（精品讲义）2-42.4.2事件的相互独立性word版含答案2

08/909/9/2．4.2事件的相互独立性预习课本P54～55，思考并完成以下问题1．事件的相互独立性的定义是什么？性质是什么？2．相互独立事件与互斥事件的区别？事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：A与B是相互独立事件，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A与\x\to(B),\x\to(A)与B,\x\to(A)与\x\to(B)))也相互独立．[点睛]相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)计算公式P(AB)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．()(2)必然事件与任何一个事件相互独立．()(3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．()(4)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．答案：0.563．一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则该产品的正品率为________．答案：(1－a)(1－b)4．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，则P(Aeq\x\to(B))＝________，P(AB)＝________.答案：eq\f(1,6)eq\f(1,6)事件独立性的判断[典例]判断下列事件是否为相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．[解](1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为eq\f(5,8)，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为eq\f(4,7)；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为eq\f(5,7)，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．[活学活用]把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独立事件？(1)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}；(2)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}；(3)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．解：(1)∵P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝0，∴A与B不是相互独立事件．(2)∵P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)，∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴A与B是相互独立事件．(3)∵P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,6)，∴P(AB)≠P(A)·P(B)，∴A与B不是相互独立事件.相互独立事件概率的计算[典例]根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．[解]记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(B)与eq\x\to(A)都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝eq\x\to(A)B，所以P(D)＝P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.[一题多变]1．[变设问]本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？解：法一：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括eq\x\to(A)B，Aeq\x\to(B)，AB，且它们彼此为互斥事件．所以P(E)＝P(eq\x\to(A)B＋Aeq\x\to(B)＋AB)＝P(eq\x\to(A)B)＋P(Aeq\x\to(B))＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．所以P(E)＝1－P(AB)＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.2．[变条件，变设问]某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P1＝P(A1eq\x\to(A)2A3)＋P(eq\x\to(A)1A2A3)＝P(A1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．相互独立事件概率的实际应用[典例]三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．[解]记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(3,4)，P(A3)＝eq\f(3,4).不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，∴不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)＝[1－P(eq\x\to(A)2)·P(eq\x\to(A)3)]·P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)×\f(1,4)))×eq\f(1,2)＝eq\f(15,32).求较为复杂事件的概率的方法(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立．或者是相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．[活学活用]某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100m跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别是eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，如果对这三名短跑运动员的100m跑成绩进行一次检测．(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？(2)出现恰有几人合格的概率最大？解：设“甲、乙、丙三人100m跑合格”分别为事件A，B，C，显然A，B，C相互独立，P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3)，所以P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，P(eq\x\to(C))＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率为P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).三人都不合格的概率为P0＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,10).所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是eq\f(1,10).(2)因为ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C，eq\x\to(A)BC两两互斥，所以恰有两人合格的概率为：P2＝P(ABeq\x\to(C)＋Aeq\x\to(B)C＋eq\x\to(A)BC)＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝P(A)P(B)P(eq\x\to(C))＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)＋P(eq\x\to(A))P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60).恰有一人合格的概率为P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq\f(1,10)－eq\f(23,60)－eq\f(1,10)＝eq\f(25,60)＝eq\f(5,12).由(1)(2)知P0，P1，P2，P3中P1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大．层级一学业水平达标1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是()A．互斥事件 B．相互独立事件C．对立事件 D．不相互独立事件解析：选D根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．故选D．2．若P(AB)＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，则事件A与B的关系是()A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又独立解析：选C因为P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，所以P(A)＝eq\f(1,3)，又P(B)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,9)，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥．3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是()A．eq\f(14,25) B．eq\f(12,25)C．eq\f(3,4) D．eq\f(3,5)解析：选A由题意知P甲＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，P乙＝eq\f(7,10)，所以P＝P甲·P乙＝eq\f(14,25).4．有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是()A．0.56 B．0.92C．0.94D．0.96解析：选C设事件A表示：“甲击中”，事件B表示：“乙击中”．由题意知A，B互相独立．故目标被击中的概率为P＝1－P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－0.2×0.3＝0.94.5．从甲袋内摸出1个红球的概率是eq\f(1,3)，从乙袋内摸出1个红球的概率是eq\f(1,2)，从两袋内各摸出1个球，则eq\f(2,3)等于()A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰好有1个红球的概率解析：选C至少有1个红球的概率是eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.答案：0.267．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________.解析：∵A，B相互独立，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.P(A|B)＝P(A)＝0.3.答案：0.650.38．设两个相互独立的事件A，B都不发生的概率为eq\f(1,9)，A发生B不发生的概率等于B发生A不发生的概率，则事件A发生的概率P(A)＝________.解析：由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((1－P(A))(1－P(B))＝\f(1,9)，,P(A)(1－P(B))＝P(B)(1－P(A))，))解得P(A)＝P(B)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为eq\f(4,5)和eq\f(3,4).求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率．(2)至少有一个气象台预报准确的概率．解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B．显然事件A，B相互独立且P(A)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(3,4).(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5).(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P(AB)＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(19,20).10．已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是eq\f(1,2)，事件B发生的概率是eq\f(2,3)，事件C发生的概率是eq\f(3,4)，求下列事件的概率：(1)事件A，B，C只发生两个；(2)事件A，B，C至多发生两个．解：(1)记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况，A·B·eq\x\to(C)；A·eq\x\to(B)·C；eq\x\to(A)·B·C，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P(A1)＝P(A·B·eq\x\to(C))＋P(A·eq\x\to(B)·C)＋P(eq\x\to(A)·B·C)＝eq\f(1,12)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,4)＝eq\f(11,24)，∴事件A，B，C只发生两个的概率为eq\f(11,24).(2)记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5，故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝eq\f(1,24)＋eq\f(6,24)＋eq\f(11,24)＝eq\f(3,4).∴事件A，B，C至多发生两个的概率为eq\f(3,4).层级二应试能力达标1．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为()A．0.12 B．0.88C．0.28 D．0.42解析：选DP＝(1－0.3)(1－0.4)＝0.42.2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A．eq\f(4,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,3)解析：选A设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝eq\f(2,3)，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝eq\f(2,3).故P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).3.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,9)C．eq\f(4,9) D．eq\f(8,27)解析：选A按A→B→C→A的顺序的概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27)，按A→C→B→A的顺序的概率为eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，故跳三次之后停在A叶上的概率为P＝eq\f(1,27)＋eq\f(8,27)＝eq\f(1,3).4.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为()A．eq\f(3,16) B．eq\f(3,4)C．eq\f(13,16) D．eq\f(1,4)解析：选C记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))[1－P(AB)]＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\f(3,16).∴灯亮的概率为1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).5．加工某零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为eq\f(1,70)，eq\f(1,69)，eq\f(1,68)，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．解析：加工出来的零件的正品率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,70)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,69)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,68)))＝eq\f(67,70)，所以次品率为1－eq\f(67,70)＝eq\f(3,70).答案：eq\f(3,70)6．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.答案：0.1287．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．解：记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.(1)法一：该选手被淘汰的概率：P＝P(eq\x\to(A)1∪A1eq\x\to(A)2∪A1A2eq\x\to(A)3∪A1A2A3eq\x\to(A)4)＝P(eq\x\to(A)1)＋P(A1)P(eq\x\to(A)2)＋P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A)3)＋P(A1)