平面的基本性质与推论课件人教必修

1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章立体几何初步考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测考点四[读教材·填要点]1．点和直线的基本性质(1)连接两点的线中，线段

．(2)过两点有一条直线，并且

一条直线．最短只有2．平面的基本性质与推论平面内容作用图形基本性质1如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(即直线在

或

经过直线)判断直线是否在平面内的依据两点平面内平面平面内容作用图形基本性质2经过不在同一条直线上的

，有且只有一个平面(即

确定一个平面)确定平面及两个平面重合的依据三点不共线的三点平面内容作用图形基本性质3如果不重合的两个平面有

公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点的公共直线判断两平面相交，线共点，点共线的依据一个平面内容作用图形推论1经过

和

，有且只有一个平面确定平面的依据推论2经过两条

直线，有且只有一个平面一条直线直线外的一点相交平面内容作用图形推论3经过两条

直线，有且只有一个平面确定平面的依据平行3．共面与异面直线(1)如果空间几个点或几条直线都在同一平面内，那么就说

它们

．(2)如果两条直线共面，那么它们

．(3)不相交又不平行的直线叫做

．(4)判断两条直线为异面直线的方法：与平面相交于一点的

直线和平面内不经过

的直线是异面直线．共面平行或相交异面直线交点4．点、线、面之间的关系的符号表示点A在直线a上(或直线a经过点A)A∈a元素与集合间的关系点A在直线a外(或直线a不经过点A)A∉a点A在平面α内(或平面α经过点A)A∈α点A在平面α外(或平面α不经过点A)A∉α直线a在平面α内(或平面α经过直线a)a⊂α两个集合间的关系直线a与平面α无公共点a∩α＝∅直线a与平面α相交于点Aa∩α＝A直线a与直线b相交于点Aa∩b＝A两个集合间的关系平面α与平面β相交于直线aα∩β＝a[小问题·大思维]1．三点确定一个平面吗？提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面．当

三点不在同一条直线上时，确定一个平面．2．空间四个点可以确定几个平面？提示：若空间四个点共线，过这四个点有无数个平面；

若空间四个点仅有三点共线可以确定一个平面；若空间

四个点没有任何三点共线，可以确定四个平面，如四面

体模型．所以空间四个点可以确定一个平面或四个平面

或无数个平面．3．三条直线两两相交，可以确定几个平面？

提示：三条直线两两相交，若有一个交点，则可以确

定一个平面或三个平面；若有三个交点，则可以确定

一个平面．4．没有公共点的两条直线是异面直线吗？

提示：两条异面直线既不平行，也不相交．没有公共

点的两条直线可能是平行直线或异面直线．5．分别在两个平面内的直线是异面直线吗？在图(1)中a∥b；图(2)中a与b相交；图(3)中a∥b.

提示：不一定．如下图中的a与b，[研一题]

[例1]

根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.[自主解答]

(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，图形分别如图所示．[悟一法]点与直线及平面的位置关系只能用“∈”或“∉”；直线与平面的位置关系用“⊂”或“⊄”表示．由符号语言画相应图形时，要注意实虚线的标识．[通一类]1．根据下列条件，画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CD⊂α，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F∉AB.解：根据条件，画出图形如图．[研一题]

[例2]已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P、Q、R(如图)，求证：P、Q、R三点共线．[自主解答]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本性质3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR，∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR，又∵Q∈直线BC，∴Q∈面APR，又Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线．[悟一法]

证明点共线问题的常用方法：方法一是首先找出两个平面，然后证明这几个点都是这两个平面的公共点，根据基本性质3，这些点都在交线上．方法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点也在其上．[通一类]2．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分

别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β.又∵AB∩α＝E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线.[研一题]

[例3]

如图，三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．[自主解答]∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点．[悟一法]

1．证明三线共点常用的方法是(1)先说明两条直线共面且交于一点，然后说明这个点在两个平面内．于是该点在这两个平面的交线上，从而得到三线共点．

(2)也可以说明a、b相交于一点A，b与c相交于一点B，再说明A、B是同一点，从而得到a、b、c三线共点．2．证明线共点主要利用基本性质1，基本性质3作为推理的依据．[通一类]3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1

的中点．求证：CE、D1F、DA三线共点．∴P∈面AA1D1D，P∈面ABCD.即P是面AA1D1D和面ABCD的公共点．又面AA1D1D∩面ABCD＝DA，∴P∈DA，∴D1F、CE、DA三线共点.[研一题][例4]下列关于异面直线的叙述：①不在同一平面内的两条直线是异面直线；②不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线；③既不平行也不相交的两条直线是异面直线；④分别在两个平面内的两条直线是异面直线．其中，正确叙述的所有序号为________．[自主解答]不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线．“不在同一平面内”不能等同于“不同在任何一个平面内”，故①不正确，②正确．空间两条直线有三种情形：平行、相交、异面，故③正确．分别在两个平面内的两条直线可能是平行直线或相交直线，故④不正确．

[答案]②③

[悟一法]

“异面直线”是指不同在任何一个平面内的两条直线，它们既不相交，也不平行．但不能错误地认为分别在两个平面内的直线就是异面直线．[通一类]4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱所在的直线中，与直线AB是异面直线的条数是 (

)A．2

B．3C．4 D．5解析：如图，正方体的前面与底面所在平面的交线为AB，故与直线AB是异面直线的棱所在的直线只能在其余的五条中，由于AB∥C1D1，所以与直线AB是异面直线的棱所在的直线为CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．答案：C已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：过a、b、l有且只有一个平面．[证明]法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.a∩l＝A，直线a，l确定一个平面β，又∵B∈α，B∈β，a⊂α，a⊂β，∴平面α与β重合．故直线a，b，l共面．法三：(反证法)设直线a和l确定的平面为α，假设直线b不在平面α内，过点B在平面α内作直线b′∥a，