2023届陕西省西安市华清中学高三适应性调研考试数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若数列满足且，则使的的值为()A． B． C． D．2．在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3 C． D．44．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（）A． B． C． D．6．已知为正项等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则的值是()A．29 B．30 C．31 D．327．设且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．8．已知复数z，则复数z的虚部为（）A． B． C．i D．i9．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为A． B． C．2 D．10．在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（）A．1 B． C． D．11．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．已知复数满足，(为虚数单位)，则()A． B． C． D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若，则的取值范围是__14．已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为__________.15．的展开式中的系数为__________（用具体数据作答）.16．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形(如图所示)，其中.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道（为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线与曲线交于两点.(1)求的长；(2)在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.19．（12分）购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示.（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取人，记对购车补贴金额的心理预期值高于万元的人数为，求的分布列和数学期望；（3）统计最近个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：月份销售量（万辆）试预计该品牌汽车在年月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.20．（12分）已知椭圆，点为半圆上一动点，若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点.（1）求证：；（2）当时，求的取值范围.21．（12分）某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏．（1）若当时，，求此时的值；（2）设，且．（i）试将表示为的函数，并求出的取值范围；（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值．22．（10分）这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究，一名同学在数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期和全国累计报告确诊病例数量（单位：万人）之间的关系如下表：日期1234567全国累计报告确诊病例数量（万人）1.41.72.02.42.83.13.5（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？（2）求出关于的线性回归方程（系数精确到0.01）.并预测2月10日全国累计报告确诊病例数.参考数据：，，，.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C．2、D【解析】

通过列举法可求解，如两角分别为时【详解】当时，，但，故充分条件推不出；当时，，但，故必要条件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题3、C【解析】

首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：.故选：C.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.4、A【解析】

根据定义，表示出数列的通项并等于2020.结合的正整数性质即可确定解的个数.【详解】由题意可知首项为2，设第二项为，则第三项为，第四项为，第五项为第n项为且，则，因为，当的值可以为；即有3个这种超级斐波那契数列，故选：A.【点睛】本题考查了数列新定义的应用，注意自变量的取值范围，对题意理解要准确，属于中档题.5、C【解析】

利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式.【详解】由，得，可得（）.相减得，则（），又由，，得，所以，所以为常数列，所以，故.故选：C【点睛】本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.6、B【解析】

设正项等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．【详解】设正项等比数列的公比为q，则a4=16q3，a7=16q6，a4与a7的等差中项为，即有a4+a7=，即16q3+16q6，=，解得q=（负值舍去），则有S5===1．故选C．【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．7、A【解析】项，由得到，则，故项正确；项，当时，该不等式不成立，故项错误；项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．综上所述，故选．8、B【解析】

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【详解】，则复数z的虚部为.故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.9、B【解析】

求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率.【详解】设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.10、D【解析】

根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【详解】解：由，得，∵，∴，即即，则，∵，∴，∴，即，则，故选D．【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．11、C【解析】

根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.【详解】若，根据线面平行的性质定理，可得；若，根据线面平行的判定定理，可得.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.12、A【解析】，故，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据分段函数的性质，即可求出的取值范围.【详解】当时，，，当时，，所以，故的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.14、【解析】

根据题意，利用余弦定理求得，再运用三角形的面积公式即可求得结果.【详解】解：由于，，，∵，∴，，由余弦定理得，解得，∴的面积.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.15、【解析】

利用二项展开式的通项公式可求的系数.【详解】的展开式的通项公式为，令，故，故的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.16、【解析】

利用正弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，根据同角三角函数的基本关系表示出，最后利用面积公式得到，由基本不等式求出的取值范围，即可得到面积的最值；【详解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，当且仅当时等号成立，∴，∴面积的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.【解析】

（1）设米，总费用为，解即可得解；（2）结合（1）可得占地面积结合导函数分类讨论即可求得最值.【详解】（1）由题意知:矩形面积米，设米，则米，由题意知:，得，设总费用为，则，解得:，又，故，所以发酵池边长的范围是不小于15米，且不超过25米；（2）设发酵馆的占地面积为由（1）知:，①时，，在上递增，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；②时，，在上递减，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；③时，时，，递减；时，递增，因此，即时，发酵馆的占地面积最小；综上所述：当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.18、（1）;（2）.【解析】

（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，结合垂径定理即可求得的长；（2）将的极坐标化为直角坐标，将直线方程与圆的方程联立，求得直线与圆的两个交点坐标，由中点坐标公式求得的坐标，再根据两点间距离公式即可求得.【详解】（1）直线的参数方程为(为参数)，化为直角坐标方程为，即直线与曲线交于两点.则圆心坐标为，半径为1，则由点到直线距离公式可知，所以.（2）点的极坐标为，化为直角坐标可得，直线的方程与曲线的方程联立，化简可得，解得，所以两点坐标为，所以，由两点间距离公式可得.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程转化，极坐标与直角坐标的转化，点到直线距离公式应用，两点间距离公式的应用，直线与圆交点坐标求法，属于基础题.19、（1）1.7；（2），见解析；（2）2.【解析】

（1）平均数的估计值为每个小矩形组中值乘以小矩形面积的和；（2）易得，由二项分布列的期望公式计算；（3）利用所给公式计算出回归直线即可解决.【详解】（1）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数的估计值为，所以方差的估计值为；（2）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的频率为，则，所以的分布列为，数学期望；（3）将2018年11月至2019年3月的月份数依次编号为1，2，3，4，5，记，，，，，，由散点图可知，5组样本数据呈线性相关关系，因为，，，，则，，所以回归直线方程为，当时，，预计该品牌汽车在年月份的销售量约为2万辆.【点睛】本题考查平均数、方差的估计值、二项分布列及其期望、线性回归直线方程及其应用，是一个概率与统计的综合题，本题是一道中档题.20、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）分两种情况讨论：①两切线、中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线、的斜率都存在，可设切线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出关于的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为，进而可得出结论；（2）求出点、的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出，换元，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】（1）由于点在半圆上，则.①当两切线、中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为，或，，此时；②当两切线、的斜率都存在时，设切线的方程为（、的斜率分别为、），，，，.综上所述，；（2）根据题意得、，，令，则，所以，当时，，当时，.因此，的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中