倍值函数 练习题（解析版）

专题13倍值函数

一、单选题

1.(2011-2012学年安徽省六校教育研究会高三测试理科数学)函数()的定义域为,若存在闭区间

［,］匚，使得函数()满足：①()在［,］内是单调函数；②()在［,］上的值域为

［2,2］,则称区间［,］为=()的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有

①〃力=’(箕0)；②()=(€)；

③〃力=翟(叁0);④f(x)=iogaS-Na>0,"D

X+1o

A.①②③④B.①②④C.①③④D.①③

【答案】C

【解析】

函数存在“倍值区间”，即函数的图像与直线=2有交点，/(力=/(工'0)与直线=2有交点是

(0,0),(2,4)；对于()=(G)，构造函数()=-2,()min=(ln?=2-

2n2>。；所以()=-2没有零点，即()=(e)与直线=2没有交点；

4x

=——(x>0)

x2+l与直线=2的交点是(0,0),(1,2).解方程log(-令=2,即2一

［土生x

1/(x)=loga(a->0,4KD

+i=0,=得<当无解；。<有两解.故不

oN7,>1,<78

满足题意.选C.

2.(河南省郑州市第一中学2019-2020学年高三上学期期中考试数学(理)试题)对于函数y=/(x),

若存在区间句,当。，句时的值域为［切，物(4>0),则称y=/(x)为k倍值函数.若〃x)=4+2x是我

倍值函数，则实数k的取值范围是()

A.(e+l,+co)B.(e+2,+oo)C.(e+J+s)D.(e+j+s)

【答案】B

【分析】

可看出y=/(x)在定义域R内单调递增，可得出也是方程e'+2x=fcr的两个不同根，从而得出k=C+2,

X

通过求导，求出C+2的值域，进而可得到%的范围.

【详解】

解：y=/(x)在定义域R内单调递增，

/.f(a)=ka,f(b)=kb,

^ea+2a=ka,eb+2b=kb,

即是方程e'+2x=日的两个不同根，

k-----1-2,

x

、兀/、、

设g(x)=—e*+2c,g,(/x)=-e-*--(-x、—~1),

xx'

.〔Ocxcl时，g'(x)<0；x>l时,g'(x)>0,

，x=l是g(x)的极小值点，

g(x)的极小值为:g(l)=e+2,

又X趋向。时，g(x)趋向+8；X趋向+8时，g(X)趋向+8,

.,">e+2时，y=*和y=g(x)的图象有两个交点，方程々=J+2有两个解，

X

・.・实数k的取值范围是(e+2,田).

故选B.

【点睛】

本题考查了对笈倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于

难题.

3.(2021•四川•内江市教育科学研究所高二期末(文))对于函数y=/(x),若存在区间忸,々，当向

时，f⑺的值域为［3如，则称y=/(x)为笈倍值函数.若=e，是左倍值函数,则k的取值范围为()

A.(0,jB.(l,e)C.D.

【答案】C

【分析】

可看出y=，(x)在定义域R内单调递增，可得出“，6是方程e，=履的两个不同根，从而得出％=4,通过求

X

导，求出《的值域，进而可得到k的范围.

X

【详解】

解：y=/(x)在定义域R内单调递增，

:.于(a)=ka,f(b)=kb,

即e"=3,e〃=妨,

即是方程/=日的两个不同根,

k,=—,

x

设g(x)=幺,g'(X)=e(x11),

XX

.•・当x<0时g'。)<o,函数g(x)=-单调递减，k=-不存在两个根的问题,

XX

0cxe1时，g'(x)<0；x>l时，g\x)>0,

x=l是g(x)的极小值点，

・,.g(x)的极小值为：^(l)=e,

又x趋向。时，g(x)趋向+8；x趋向+8时，g(x)趋向+8,

二.Qe时，y=«和y=g(x)的图象有两个交点，方程仁《有两个解，

X

・•・实数k的取值范围是(e,+oo).

故选:C.

【点睛】

方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方

面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.

4.(2021•吉林•长春十一高高二期中(理))对于函数y=〃x),若存在区间［4,0，当同时，〃x)

的值域为［3，妫，则称y=/(x)为我倍值函数.若〃x)=x+lnx是太倍值函数，则k的取值范围为()

A.陷B.Q+8)C.(6+1)D.(2引

【答案】C

【分析】

InY］nY

由题意有方程x+lnx=辰有两个不同的实数根，则Z=l+q-,令8(制=1+7，求导得函数g(x)的单调

性与极值，由此可求出结论.

【详解】

解：•.•/(x)=x+lnx,定义域为(0,+8),

函数“X)在(0,+8)上为增函数,

由题意有，/(a)=a+lna=3,/(b)=b+lnb=kb,

即方程x+lnx=丘有两个不同的实数根,

Inx

+一，

x

1-lnx

令8(》)=1+丁,则g'(x)=

x2

由——>0tf0<x<e,由一^<0得xNe,

xx

・•・函数g(X)在(0,e］上单调递增，在［e,x)上单调递减,

.♦・函数g(x)在x=e处取得极大值g(e)=l+,，

e

又当x->0时，g(x)v0,当尤一田时，g(x)>l,

.••当1<%<!+1时，直线y=%与函数y=g(x)的图象有两个不同的交点，

e

Inr

此时方程k=l+——有两个不同的解，

X

••4的取值范围为1,;+1),

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，本题的关键在于分离参数法得方程

11］YliiV"

%=1+T有两个不同的解，构造函数g(x)=l+—j,利用导数研究其单调性与极值，注意讨论当xrO和

x-物时函数值的情况.本题考查了数学运算能力，考查了转化与化归思想，属于中档题.

5.(2020•海南中学高三月考)对于函数尸心)，若存在区间值,用，当［a,用时的值域为［Ka,kb］(k>0),

则称片/U)为K倍值函数.若心)=R3x是K倍值函数，则实数4的取值范围是()

12

A.(e+-,+8)B.(e+—,+8)

ee

C.(e+2,+8)D.(e+3,+8)

【答案】D

【分析】

根据何=於+3x是定义域R上的增函数，易得即。力是方程e，+3x=船的两个根，转化为人《+3

有两个根，令g(x)=f+3,用导数法求解.

【详解】

因为/(刈=。+3才是定义域7?上的增函数，

于(a)=ka

所以即ea+3a=ka,eb+3b=kb

f(b)=kb'9

所以a1是方程e、+3x="的两个根，

显然x=0不是方程的根，

所以人C+3,

X

令g(x)=?+3(xwO),则g<x)='，

当x<O,O<x<l时，g,(x)<0,当x>l时，g'(x)>0,

所以当x=l时，g(x)取得极小值e+3,

当X->0时，g(x)—+oo,当Xf-8时，g(x)f3,

画出函数g(x)图象，如下图所示:

所以4>e+3

所以实数K的取值范围是(住3,+8),

故选：D

【点睛】

方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方

面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.

6.(2021•宁夏•银川三沙源上游学校高一期中)函数/(x)的定义域为。，若存在闭区间［。，句使得

函数f(x)同时满足：(1)属数在句内是单调函数;(2)/(数在［。,可上的值域为［3，物］(%>0),则称

区间［"，〃］为f(x)的'“倍值区间”.下列函数：①/(x)=lnx；②〃x)=：(x>0);③/(x)=x«20)；④

V

〃x)=4/(0Wl)淇中存在“3倍值区间”的有()

A.①③B.②③C.②④D.①②③④

【答案】B

【分析】

根据题目所给定义，分别利用对数函数、反比例函数、二次函数、双勾函数的单调性，算出

和f(b),进行分析判断即可.

【详解】

对于①，函数/(x)=lnx为增函数，若函数〃x)=lnx存在“3倍值区间”可，贝“；3=［2=3匕，由

图象可得方程lnx=3x无解，故函数〃x)=lnx不存在“3倍值区间”；

f(a)=-=3b

对于②，函数〃x)=T(x>0)为减函数，若存在“3倍值区间”［a,可，则有<

।得:tz>0,

，伍)=厂3a

Z?>0

例如：〃=；,6=1.所以函数"x)=1(x>0)存在“3倍值区间”；

JX

/、I,、ria2=0

对于③，若函数〃力=4/0)存在“3倍值区间”［a,可，贝叫f;(篙)==从a=3a5,解得b=3,所以函数函数

/(x)=x2(xZ0)存在“3倍值区间”［0,3］;

对于④，当x=0时，〃x)=0.当0<x41时，从而可得函数/(x)在区间［0』上单调递增.

X

./(£,)=_j_^T=3a

若函数/(xh'r=存在“3倍值区间”目，且句00』，则有二,无解.所以函数

f(b)=-^=3b

I八，1+b2

〃x)=L不存在“3倍值区间”.

1+x

故选：B.

【点睛】

本题是函数新定义问题，以及对数函数、反比例函数、二次函数、双勾函数单调性和值域等，根据函数性

质及题中所给条件进行一一判断是关键.

7.(2020•湖南郴州•高一期末)函数，(x)的定义域为D,若存在闭区间1利川三。，使得函数f(x)满足

以下两个条件:(1)/(*)在［m,臼上是单调函数；(2)/(x)在［m,臼上的值域为［2m,2n］,则称区间［m,

划为y="x)的"倍值区间''.下列函数中存在“倍值区间”的有()个.

①/(x)=/(x20)②f(x)=2,③/(x)=x+,(x>0)

X

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

①②两个函数都是单调递增函数，假设存在“倍值区间”，转化为判断f(x)=2x在定义域内是否有两个不

等实根；③/(x)=x+g(x>0)在(0/单调递减，在。，+8)单调递增，分两个区间讨论是否存在“倍值区间”.

【详解】

①/(月=*a0)是增函数，若存在区间［"向是函数的“倍值区间”，

—2a

则，即Y=2X有两个实数根，分别是为=0,X,=2，即存在“倍值区间”［0,2］,故①存在；

o—Lb

②〃x)=2,是单调递增函数，若存在区间同是函数的“倍值区间”，

2a=2a

则L，“，即2、=2x,存在两个不同的实数根，分别是々=0,再=2,即存在“倍值区间”，故②存

2"=2b/

在;

③〃x)=_r+Jx>0),在(05单调递减，在(1收)单调递增,

1,

〃+—=2。

a

若在区间&国单调递减，贝『,解得“=b=l,不成立,

b,+1—=C2a

b

ciH—=2a

若在区间以单调递增，贝IJ:,即x+'=2x有两个不同的大于1的正根，

b+-=2b*

b

解得：x=±l不成立，故③不存在.

，存在“倍值区间”的函数是①②.

故选：C.

【点睛】

本题考查新定义背景的函数性质，意在考查函数性质的灵活掌握，关键是读懂题意，并能转化为方程实根

个数问题，属于中档题型.

8.(2021•全国•高二单元测试)若存在苔,&e［a,目且x产%,使归(再)七(巧/(芍)|成立,

则在区间句上，称g(x)为了(力的“倍函数”.设〃x)=lnx,g(x)=#—,若在区间［&,e］上,g(x)

4111IJL

为“X)的“倍函数”，则实数L的取值范围为()

B.F

A.卜芍

C.D.(fe)

【答案】B

【分析】

利用导数可证得g(x)在［&，e］上单调递增，设2Vxi4e,可将不等式化为

g(X)-//&)＞g(X2)-Z/伍)，可将问题转化为//(x)=g(x)-//(x)在［五,e］上存在单调递增区间，结合

导数可进一步化为乙＜含于¥在［G,e］上有解，令lnx=r,可得尸⑺二等淌^:巾，贝q

乙＜尸0)皿，利用导数求得最大值，从而得到结果•

【详解】

••18，(”=(；：二；20在［&，e］恒成立,g(x)在［Ge］上单调递增,

由对数函数单调性知：f(x)在［五,司上单调递增；

不妨设&4X?＜玉＜e,

由忖（玉）-8（9）1＞4（匕）-/（天）|得:ga）-g（w）＞L（/a）-“w））,

•••8（%）一为（％）＞8（%）-为。）.

令6（x）=g（x）-0（x）,则Mx）＞Mw），；"（x）在［&,e］上存在单调递增区间，

即/«'）=混品+＞°在上有解，

即'Vi?在［G］上有解,：.L＜［e［4,e］）,

（21nx+l）L」［（21nx+l）,叩'LJ/

令lnx=f,贝,

令飞"器/H别），则"网*,

...F'（f）［［（2I）+4］＞0,..当re［：」］时，/⑺单调递增，

（2/+1）L2」

•••尸（％「尸（1）得，•」＜］，即实数L的取值范围为18高.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键一是理解新定义并结合题中函数的性质去掉绝对值符号；二是合理对问题进

行转化，并构造函数，将问题最终转化为存在性问题，利用分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值

之间的关系，从而利用导数来求解.

二、多选题

9.（2022•全国•高三专题练习）（多选题）已知函数/（X）的定义域为。，若存在区间［〃］，川口。使得f（x）：

（1）〃x）在［见〃］上是单调函数;

（2）/⑶在［见网上的值域是直见2〃］,

则称区间［加，〃］为函数/（x）的“倍值区间”.

下列函数中存在“倍值区间”的有（）

113x

A./（x）=x2;B./（x）=-；C.f（x）=x+-；D./（x）=.

xxx+\

【答案】ABD

【分析】

if(tn)=2m\f(m}=2n

函数中存在“倍值区间”，则/(x)在r上"内是单调函数，廿艮=2"或=对四个函数的单调性

分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”.

【详解】

[fOn)=2m"(⑼=2n

函数中存在“倍值区间”，则(1)人幻在内是单调函数，(2)7、°或:/、0,

[/(〃)=2〃[f(n)=2m

,ff(m)=2mni2=2m[ni=O.

对于A,fM=x2,若存在“倍值区间”[北川，贝ij[：n2n,.-./U)=x2,存在

[/(〃)=2〃[犷=2〃[n=2

“倍值区间”[0,2]；

I_

­=2〃

对于B,/(x)=l(xe/?),若存在“倍值区间”[，",〃],当x>0时，：=,〃〃=:，故只需〃?〃=:即

x1=2^22

n

可，故存在；

对于C,/(%)=%+-;当x>0时，在区间上单调递减，在区间口,共。)上单调递增，

X

若存在“倍值区间”[团,川口[0,1]=>加+，=2九，/?+—=2m=>nr—Itnn+1=0,

mn

n2—2mn+1=0=相2=n2不符题意；

若存在“倍值区间”[八〃]=[1,+8)=>加+工=2租，〃+1=2〃n加=片=1不符题意，故此函数不存在“倍

mn

值区间”；

对于D,,所以〃x)在区间[0」上单调递增，在区间[1,+8)上单调递减，若存在“倍

XH--

X

值区间”回，“1n°，11,-^~=2m,-^-=2n,.-.m=0,n=—,

m+]n+12

即存在“倍值区间”10,4|；

故选：ABD.

【点睛】

关键点睛：本题考查新定义：“倍值区间”，关键在于紧扣定义，运用函数的单调性和值域，使问题得以

解决.

10.(2019•山东泰安•高三月考)对于函数y=/'(x),若存在区间5,。],当时，/⑴的值域为

[如,的]/>0),则称y=/(x)为4倍值函数.下列函数为2倍值函数的是()

A./(x)=x2B.f(x)=x3+2x2+2x

C./(x)=x+lnxD.=4

e

【答案】ABD

【分析】

由题中条件可转化为f(x)=2x至少有两个不相等的实数根，进行一一判断即可得答案.

【详解】

由题意可得,若函数y=/(x)为2倍值函数，需要.〃x)=2x在定义域内至少有两个不相等的实数根，

A/(x)=f=2x,xeR解得x=0或x=2满足题意；

8/5)=/+2》2+2》=2》解得了=—2或》=0满足题意；

C/(x)=x+lnx=2x无解,不满足题意；

YJ

D/U)=三=2x解得x=0或x=In三满足题意.

e2

故选:ABD.

【点睛】

本题考查了新定义函数的应用，理解新定义函数并正确的转化是解题的关键,属于一般难度的题.

11.(2021•江西・赣州市赣县第三中学高一期中)一般地，若函数/(x)的定义域为［"，句，值域为［履,妨］,

则称为的“左倍跟随区间”；若函数的定义域为［。，•，值域也为［。，司，则称［。，以为/("的"跟随区间”.下

列结论正确的是()

A.若［1,可为〃x)=d-2x+2的“跟随区间”，则6=2

B.函数〃x)=l+：存在“跟随区间”

C.若函数〃月=机—5/7TT存在“跟随区间”，则，-%。

D.二次函数/(x)=-存在“3倍跟随区间”

【答案】ABD

【分析】

’11

a=1+一

对A,由跟随区间的定义可得从-2A+2=b,求解即可；对B,根据定义得出:可求解；对C

b=H-

b=m-yja+\

根据定义得出,解得，7+l+〃+l=1,令f化简可判断r-f-〃?=0在区间［o,l］上

a=m—yjb+\

有两根不相等的实数根；对D,根据定义设定义域为以，值域为［3a,3可，可得讨论当时即可.

【详解】

对A,若［1力］为/(x)=f-2x+2的跟随区间，因为/(x)=f-2x+2在区间［1/］为增函数，故其值域为

[l,Z>2-2/7+2],根据题意有从_26+2=b,解得b=l或b=2,因为。>1故6=2.故A正确;

对B,因为函数人力=1+：在区间(TO,。)与(O,+8)上均为减函数，故若/(犬)=1+一存在跟随区间国则

,11-5/5

a=1+—a=---------

h2

有,；，解得：厂.故存在，B正确.

,1+V5

h=\+-b=---------

a2

对c,若函数/(x)=,〃-47T存在跟随区间［。,司，因为f(x)=，w-GR为减函数，故由跟随区间的定义

b-m-Ja+1

=a—b=Ja+l-Jb+1

可知a<b9

a-m-Jb+1

即(“-［)(&+1+J〃+1)=(a+1)-e+l)=a-b,因为a<6,所以Ja+l+〃+l=1.

易得044+1<”+l41.所以a=/«-「，+1=/n-(l-Ja+1),

令「=，^万代入化简可得/―r-m=O,同理「=屈1也满足产-「一机=0,即/一「一机=0在区间［0』上有

两根不相等的实数根.

fl+4〃?>0(1

故、c,解得力e-70,故c不正确.

［-in>0v4_

对D,若f(x)=-；f+x存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为［。,句，值域为加,3句.当时,

易得在区间上单调递增，此时易得a)为方程-；/+x=3x的两根，求解得x=0或

x=-4.故存在定义域［Y,0］,使得值域为［T2,0］.故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

12.(2012届浙江省瑞安中学高三上学期期末试题理科数学)对于函数y=〃x),存在区间以，当

句时，ye［ka,kb］^k>0),则称y=为无倍值函数.已知f(x)=/是无倍值函数，则实数左

的取值范围是

【答案】k>e+l

【详解】

因为对于函数1y=/(x)，存在区间［可，当xe,,0时，ye［3，姑］(%>0),则称y=/(x)为k倍值函数.已

知/(力=/+》是七倍值函数，则实数上的取值范围是左>。+1.

13.(2013届浙江省十校联合体高三上学期期初第一次联考理科数学试题(带解析))函数/(x)的定义域

为。，若存在闭区间［m,n］CD,使得函数/")满足：①/6)在［m,n］上是单调函数；②在［m,n］上的

值域为［2m,2n］,则称区间［m,可为y=/(x)的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有

.(填上所有正确的序号)

①〃©=<(言0);

②/(x)=e*(xeR);

③孚;(xNO)；

x2+1

④f(X)=>ogaS-|xa>o,a#D.

o

【答案】①③④.

【详解】

试题分析：函数中存在“倍值区间”，贝IJ:⑴尔)在同用内是单调函数；⑵说，或{常二之

/\与/\1f(%?)=2mm2=2mm=0

①/(力=幺(m0),若存在“倍值区间”r［，”,〃］,则{；(/=2〃，,{/=？"，.,・{〃=2,...

/(x)=x2(x>0),故存在“倍值区间”［0,2］；②/(x)="(xeR),若存在“倍值区间”［m,n\,则

f(m}=2tne,n=2m,、,、,、

{1构建函数力="—力="一二.函数在(上单调减'在

='''£/=2/?)8(2%'；.8'(2,7\1112)

(In2,4w)上单调增，.•.函数在x=In2处取得极小值，且为最小值，：g(ln2)=2-21n2>0,/—2x=0

无解，故函数不存在“倍值区间”；

4(l+x)(l-x)

(3)/(x)=-^-(x>0),尸任)=，若存在“倍值区间”[叫T曰0』,

X+1(叫

f(m)=2mfm=O

则{，故存在“倍值区间”[0,1]；@/(x)=log,3>o

/(〃)=2〃[w=l

、rIf(m}=2m

且。工1),不妨设4>1,则函数在定义域内为单调增函数，若存在“倍值区间”[n〃],贝=，

10ga卜一升2m(n1

,则方程loggia，—gj=2m,即.z.-V+jnO,由于该方程有两个不等的正

10g。k一0=方

根，故存在“倍值区间”加,〃];综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④，故答案为①③④.

考点：函数的值域；命题的真假判断与应用.

14.(2014届浙江省湖州中学高三上学期期中考试文科数学试卷(带解析))对于函数y=/(x),若存在区

间口向，当xw[a,h]时的值域为眼,kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若/(x)=1nx+x是女倍值函数，

则实数%的取值范围是.

【答案】(1,1+-)

e

【详解】

试题分析：由题意得lnx+x=右有两个不同的解，忆=叱+1,则1=上芈=0nx=e,因此当0<x<e时，

XX

/re(-oo,l+-),当x>e时，/：€(1,1+-),从而要使lnx+x=Ax有两个不同的解，需％e(l,l+,)

eee

考点：函数与方程

【思路点睛】

(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能

够表达的函数的性质.

(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.

15.(【百强校】2016届宁夏六盘山高级中学高三五模考试数学(文)试卷(带解析))函数/(x)的定义域

为D,若存在闭区间也加餐。，使得函数/(X)满足：①/*)在3,句内是单调函数；②/5)在句上的值域

为[2a,2勿，则称区间以回为y=/(x)的“倍值区间”，下列函数中存在“倍值区间”的函数有

（填序号）.

①/（X）；

②〃x）=e、（xeR）;

4Y

③f(x)==~~；(xNO);

X'+1

④/(X)=log/，~1)(67>0,0^1)

o

【答案】①③④

【解析】

试题分析：F（x）=x2（xN0）是增函数，则由/（x）=2x,即f=2x得占=0,々=2,因此。=0力=2,①符合;

f（）=4x=4

f（x）=e'是增函数，/（x）=2x,/=2x,此方程无解，②不合；/W-77T-7J,因此它在［0,11上递

XT-

增，在U，E）上递减，又/（0）=0，/（D=2,因此可取。=0力=1,③符合；由复合函数的单调性知

ax\na

/（x）=log〃（优-：）在其定义域内是增函数，记g（x）=log“（，-J）-2x,gM=--------------2

OOO(优-g)ln〃

1111

,因此当三＜优＜了时，函数递减，当优时，函数递增.炉=了时，g（x）取极值为

T18444

8

log“（!-4）-21og「=log〃2,当〃〉1时，g。）在（log，/og」）上递增，在（log",”）上递减，1吗2是

4o4o44

极大值，且为正，同样当0＜"1时，g（x）在（log」,log」）上递增，在（F,log“3上递减，log“2是极小

4o4

值，且为负正，因此g（x）恒有两个零点加,〃（加＜"）,取"=〃?/=〃，④符合题意.故①③④符合题意.

考点：新定义，命题真假判断.

【名师点睛】本题考查新定义问题，对新概念“倍值区间”的理解与转化是解题的关键.对新概念的两个

条件中单调性比较容易处理，因此在考虑问题时先研究单调性，然后在单调区间内再考虑区间团,力，“倍

值区间”实质就是方程/（x）=2x在单调区间内有两个不等的实根，特别是④，还要通过研究函数

g（x）=log“（优-：）-2x的单调性来确定其零点的存在性，这是零点不能直接求出时需采用的方法：证明存

O

在性.

16.（【百强校】2017届湖南石门县一中高三9月月考数学（文）试卷（带解析））对于函数y=/（力，

若存在区间［&句，当切时的值域为［匕功］（左＞0）,则称y=/（力为左倍值函数.若

f8=lnx+x

是it倍值函数，则实数上的取值范围是.

【答案】(U+-)

e

【详解】

试题分析：依题意可知，无倍值函数即函数图象与>=依图象有两个交点，即lnx+x=日有两个解，分离参

数得4=1+(,令8⑴句+理，令短(》)=—£=0,可得极大值点x=e,故g(x)的极大值为

g(e)=l+,，当x趋向于无穷大时，g(x)趋向于1,故实数大的取值范围是(U+3.

ee

考点：函数导数与不等式.

【思路点晴】本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了划归与转化的数学思想，属于中档题.解

决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等

式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用.(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化

为函数的单调性问题处理.

17.(【全国市级联考】四川省遂宁市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题)函数/(x)的定义域

为。若存在闭区间cD，使得函数/(x)同时满足：

(1)“X)在[凡句内是单调函数；

(2)/(x)在[4国上的值域为[总倒伏>0),则称区间[a,以为〃x)的“左倍值区间”.

下列函数中存在“3倍值区间''的有.

①f(x)=f(xNO);②f(x)=5"(xwR)；③f(x)=j1^(xNO)；④f(x)=，nx.

【答案】①③

【详解】

对于①，若函数/*)=工2*20)存在"3倍值区间”[a,0，则有[[?=：，=：：，解得所以函数

[f(b)=b=3b[b=3

函数=存在"3倍值区间”[o,3].

I：：：；：，结合图象可得方程

对于②，若函数"x)=5*(xwR)存在“3倍值区间”司，则有

j(b)=□=3b

5*=3x无解.所以函数函数/(x)=5'(xeR)不存在“3倍值区间”.

6

对于③，当x=0时，/(x)=0.当x>0时,/(》)=从而可得函数/(X)在区间［0,1］上单调递增.若

x+—

X

函数小)=丹存在“3倍值区间”句，且［则引05，则有,解得：.所以

"Xf(b)=-^y=3b也一1

1+4

函数了(力=6停Y存在“3倍值区间”［05.

对于④，函数/(x)=M为增函数,若函数f(x)=M存在“3倍值区间”［。,目，则

f(a)=\na=3a

由图象可得方程Inx=3x无解，故函数/(同=/群不存在“3倍值区间”.

f(b)=lnb=3b

综上可得①③正确.

答案：①③

点睛：本题属于新概念问题，解题时要从给出的“3倍值区间”的定义出发，先判断函数的单调性，然后再

构造一个方程组，经过对方程组有解或无解的判断得到相应的结论.实际上，本题考查函数的单调性的判

断和方程(组)的解法.

18.(【全国市级联考】山东省德州市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题)对于函数y=/(x),

若存在区间3句,当xe［a向时,f(x)的值域为陷，物(％>0),则称y=/(x)为k倍值函数.下列函数为2

倍值函数的是(填上所有正确的序号).

①/(X)=x2②/(x)=丁+2x2+2x

③/(x)=x+lnx@/U)=4

e

【答案】①②④

【解析】

分析：y=/(x)为2倍值函数等价于，丫=〃力的图象与丫=2工有两个交点，且在句上递增，由此逐一

判断所给函数是否符合题意即可.

详解：y=/(x)为2倍值函数等价于，了=〃”的图象与丫=2》有两个交点,

且在目上递增：

对于①，丫=2X与>=一,有两个交点(0,0乂2,2),

在［0,2］上/(X)递增，值域为［0,4］,①符合题意.

对于②，y=2x^y=x3+2x2+2x,有两个交点(0,0),(—2,T),

在卜2,0]上/(x)递增，值域为[T0],②符合题意.

对于③，y=2x与y=x+lnx,没有交点，不存在，

x^[a,b],值域为囚,2句，③不合题意.

对于④，y=?与y=2x两个交点(0,0)(—ln2,—21n2),

在[-In2,0]上递增，值域为[-21n2,0],④合题意，故答案为①②④.

点睛：本题考查函数的单调性以及函数的图象与性质、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型

的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考

生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题

的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，”照章

办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

19.(上海市松江二中2018-2019学年高一上学期期末数学试题)函数/(x)的定义域为。，若存在闭区

间[。，句u。，使得函数“到满足:①〃x)在[“例内是单调函数；②在[6国上的值域为[2。,23，则称

区间,力]为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有

①/(X)=/(a0)②/(x)=e'(xeR)③/(同=言(让0)

【答案】①③

【分析】

根据''倍值区间”的定义，分别对三个函数研究，从而可确定存在''倍值区间”的函数.

【详解】

对于①，假设函数/(x)=x2U>0)存在''倍值区间”匕,勿，因为函数/(x)=x2(x>0)为单调递增函数,

[/(«)=2«(a2=2a,[a-0

所以匕八力，所以厂，解得7,，