初中数学教材例题与习题“二次开发”的策略研究

初中数学教材例题与习题“二次开发”的策略研究一、问题的提出现实教学过程中，教师对教材例题与习题的处理都是简单的、表面的，对教材例题与习题“二次开发”的意识不强，在备课中不能对例题、习题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状。而教材例题与习题的“二次开发”能促使学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界。正如数学教育家波利亚指出的：“一个有责任心的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力。”二、核心概念界定教材例题与习题的“二次开发”：主要是指教师和学生在课程实施过程中依据课程标准对教材中的例题与习题的背景、条件和结论、解法以及题目中的基本图形进行再度发展和创新，从而使之更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求。它以既有教材为依托，基于教材，又超越教材，可以从三个向度上展开：一是对既有教材例题与习题灵活地、创造性地、个性化地运用;二是对其它教学素材资源的选择、整合和优化;三是自主开发其它新的教学资源。三、理论依据1.再创造理论荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为：数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。他强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做数学是学生理解数学的重要条件。弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现，是通过教师精心设计、创设问题情景，通过学生自己动手实验研究、合作商讨，来探索问题的结果并进行组织的学习方式。2.波利亚解题思想美国著名数学教育家G·波利亚认为：学习任何东西的最好的途径是自己去发现。为了有效地学习，学生应当在给定的条件下，尽量多地自己发现要学习的材料。波利亚强调，要成为一个好的解题者，如果“头脑不活动起来，是很难学到什么东西的，也肯定学不到更多的东西”，“学东西的最好途径是亲自去发现它”，最富有成效的学习是学生自己去探索、去“发现”。只有学习者自己的思维活动起来了，他在学习中才会寻求到欢乐。有了成功的体验，他对数学知识本身才可能产生内在的兴趣。四、开发策略笔者认为，教材例题与习题的“二次开发”可以重点对例题与习题的题目背景、题目条件与结论、题目的解法、题目中的基本图形进行“二次开发”。教师结合案例分析，帮助学生围绕新课程标准进行探究，以期促进学生学会从多层次、广视角、全方位的认识并研究问题，从而提高课堂教学的有效性。（一）情境创设生活化《初中数学新课程标准》指出：教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到生活、生产实践的现实生活中，以帮助学生体会数学在现实生活中的应用价值。教师应根据学生的认知规律，从他们的生活实际出发，对题目背景进行“二次开发”，在数学与生活中架起桥梁，使学生在解题时感到有趣，有更多的机会接触生活与生产实践中的数学问题，应用数学知识去分析、解决生活中遇到的困难，达到数学教育的目的。【案例】如图，D、E分别是中AB、AC上的点，∽。已知：AD:DB1:2,BC9cm,求DE。（浙教版《数学》九（上）P104页例题2）对题目背景的“二次开发”：如图，小亮欲测量一电线杆AB的高度，他站在该电线杆的影子上前后移动，直到他身体影子的顶端正好与电线杆影子的顶端重叠，此时同伴测出小亮与电线杆距离BE12m，小亮的影子长CE4m。已知小亮的身高DE1.7m，（1）图中△CDE和△CAB是否相似？请说明理由;（2）求电线杆AB的高度。（浙教版九年级上册4．4-2作业本29页第3题）1.改变遮挡物（1）遮挡物为竖直的平面小亮和他的同学利用影长测量旗杆高度如图，1m长的直立竹竿的影长为1.5m。测量旗杆落在地上的影子为21m，落在墙上的影长为2m（2）遮挡物为斜坡小亮在下午实践活动课时,测量西教学楼的旗杆高度．如图,当太阳从西照射过来时,旗杆AB的顶端A的影子落在教学楼前的斜坡E处,测得在地面上的影长BD20米,DE2米,坡面与水平地面的夹角为30°。同一时刻一根长为1米的直立竹竿的影长为2．6米，根据这些数据求旗杆AB的高度（结果保留两个有效数）（3）遮挡物的面数增加小亮在下午实践活动课后,测量西教学楼的旗杆高度。如图,当太阳从西照射过来时,旗杆AB的顶端A的影子落在教学楼前的平地C处,测得在平地上EC2米,地面上的影长BD20米,DE4米,坡面与水平地面的夹角为30°。同一时刻一根长为1米的直立竹竿的影长为3．2米，根据这些数据求旗杆AB的高度（结果保留两个有效数）（4）无遮挡物小亮在下午实践活动课,测量东教学楼前水杉树的高度。如图,当太阳从西照射过来时,小树AB的顶端A的影子落在司令台的斜坡处,测得在地面上的影长BD2米,坡面上影长DE4米;同一时刻一根长为1米的直立竹竿的在平地上影长为2．6米，在坡面上影长3米为根据这些数据求树的高度。（精确到0．1米）2．移动参照物（1）参照物的移动（A）晚上，小亮晚自修结束回寝室途中，走到C处时，发现在点B上方的路灯A照得自己的影子CD的长为2米；继续往前走4米到达E处时，这时自己的影子EF长为4米,已知小亮的身高为1.（2）参照物的移动（B）小亮探究影子长度的变化规律，当他走到离路灯2米处时，其影子的顶点标记为H1，此时影长为米；当他继续走到H1时，其影子的顶点标记为H2，此时影长为米；当他继续走到H2时，其影子的顶点标记为H3，此时影长为米；按这样的规律继续走当他走到Hn,其影子的顶点标记为Hn+1,此时影长为米。（二）解题思路多元化在长期的教学实践中使我们体会到：“练不在多，而在于精”。恰当且适量地采用“一题多解”的教学，进行多角度的解题思路分析，探讨解题规律和解题方法与技巧，对学生巩固基础知识形成知识网络，提高解题技能，发展逻辑思维，提高分析问题解决问题的能力十分有益。【案例】试题来源（浙教版九年级上册练习题）已知在圆O中，A为优弧BC的中点，且ABBC,E为弧BC上的一点，求AEBE+CE。（1）利用截长的方法解题解析：在AE上取点F，使得AFBE,证明≌(SAS)，得到CFCE，说明是等边三角形，得到EFEC，即可得，AEBE+CE（2）利用补短的方法解题解析：延长EB至点F,使BFEC,证明≌(SAS)，得到，AEAF，然后说明是等边三角形，得到AEEFBE+BF，即AEBE+CE（3）利用旋转的方法解题解析：将顺时针旋转，则≌，得到是等边三角形，，可得到，即点F、B、E三点共线，则AEEB+BF即：AEEB+EC（4）利用平行的方法解题解析：过点C作AE的平行线CF交圆于点F，连接AF。说明四边形CEGF是平行四边形，得到和是等边三角形，BEEGBG,AFGFAG,AFEC得到AEEB+EC（5）利用托勒密定理解题解析：利用托勒密定理可得，是等边三角形∴ABACBC∴BE+ECAE图图（1）图（5）图图（4）图图（2）（3）（三）典型题目变式化数学教育家华东师范大学张奠宙教授指出：变式教学是我国具有特色的教学方法，应该发扬光大。数学教学方法在不断改进、创新，但变式教学理应得到进一步的重视。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段。所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。【案例】试题来源（浙教版九年级上册练习题）已知在圆O中，A为优弧BC的中点，且ABBC,E为弧BC上的一点，求证AEBE+CE。【分析】本题知识点（1）等边三角形和全等的相关知识；（2）利用截长补短的解题方法。变式1：已知在圆O中，A为优弧BC的中点，且ABBC,E为圆上不同于A、B、C的任意一点，求证AEBE+CE。变式2：已知如图，是等边三角形，,求证AEBE+CE变式3：已知如图，是等边三角形，，A,B,E,C四点共圆吗？变式4变式4变式3变式5变式4：已知在圆O中，A为优弧BC的中点，且ABBC,E为圆上不同于A、B、C的任意一点，请你写出AE、BE、CE之间的数量关系？变式5变式5：已知在圆O中，四边形ABCD是正方形，E是不同于A、B、C、D的任意一点，，请你写出AE、BE、CE、DE之间的数量关系？解析：连结AC,,，同理可得所以,而d等于正方形边长的倍，即为定值。变式6：由变式4、变式5你能得出一个什么结论？结论：圆内接正多边形各顶点到圆上任意一点的距离的平方和为定值．（四）基本图形离析化任何一个复杂的几何图形都是由若干个基本图形组合而成的，将一个复杂的图形中的基本图形“离析”出来，是解决问题所必备的重要方法之一，而这种“离析”在真正理解基本图形的基础上才能进行，对条件进行“弱化”处理也不失为帮助学生理解图形本质的一种有效方法。1．重视基本图形（1）基本图形的识别与性质【案例】试题来源（浙教版《数学》九（上）P118页4．4相似三角形的性质）有一块三角形余料ABC，它的边长BC120mm，高AD80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？（2）基本图形在纯数学题中应用如图，在Rt△ABC中，,AC4,BC3。（1）如图1，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长。（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长。(3)如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长。(4)如图4，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长。图1图4图3图2图1图4图3图2（3）基本图形的在生活题中应用小明在出墙报时，需要长48cm、宽4cm的彩色纸条镶边，现有如图一张三角形彩色纸零件，其中BC25cm,BC边上的高为20cm，给出一种裁纸方法：将AB、AC分为五等分，然后如图连接两边的对应的点，并以这些连接线为一边作矩形，剪出这些小矩形纸条，用来为墙报镶边，问：这种方法能满足镶边需要吗？请说明理由。2．重视对基本图形的“二次开发”【案例】已知：如图，在Rt△CAB和Rt△ECD中，ACCE,点D在边BC的延长线上，且∠ACE∠B∠D90°。求证：△CAB≌△ECD．（选自七年级下1．5全等三角形（3）作业题）（1）弱化线段条件弱化条件：删掉ACCE（线段相等）……结论由三角形全等弱化为三角形相似。如图，在Rt△CAB和Rt△ECD中，点D在边BC的延长线上，且∠ACE∠B∠D90°。求证：△CAB∽△ECD。解析：∴△CAB∽△ECD（2）弱化角度条件弱化条件：删掉“直角”条件。如图：在△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，ACCE,∠ACE∠B∠D,则△ABC≌△CDE。解析：∴△ABC≌△CDE∴△BDF≌△CED∴BFCD,BDCE（3）弱化线段和角度条件同时弱化条件：删掉“线段相等”，“直角”去掉。如图，在△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，∠ACE∠B∠D，则△ABC∽△CDE。解析：∴△ABC∽△CDE五、几点思考对数学教材例题与习题的“二次开发”，一