

线，若他=2,则阴影部分的面积是.

D

27.如图，E,F分别是正方形A8CD的边CO,AO上的点，且CEnDFwO,AE,

BF相交于点O,则AE与所的数量与位置关系为

类型三、添加一个条件使四边形成正方形

28.如图，四边形A8CD中，对角线AC,8。相交于点0,AD//BC,OA=OC,AC平

分N84D.欲使四边形ABC£＞是正方形，则还需添加添加（写出一个合适的条件即

可）

29.如图，四边形ABC。是矩形，则只须补充条件（用字母表示，只添加一个条

件）就可以判定四边形4BC。是正方形.

30.如图,在矩形A8CZ）中对角线AC,3D交于点。，请添加一个条件

使矩形ABCD是正方形（填一个即可）

类型四、据正方形性质与判定求角的大小、线段的长及面积

31.如图，正方形ABC。中，E为CD边上一点,尸为BC延长线上一点，且CE=CF,

若ZEFD=19°,则NBEC=°.

32.如图，正方形A8CQ和正方形CEFG中，点。在CG上，AD=6,DG=2五,

，是4F的中点，那么CH的长是

33.如图，四边形ABC。中，AD=DC,NAQC=NABC=90。，DELAB,若四边形ABCQ

面积为16,则OE的长为

类型五、据正方形性质与判定进行证明

34.如图，正方形48CD的边长为4,E是BC延长线上一点，P是NDCE平分线上任

意一点则△P8D的面积是

35.如图，在正方形ABC。中，点G在对角线30上（不与点B,。重合），GELOC于

点E,GFJ_8C于点/，连接AG.写出线段AG,GE,G尸之间的数量关系，并说明理

由.

36.如图，已知正方形ABC。的边长为4c、m,对角线AC与8。相交于点。，点E在OC

边的延长线上，若NC4E=15。，贝ljAE=cm.

类型六、中点四边形

37.如图，在四边形A6CD中，AC_LBD于点。，点£,F,G,H分别为边AB,BC,

CD,D4的中点，顺次连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFG”是.

C

38.矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm,则顺次连接各边中点所得的四边形的面积

是.

39.如图四边形ABC。中，点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC

的中点，当四边形ABCD满足条件时，四边形EGFH是菱形.(填一个使结论成

立的条件)

类型七、正方形的综合问题

40.把长方形0ABe放在如图所示的平面直角坐标系中，点尸、E分别在边OA和A8

上，若点尸(0,3),点C(9,0),且/FEC=90。，EF=EC,则点E的坐标为

41.如图，△ABC中，点力,E分别在48,AC边上.比较大小，ZA+ZCZ1

+Z2.

42.如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边

形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8,四边形DHOG面积为()

A.6B.7C.8D.9

三、解答题

43.如图，在正方形A8CQ中，E是AB上一点，BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,

连接PE,PB.

(1)在AC上找一点尸，使ABPE的周长最小(作图说明);

(2)求出ABPE周长的最小值.

44.如图，四边形A8C。是正方形，E、F分别是0c和CB的延长线上的点，且£>E=

BF,连接AE,AF,EF.

(1)求证：

(2)若BC=8,DE=6,求EF的长.

45.如图，在口480）中，对角线AC、8。相交于点0,且N0BC=N0CB.

（1）求证：必88是矩形；

（2）请添加一个条件，使矩形A8C。成为正方形，并说明理由.

AD

46.如图，四边形ABC。是平行四边形，以点A为圆心，长为半径画弧交8C于点G,

连接AG,点户是射线AO上一动点，的交84延长线于点E,尸产_147于点尸.

(1)求证：PE=PF

(2)当点产与点G重合时，若AB=5,ZABC=45°,求四边形型R的面积.

47.提出问题：(1)如图1,已知在锐角AABC中，分别以A3、AC为边向A43C外作

等腰直角△筋£＞和等腰直角AACE,连接8E、CD,则线段8E与线段C。的数量关系

是;

(2)如图2,在A43C中，ZACB=90°,分别以边AB、AC向外作正方形A8DE和正

方形ACFG,连接CE,BG,EG.猜想线段CE与线段8G的有什么关系？并说明理由.(提

示：正方形的各边都相等，各角均为90。)

(3)在(2)的条件下，探究AABC与AAEG面积是否相等？说明理由.

48.如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点.

(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；

(2)当AC、BD满足时，四边形EFGH为矩形.

49.如图，是边长为2的等边三角形，点C为AB下方的一动点，ZACB=90\

(1)若ZA3C=30°,求CO的长；

(2)求点C到AB的最大距离；

(3)当线段CD的长度最大时，求四边形AC8O的面积.

参考答案

1.C

【分析】

根据正方形的性质可得=AD,/B4D=9()。，NABO=NAD3=45。，证明AE=A尸，

即可解决问题.

解：在正方形ABC。中，AB=AD,NB4D=90。，ZABD=ZADB45°,

•：AB=BF=DE,

NBAF=NBFA=ZDAE=ZDEA=(180°-45。)+2=67.5°,

AE=AF，

ZE4F=180°-2x67.5°=45°.

故选：C.

【点拨】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质.

2.C

【分析】

连接C凡利用正方形的性质，得到AO=£>C=2,ZD=900,利用勾股定理求出CF

的长度，再利用中位线定理得到GH的长度.

解：如图，连接CF,

,/四边形A8CD是正方形

AD=DC=2,Z£>=90°

•.•点尸分别是4n的中点，

：.DF=^AD=]

在RtACDF中,

CF-=CD2+DF2

CF=VCD2+DF2=石

•••点G,〃分别是的中点,

GH是△EFC的中位线

，GHCF=史

22

故选：c

【点拨】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握并

应用中位线定理是解题的关键.

3.D

【分析】

设正方形CEF“边长为“，根据图形表示出阴影部分面积，去括号合并即可得到结果.

解：设正方形CEFH的边长为“，根据题意得：

SgDF=4+。2-—x4--a(a-2)--a(a+2)

=2+a2--a2+a--a2-a

故选：D.

【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【分析】

根据正方形的性质可得AB=AE,4C=AG,NBAE=/C4G=90°,然后求出NCAE=N8AG,

再利用“边角边”证明△ABG和4AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=CE,判定

①正确；设8G、CE相交于点N,根据全等三角形对应角相等可得NACE=N4G8,然后求

出/CNG=90。，根据垂直的定义可得8G，C£,判定②正确；过点E作ERL/M的延长线于

P,过点G作GQLAATT。，根据同角的余角相等求出再利用“角角边”证

明△AB”和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得/E4M=NA8C判定④正确，全等

三角形对应边相等可得EP=AH,同理可证G2=4，，从而得到EP=GQ,再利用“角角边”证

明^后凡0和4GQW全等，根据全等三角形对应边相等可得EM=GM,从而得到411是4AEG

的中线，即可判定③正确.

解：在正方形A8DE和正方形ACFG中，AB=AE,AC=AG,NB4E=/C4G=90。，

，ZBAE+ZBAC^ZCAG+ZBAC,即NC4E=/8AG,

在△ABG和△AEC中，

\"AB=AE,ZCAE=ZBAG,AC=AG,

.♦.△A8G也Z\AEC(SAS),

:.BG=CE,故①正确；

设8G、CE相交于点N,

^ABG^AAEC,

：.ZACE=ZAGB,

"：NNCF+NNGF=ZACF+ZACE+ZAGF-4G8=90°+90°=180°,

.♦.NCNG=360°-(ZNCF+ZNGF+ZF)=360°-(180°+90°)=90°,

C.BGLCE,故②正确；

过点E作EPVHA的延长线于P,过点G作GQ_LAM于。，

:AHLBC,

/•ZABH+ZBAH=90°,

；ZBAE=90°,

ZEAP+ZBAH^180°-90°=90°,

NABH=NEAP,

在△48，和4E4P中，

:NABH=NEAP,NAH8=NP=90。，AB=AE,

：.^ABH^/\EAP(AAS),

AZEAM=ZABC,故④正确，EP=AH,

同理可得GQ=AH,

：.EP=GQ,

在4£尸加和4GQM中，

：NP=NMQG=90°,ZEMP=ZGMQ,EP=GQ,

：.4EPM迫丛GQM(AAS),

:.EM=GM,

...4M是的中线，故③正确，

综上所述，①②③④结论都正确.

故选：A

【点拨】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时

作辅助线的延长线于P,过点G作G。，4M于。构造出全等三角形是难点，运用

全等三角形的性质是关键.

5.D

【分析】

根据旋转的性质，可知8c=8C'.取点。为线段CC'的中点，并连接80.根据等腰

三角形三线合一的性质、正方形的性质及直角三角形的性质，可证得Rm05c丝RmC

CD,从而证得0C=C'D,B0=CC',再利用勾股定理即可求解.

解：如图，取点。为线段CC'的中点，并连接80.

依题意得，BC=BC'

：.B0LCC

：.N8OC=90。

在正方形48C。中，

BC=CD,ZBCD=90°

.,.Z0CB+ZC,CD=90°

又：NCC'D=90°

：.ZC'DC+ZC'8=90。

：.4OCB=NCDC

在«/△OBC和R小C'CD中

ZOCB=ZCzDC

<NBOC=ZCCD

BC=CD

；./??△OBC^Rt&CCD(A4S)

AOC=C'Q=2

：.CC=2OC=2x2=4

:.BO=CC'=4

在RtdBOC中

BC=y]BO2+OC2=V42+22=2石

故选：D.

【点拨】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性

质、全等三角形的判定和性质及勾股定理的运用等知识，解题的关键是辅助线的添加.

6.A

【分析】

根据四边形ABC。为正方形，得出BC=DC,N8C690。，根据四边形CEFG为正方形,

得出GC=EC,ZGC£=90°,再证NBCG=NDC£△8CG与△DCE具有可旋转的特征即可

解：：四边形4BCC为正方形，

；.BC=DC,NBCD=90°,

:四边形CEFG为正方形，

：.GC=EC,NGCE=90。，

,/ZBCG+ZGCD=ZGCD+ZDCE=90°,

NBCG=/DCE,

...△BCG绕点C顺时针方向旋转90。得到△DCE,

:.BG=DE,

故选项A.

【点拨】本题考查图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件，同角的余角性质，掌

握图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件是解题关键.

7.D

【分析】

根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形；根据对

角线相等的平行四边形是矩形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形.

解：A.当力时，平行四边形A8CO是菱形，故该选项正确，不符合题意；

B.当NA8C=90。时，平行四边形A8C£>是矩形，故该选项正确，不符合题意;

C.当AC_L8O时，平行四边形48CD是菱形，故该选项正确，不符合题意；

D.当AC=B/）时，平行四边形A8CO是矩形，故该选项不正确，符合题意：

【点拨】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判

定定理进行判断是解此题的关键，难度适中.

8.B

【分析】

先证四边形ABCD是矩形，当8c=8时，四边形45CZ）是正方形由此判断.

解：VZA=ZB=ZC=90°,

二四边形A8C。是矩形，

当BC=C。时，四边形A8C。是正方形，

故选：B.

【点拨】此题考查了正方形的判定定理，熟记正方形的判定定理并应用是解题的关键.

9.A

【分析】

由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、8、O错误，C

正确；即可得出结论.

解：•.■□"8中，AC=8£>,

••・四边形ABC。是矩形，选项A符合题意：

•••0ABCD中，AB=AD,

二四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项8不符合题意；

■■aABCDtp.ABA.BC,

••・四边形ABC。是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；

•••0438中，AC工BD,

••・四边形ABC。是菱形，选项。不符合题意；

故选：A.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的

判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键.

10.A

【分析】

根据正方形的对角线平分一组对角可得NADB=45。，再根据菱形的四条边都相等可得

BD=DF,根据等边对等角可得NDBF=NDFB,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻

的两个内角的和进行计算即可得解.

解：在正方形ABCD中，ZADB=^ZADC=1x90°=45°,

在菱形BDFE中，BD=DF,

所以，ZDBF=ZAFB,

在^BDF中，ZADB=ZDBF+ZAFB=2ZAFB=45°,

解得NAFB=22.5°.

故选：A.

【点拨】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四

条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的

性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键.

11.C

【分析】

证明NCDE=NCED=67.5。，则C£)=CE=0，计算AC的长，得AE=2-&，证明MFE

是等腰直角三角形，可得EF的长.

解：,••四边形A8C。是正方形，

:.AB=CD=BC=ZB=ZADC=9O。，ABACZCAD=45°,

\AC=y/2AB=2,

ZADE=22.5°,

ZCDE=90°-22.50=67.5°,

•;NCED=Z.CAD+ZADE=45°+22.5°=67.5°,

:.NCDE=NCED,

:.CD=CE=-Ji，

AE=2--j2,

•;EFLAB,

:.ZAFE=90°,

..A4FE是等腰直角三角形，

①堂及T,

故选：C.

【点拨】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等

知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题

型.

12.B

【分析】

根据正方形的性质可得AB=AD,然后根据等腰直角三角形的性质求出^AOD的面积，

再求出AAOE的面积，4AEF的面积，根据计算结果可得下一次得到最小的三角形的面积

是上一次三角形的义，然后写出第10次时所得的最小的三角形的面积即可.

解：：四边形ABCD是正方形，边长为1,

.,.AB=AD,正方形的面积为1,

第1次作AOLBD,则最小△AOD的面积=gxgxl=!=!，

第2次作EOLAD,最小△AOE的面积=9冷=/：

第3次作EF±AO,>/hAAEF的面积,

•••t

依此类推,作到第10次时，最小三角形的面积=5.

故选B.

【点拨】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是根据图形的特点找到变化规律.

13.B

【分析】

连接AC,由正方形性质得到AO=CO=BO=£>O,ACLBD,进而得到OE=OF,根据

菱形的判定证得四边形AEC尸

是菱形，根据菱形的面积公式两对角线的积的一半即可求得结果.

解：连接AC,

•・•四边形A8C。是正方形，

：.AO=COfBO=DO,ACLBD,AC=BD=6,

；.AO=CO=BO=DO,

•；BE=DF=4,

：.BF=DE=BD-BE=2,

AOE=OFtEF=DF—DE=2,

...四边形AEC尸是菱形，

菱形AECF的面积=AC-EF=\x6x2=6,

【点拨】本题生耍考查了正方形的性质，菱形的判定和面积公式，能够证得四边形AECF

是菱形是解决问题的关键.

14.C

【分析】

根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到

结论.

解：①如图，二•四边形ABCD是矩形，连接AC,BD交于0,

过点0直线MP和QN,分别交AB,BC,CD,AD于M,N,P,Q,

则四边形MNPQ是平行四边形，

故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；

②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是

矩形；故正确；

③如图，当PMLQN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确;

④当四边形MNPQ是正方形时，MQ=PQ,

则^AMQ丝△DQP,

；.AM=QD,AQ=PD,

,/PD=BM,

AAB=AD,

四边形ABCD是正方形,

当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误;

故选：C.

【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判

定定理，熟记各定理是解题的关键.

15.C

【分析】

①证明NDAE=ZCDF,进而得ND4F+NA£>G=90。,便可判断①的正误；

②证明△AGF^AAGDCASA),得AG垂直平分DF,得ED=EF,得NEFD=ZEDF=

ZCDF,得EF〃CD,便可判断②的正误；

③由得4尸=A。，便可判断③的正误；

④证明EF=ED=皈OE，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角

形的三边对应成比例便可得4B与EF的数量关系，进而判断④的正误.

解：①I•四边形ABCO是正方形，

：.ZCAD^ZBDC=45°,

'：AE,。尸分别是NOAQ与NOOC的平分线，

ZDAE=ZCDF,

ZADF+ZCDF=90°,

：.ZDAF+ZADG=90°,

,NAG£>=90°,即AGLDF,

故①结论正确；

②在△AGP和△AGO中，

ZGAF=AGAD

<ZAGF=AAGD=90°,

AG=AG

：./\AGF^/\AGDCASA),

:・GF=GD,

VAG1DF,

：.EF=ED,

：.ZEFD=/EDF=/CDF,

：.EF//CD//AB?

故②正确；

@VAAGF^AAGDCASA),

：.AD=AF=AB.

故③正确；

@*：EF//CD,

：.NOEF=NODC=45。,

,/ZCOD=90°,

:.EF=ED=42OE>

EFOEOEr,

,,CDOD(次+1)比，

：.AB=CD=(V2+1)EF,

故④错误.

故选：C.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质的应用，结合三角形全等的判定与性质进行证明

求解.

16.B

【分析】

利用菱形、正方形的判定方法、勾股定理、中点四边形的知识分别判断后即可确定正确

的选项.

解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不符合题意；

B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，符合题意；

C、直角三角形的两直角边长是3和4,则斜边长是5,正确，不符合题意；

D、顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相互垂直，正确，

不符合题意.

故选：B.

【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形、正方形的判定方法、

勾股定理、中点四边形的知识，难度不大.

17.A

【分析】

根据中位线的定义与性质可知四边形EGFH是平行四边形，然后找出邻边相等的条件

即可证明该四边为菱形.

解：由题意知EG是短的中位线

AEG//AB,EG=-AB

2

户H是AABC的中位线

FH//AB,FHJAB

2

AEG//FH,EG=FH

•••四边形EGF”是平行四边形

：GF是△BCD的中位线，

GF=-CD

2

当A8=C£）时，FH=GH

.••平行四边形EGF”是菱形

故选A.

【点拨】本题考查了中位线，菱形的判定.解题的关键在于对知识的灵活运用

18.A

【分析】

根据正方形的性质，下一个正方形的面积是上一个正方形的面积的然后依次求解即

可.

解：正方形ABCQ的面积为4；

顺次连接正方形ABC"中点得正方形AB2GD2,则正方形A2B2C2D2

的面积为正方形。面积的一半，即4x（；

顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A383c3鼻，则正方形483c3鼻的面积为正方形

A,8,C,Q,面积的一半，即4x1：

4

顺次连接正方形M,C3D3中点得正方形A48Vt”,，则正方形AAC2的面积为正方

形4员42面积的一半，B|J4xl

O

第六个正方形asc.R的面积是4x（g）5,

故选：A.

【点拨】本题考查了正方形的性质，熟记性质并判断出正方形中点四边形的面积等于原

正方形的面积的3是解题的关键.

19.B

【分析】

设两对角线的交点为E,由SWilljiiABCD=BD-AC即可完成.

解：设两对角线的交点为E

**S四边形488=S&ABD+SKBD

=LBD・AEJBD・CE

22

=^BD（AE+CE）

=-BD・AC

2

=-x9xl2

2

=54

故选：B.

D

【点拨】本题考查了四边形面积的计算，关键是转化为两个直角三角形面积的和，体现

了转化思想的应用.一般地，如果四边形的两条对角线相互垂直，则四边形的面积与菱形面

积计算一样，等于两对角线乘积的一半.

20.C

【分析】

作点〃关于8C的对称点D',连接PD,ED',证得DP=PD>,推出PD+PF=PD'+PF,

又EF=EA=2是定值，即可推出当E、尸、P,O四点共线时，PF+尸。定值最小，最小值=

EF即可得出结果.

解：作点。关于8c的对称点。，连接PO,ED',如图所示：

;矩形ABC。中，AB=4,BC=8,AE=2,

：.DE=AD-4E=8C-AE=6,">'=2OC=24B=8,

•'­ED'^ylDE2+DD'2-A/62+82=1°，

CD=CD'

在^PCD和小PCD，中,■NPCD=ZPCD'=90”，

PC=PC

：.△PCD丝△PCO'(SAS),

：.DP=PD',

：.PD+PF=PD'+PF,

*：EF=EA=2是定值，

...当E、F、尸、。四点共线时，PF+P。定值最小,最小值=10-2=8,

...PF+PD的最小值为8,

故选C.

【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，

解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题.

21.D

【分析】

根据直角三角形的性质，拼成的图形可能是等腰三角形、平行四边形、矩形；因为拼成

的四边形的两组对边分别是两条直角边或一条直角边和斜边，不能得出四边相等，所以不可

能拼成菱形.

解：如果让直角三角形的直角边重合，可能拼成等腰三角形或平行四边形；

如果让直角三角形的斜边重合，可能拼成矩形.

因为拼成的四边形的两组对边分别是两条直角边或一条直角边和斜边，所以不可能拼成

菱形.

故选D.

【点拨】考查矩形，菱形，平行四边形的性质，掌握它们的性质是解题的关键.

22.15°##15度

【分析】

根据正方形和等边三角形的性质可得出N8OC、NCQE的度数，然后根据角的和差计

算即可.

解：；四边形48co是正方形，ACDE是等边三角形，

二ZBDC=-ZADC=1x90°=45°,ZCDE=60°,

22

ZBDE=ZCDE-ZBDC=\5°.

故答案为：15。.

【点拨】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质等知识，掌握正方形和等边三角

形的性质是解题的关键.

23.2072

解：如图1,如图2,连接AC,

图1中，:四边形A3CO是菱形，

:・AB=BC,

*/ZB=60°,

•••△A3c是等边三角形，

AB=BC=AC=20cn\,

在图2中，•••四边形A8CD是正方形,

：.AB=BC,NB=90°,

...△ABC是等腰直角三角形，

AC=qAB?+BC?=20及an.

故答案为：2()72

【点拨】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌

握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型.

24.5

【分析】

过C点作直线EF与四条平行线垂直，与4交于点E,与乙交于点F,从而可以证得

△CDE^ACBF,得CF=1,BF=2.根据勾股定理可求BC?得正方形的面积.

解：过C点作交4于E点，交％于F点，如图所示：

'：lt//l2//l3//l4,EFLl2,

：.EFVly,EFl.l4,

即NCEf)=/8FC=90°,

•.•四边形ABCD为正方形，

：.ZBCD=90°,

：.ZDCE+ZBCF=90°,

又；ZDCE+ZCDE=90°,

:.NCDE=NBCF,

在^CDE^DABCF中

ZCED=ZBFC=90°

-NCDE=NBCF,

BC=CD

.♦.△COE/△BCF(AAS),

：.BF=CE=2,

'：CF=\,

，BC?=12+22=5,即正方形48co的面积为5,

故答案为：5.

【点拨】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的

直角三角形是解决问题的关键.

25.10

【分析】

根据正方形的性质，结合题意易求证AB=BC,ABAM=NCBN,ZABM=ZBCN,

即可利用“ASA”证明△ABM三△8CN,得出4W=BN=1.最后根据勾股定理可求出

BC2=BN2+CN2=\0,即正方形的面积为10.

解：：四边形A8CO是正方形，

:.AB=BC,NABC=90。，

：.?ABM?CBN90?.

根据题意可知：ZBAM+ZABM=90°,NCBN+NBCN=90。,

：.NBAM=NCBN,ZABM=ZBCN,

NBAM=ZCBN

.•.在AABN和ABCW中，■AB=BC,

ZABM=NBCN

/.AABM*BCN(ASA),

：.AM=BN=l.

,/在RtABCN中,BC2=BN2+CN2=32+12=10,

，正方形ABC。的面积是10.

故答案为：10.

【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理.利用数形结

合的思想是解答本题的关键.

26.2

【分析】

由正方形的性质可得AC=4尸,ZCAF=90°,由“A4歹可证△△用8,可得CE=A8=2,

即可求解.

解：：四边形ACDF是正方形，

：.AC=AF,ZCAF=90°,

ZCAE+ZFA8=90°,/ACE+ZCAE=90°,

ZACE=ZFAB,RZE=ZABF,AC=AF,

：.AACE^AMB(A4S),

：.CE=AB=2,

.*•S阴后yxABxCE=2,

故答案为：2.

【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明CE=A8是本题的

关键.

27.相等且垂直

【分析】

根据正方形的性质可得/8AF=NO=90。，AB^AD^CD,然后求出4尸=DE,再利用“边角

边”证明△A8尸和△OAE全等，根据全等三角形对应边相等可得4E=8F.

解：AE=BF,B.AEA.BF,理由如下：

•••四边形A8CD是正方形，

：.AD=CD=AB=BCfNAOE=NA4G90。，

*：CE=DF,,

:.AF=DE,

在48AF和△4。七中，

AB=AD

<ZBAF=ZD

AF=DE

AABAF^AADE(SAS),

，AE=BF,ZABF=ZEAD.

又丁？8402EAF90?.

，ZABF+ZBAO=90Q,

：.ZAOB=90°,

；.AE上BF.

故答案为：相等且垂直.

【点拨】本题考查正方形的性质利全等三角形的证明，解题关键是掌握正方形的性质和

证明全等的方法.

28.AC=BD(答案不唯一)

【分析】

由平行线的性质可知，ZDAC=ZBCA,即易证△4O£>*COB(AS4),得出AO=CB,

由此可证明四边形ABCD为平行四边形.由角平分线的性质可知NDAC=NR4C,即得出

ZBAC=ZBCA,从而证明