2023届安徽省芜湖高考数学倒计时模拟卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（）A． B． C． D．2．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．3．若复数满足，则（）A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且，则()A．9 B．5 C．2或9 D．1或55．已知，则的取值范围是（）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]6．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A． B． C． D．7．将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是()A． B． C． D．8．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月）变化图表，则以下说法错误的是（）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势9．已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点，若OM∥平面，则在内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（）．A．1 B．1 C．3 D．410．已知，是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于，两点，若，则△的内切圆的半径为（）A． B． C． D．11．已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（）A． B．C． D．12．已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则()A．，b为任意非零实数 B．，a为任意非零实数C．a、b均为任意实数 D．不存在满足条件的实数a，b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知集合，则____________.14．函数f（x）＝x2﹣xlnx的图象在x＝1处的切线方程为_____.15．在四面体中，分别是的中点．则下述结论：①四面体的体积为；②异面直线所成角的正弦值为；③四面体外接球的表面积为；④若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为．其中正确的有_____．（填写所有正确结论的编号）16．某种产品的质量指标值服从正态分布，且．某用户购买了件这种产品，则这件产品中质量指标值位于区间之外的产品件数为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列中，，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”.（1）若数列为“数列”，求数列的前项和；（2）若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对任意，成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.18．（12分）已知椭圆，点为半圆上一动点，若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点.（1）求证：；（2）当时，求的取值范围.19．（12分）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若，求直线l的斜率k.20．（12分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.（1）求的直角坐标方程与点的直角坐标；（2）求证：.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22．（10分）已知函数，(其中，).（1）求函数的最小值.（2）若，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).2．C【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.【详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.3．B【解析】

由题意得,,求解即可.【详解】因为,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.4．B【解析】

根据渐近线方程求得，再利用双曲线定义即可求得.【详解】由于，所以，又且，故选：B.【点睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.5．D【解析】

设，可得，构造（）22，结合，可得，根据向量减法的模长不等式可得解.【详解】设，则，，∴（）2•2||22＝4，所以可得：，配方可得，所以，又则[0，2]．故选：D．【点睛】本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6．C【解析】

根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种.综上所述，共有种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．7．B【解析】设折成的四棱锥的底面边长为，高为，则，故由题设可得，所以四棱锥的体积，应选答案B．8．D【解析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果.【详解】A正确，从图表二可知，3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大B正确，从图表二可知，4月份只有北京市居民消费价格指数低于102C正确，从图表一中可知，只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大D错误，从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势故选：D【点睛】本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.9．C【解析】

由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确;反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.【详解】画出图形：若为的外心，则，平面,可得,即，①正确;若为等边三角形，，又可得平面，即,由可得，矛盾，②错误;若，设与平面所成角为可得，设到平面的距离为由可得即有，当且仅当取等号.可得的最大值为，即的范围为，③正确；取中点，的中点，连接由中位线定理可得平面平面可得在线段上，而，可得④正确；所以正确的是：①③④故选：C【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.10．B【解析】

设左焦点的坐标，由AB的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点，由题意可得，由，可得，所以双曲线的方程为:所以，所以三角形ABF2的周长为设内切圆的半径为r，所以三角形的面积，所以，解得，故选：B【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.11．B【解析】

由双曲线的对称性可得即，又，从而可得的渐近线方程.【详解】设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的渐近线方程为.故选B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题.12．A【解析】

求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得，为任意非零实数.【详解】依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数.故选：A【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

根据并集的定义计算即可.【详解】由集合的并集，知.故答案为：【点睛】本题考查集合的并集运算，属于容易题.14．x﹣y＝0.【解析】

先将x＝1代入函数式求出切点纵坐标，然后对函数求导数，进一步求出切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程.【详解】由题意得.故切线方程为y﹣1＝x﹣1，即x﹣y＝0.故答案为：x﹣y＝0.【点睛】本题考查利用导数求切线方程的基本方法，利用切点满足的条件列方程（组）是关键.同时也考查了学生的运算能力，属于基础题.15．①③④．【解析】

补图成长方体，在长方体中利用割补法求四面体的体积，和外接球的表面积，以及异面直线的夹角，作出截面即可计算截面面积的最值.【详解】根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为，，解得补成长，宽，高分别为的长方体，在长方体中：①四面体的体积为，故正确②异面直线所成角的正弦值等价于边长为的矩形的对角线夹角正弦值，可得正弦值为，故错；③四面体外接球就是长方体的外接球，半径，其表面积为，故正确；④由于，故截面为平行四边形，可得，设异面直线与所成的角为，则，算得，．故正确．故答案为：①③④．【点睛】此题考查根据几何体求体积，外接球的表面积，异面直线夹角和截面面积最值，关键在于熟练掌握点线面位置关系的处理方法，补图法作为解决体积和外接球问题的常用方法，平常需要积累常见几何体的补图方法.16．【解析】

直接计算，可得结果.【详解】由题可知：则质量指标值位于区间之外的产品件数：故答案为：【点睛】本题考查正太分布中原则，审清题意，简单计算，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）存在，【解析】

由数列为“数列”可得,，，两式相减得，又，利用等比数列通项公式即可求出,进而求出;由题意得，，，两式相减得，，据此可得,当时,,进而可得,即数列为常数列,进而可得,结合，得到关于的不等式,再由时，且为整数即可求出符合题意的的所有值.【详解】因为数列为“数列”，所以，故，两式相减得，在中令，则可得，故所以，所以数列是以为首项,以为公比的等比数列，所以，因为，所以.（2）由题意得，故，两式相减得所以，当时，又因为所以当时,所以成立,所以当时，数列是常数列，所以因为当时,成立,所以，所以在中令，因为，所以可得，所以，由时，且为整数，可得,把分别代入不等式可得,，所以存在数列符合题意,的所有值为.【点睛】本题考查数列的新定义、等比数列的通项公式和数列递推公式的运用;考查运算求解能力、逻辑推理能力和对新定义的理解能力;通过反复利用递推公式,得到数列为常数列是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.18．（1）见解析；（2）.【解析】

（1）分两种情况讨论：①两切线、中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线、的斜率都存在，可设切线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出关于的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为，进而可得出结论；（2）求出点、的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出，换元，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】（1）由于点在半圆上，则.①当两切线、中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为，或，，此时；②当两切线、的斜率都存在时，设切线的方程为（、的斜率分别为、），，，，.综上所述，；（2）根据题意得、，，令，则，所以，当时，，当时，.因此，的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.19．（1）（2）直线l的斜率为或【解析】

(1)根据已知列出方程组即可解得椭圆方程;(2)设直线方程,与椭圆方程联立,转化为,借助向量的数量积的坐标表示,及韦达定理即可求得结果.【详解】（1）由题意得解得故椭圆C的方程为.（2）直线l的方程为，设，，则由方程组消去y得，，所以，，由，得，所以，又所以，即所以，因此，直线l的斜率为或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查学生的计算求解能力,难度一般.20．（1），；（2）见解析.【解析】

（1）将曲线的极坐标方程变形为，再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的方程与曲线的方程联立，求出点、的坐标，即可得出线段的中点的坐标；（2）求得，写出直线的参数方程，将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理求得的值，进而可得出结论.【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，即，将代入曲线的方程得，所以，曲线的直角坐标方程为.将直线的极坐标