2023届高考数学二轮复习疯狂专练9立体几何理

立体几何一、一、选择题〔5分/题〕1．[2023·铜梁一中]右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下四个命题：①//； ②与成角；③与成异面直线且； ④与面所成角为．其中正确的个数是〔〕A． B． C． D．【答案】A【解析】将正方体纸盒展开图复原成正方体，如图知与不平行，故①错误；连接、，将平移到，那么与成角，故②正确；同理与成角，故③错误；与面所成角不为，故④错误，综上可得只有②正确，应选A．2．[2023·天水一中]设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出以下四个命题，其中正确命题的序号是〔〕①假设，那么； ②假设，那么；③假设，那么； ④假设，那么．A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】A【解析】①可以作为线面垂直的性质定理，①正确；②在时，有，又，得，②正确；③在时，可能相交，可能异面，也可能平行，③错误；④把门绕轴旋转，它在每一个位置都与地面垂直，但门所在的各个位置并不垂直，④错误，应选A．3．[2023·福建联考]矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中〔〕A．存在某个位置，使得直线与直线垂直B．存在某个位置，使得直线与直线垂直C．存在某个位置，使得直线与直线垂直D．对任意位置，三对直线“与〞，“与〞，“与〞均不垂直【答案】C【解析】如图，，，依题意，，，，．A，假设存在某个位置，使得直线与直线垂直，那么∵，∴平面，从而，这与矛盾，排除A；B，假设存在某个位置，使得直线与直线垂直，那么平面，从而平面平面，即在底面上的射影应位于线段上，这是不可能的，排除B；C，假设存在某个位置，使得直线与直线垂直，那么平面，平面平面，取中点，连接，那么，∴就是二面角的平面角，此角显然存在，即当在底面上的射影位于的中点时，直线与直线垂直，故C正确；D，由上所述，可排除D；应选C．4．[2023·河西南师大附中]三棱锥中，，，面，，点、分别在、上，使面，且，那么平面与平面所成的二面角的正弦值为〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】略．5．[2023·台州中学]如图1，在等腰中，，，分别是上的点，，为的中点．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥．假设平面，那么与平面所成角的正弦值等于〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】过作与点，连接，可知即为与平面所成角．，，．，．在中，．即与平面所成角的正弦值为．故B正确．6．[2023·江淮十校]如图，正四面体中，、分别是棱和的中点，那么直线和所成的角的余弦值为〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】如下图，作底面，垂足为，为底面等边的中心，建立空间直角坐标系．不妨取，那么：，设点是线段的中点，那么：，，，．利用空间向量求解余弦值有：．∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为．7．[2023·邢台一中]三棱锥中，，，且各顶点均在同一个球面上，那么该球的体积为〔〕A． B． C． D．【答案】A【解析】四棱锥四个顶点都在底面边长为，高为的长方体的顶上，故棱锥的外接球也是长方体的外接球，球的半径，，应选A．8．[2023·横峰中学]在等边中，在上运动，在上运动，，将沿折起使二面角的平面角为，当四棱锥体积最大时，等于〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，那么，∴，设的中点为，那么，∵二面角的平面角为，∴，∴，∴当时，四棱锥体积取得最大值，∴，应选B．9．[2023·安阳模拟]北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙〞者，如果棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共层，上底由个物体组成，以下各层的长、宽一次各增加一个物体，最下层〔即下底〕由个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为．由假设干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如下图，那么该垛积中所有小球的个数为〔〕A．83 B．84 C．85 D．86【答案】C【解析】从题设及三视图中所提供的图形信息和数据信息可知，代入公式，应选答案C．10．[2023·嘉兴一中]正方体中，点在上运动〔包括端点〕，那么与所成角的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】以点为原点，、、分别为建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，设点坐标为，那么，设的夹角为，所以，所以当时，取最大值．当时，取最小值．因为．应选D．11．[2023南昌二中]如图，正方体的棱长为，动点在此正方体的外表上运动，且，记点的轨迹的长度为，那么函数的图像可能是〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】的轨迹为以为球心，为半径的球面与正方体的交线，当时，，此时由一次函数的单调性和图象可知轨迹为直线，排除C，D，当时，其轨迹长度为，排除A，应选B．12．[2023·江西质检]如下图，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于，，设，，给出以下命题：①四边形为平行四边形；②假设四边形面积，，那么有最小值；③假设四棱锥的体积，，那么为常函数；④假设多面体的体积，，那么为单调函数．⑤当时，四边形为正方形．其中假命题的个数为〔〕A．0 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】对①，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理，所以四边形为平行四边形，正确；对②，因为平面，，所以平面，平面，所以，所以四边形面积，因为为定值，所以当分别为，的中点时有最小值，正确；对③，，因为为定值，到平面的距离为定值，所以的体积为定值，即为常函数，正确；对④，如图：过作平面平面，分别交，，于，那么多面体的体积，而，，，所以，常数，错误；对⑤，当时，四边形为正方形正确；应选D．二、二、填空题〔5分/题〕13．[2023·交大附中]如图，在直三棱柱中，，，与分别是棱和的中点，与分别是线段与上的动点〔不包括端点〕．假设，那么线段的长度的取值范围是__________．【答案】【解析】如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，∵，∴，，当时，，当时，〔不包含端点，故不能取〕，，∴长度取值为．14．[2023·黄山模拟]两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上．以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立．那么短轴长为，长轴为的椭球体的体积为_____．【答案】【解析】根据题意可得：椭半球体的体积等于圆柱截去圆锥所剩下局部的体积，所以椭半球体体积为，故椭球体的体积为．15．[2023·名族中学]正四面体的棱长为，为棱的中点，过作其外接球的截面，那么截面面积的最小值为__________．【答案】【解析】将四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接球，∵正四面体的棱长为，∴正方体的棱长为，可得外接球半径满足，解得，为棱的中点，过作其外接球的截面，当截面到球心的距离最大时，截面圆的面积取最小值，此时球心到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，得到截面圆的面积最小值