2023年高考数学二轮复习数学思想领航四转化与化归思想专题突破讲义文

四、转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.方法一一般与特殊的转化问题模型解法一般和特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．此方法多用于选择题和填空题的解答．破解此类题的关键点：①确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象．②寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素〞；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素〞．③转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素〞或“一般元素〞的关系，将其转化为新的需要解决的问题．④得出结论，求解新问题，根据所得结论求解原问题，得出结论．典例1函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1,1]上的最小值为－3，那么实数a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．[12，＋∞)C．[－1,12]D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，12))解析当a＝0时，函数f(x)＝－3x，x∈[－1,1]，显然满足条件，故排除选项A，B；当a＝－eq\f(3,2)时，函数f(x)＝eq\f(3,2)x3－eq\f(9,2)x，f′(x)＝eq\f(9,2)x2－eq\f(9,2)＝eq\f(9,2)(x2－1)，当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝eq\f(3,2)－eq\f(9,2)＝－3，满足条件，故排除C.综上，应选D.答案D思维升华常用的“特殊元素〞有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，在题设条件都成立的情况下，用特殊值探求正确选项，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律；对于填空题，当结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以用特殊值代替变化的不定量．跟踪演练1假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,y＋2≥0，,x＋y＋2≤0，))那么eq\f(y＋1,x－1)的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,5)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪[1，＋∞)答案B解析可行域为如下图的阴影局部，设z＝eq\f(y＋1,x－1)，因为点(－2，－1)在可行域内，所以z＝eq\f(－1＋1,－2－1)＝0，排除C，D；又点A(0，－2)在可行域内，所以z＝eq\f(－2＋1,0－1)＝1，排除A.方法二数与形的转化问题模型解法数与形的转化包含由数到形和由形到数两个方面．由数到形就是把问题的数量信息转换为图形信息，由形到数就是把图形信息进行代数化处理，用数量关系刻画事物的本质特征，从而得解．破解此类题的关键点：①数形转化，确定需要等价转化的数量关系(解析式)与图形关系．②转化求解，通过降维等方式合理转化，使问题简单化并进行分析与求解．③回归结论，回归原命题，得出正确结论．典例2某工件的三视图如下图，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，那么原工件的材料利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)()A.eq\f(8,9π)B.eq\f(8,27π)C.eq\f(24\r(2)－13,π)D.eq\f(8\r(2)－13,π)解析由三视图知该几何体是一个底面半径为r＝1，母线长为l＝3的圆锥，那么圆锥的高为h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2).由题意知加工成的体积最大的正方体ABCD—A1B1C1D1的一个底面A1B1C1D1在圆锥的底面上，过平面AA1C那么有eq\f(\f(\r(2),2)x,r)＝eq\f(h－x,h)，即eq\f(x,\r(2))＝eq\f(2\r(2)－x,2\r(2))，解得x＝eq\f(2\r(2),3)，那么原工件的材料利用率为eq\f(V正方体,V圆锥)＝eq\f(x3,\f(1,3)πr2h)＝eq\f(8,9π)，应选A.答案A思维升华数与形转化问题，特别是空间转化问题，往往在解决空间几何体问题的过程中将某些空间几何体问题进行特殊化处理，转化为平面几何问题来处理，降低维度，简化求解过程，降低难度．跟踪演练2直线l：y＝kx＋1(k≠0)与椭圆3x2＋y2＝a相交于A，B两个不同的点，记直线l与y轴的交点为C.(1)假设k＝1，且|AB|＝eq\f(\r(10),2)，求实数a的值；(2)假设eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时椭圆的方程．解设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,3x2＋y2＝a，))得4x2＋2x＋1－a＝0，那么x1＋x2＝－eq\f(1,2)，x1x2＝eq\f(1－a,4)，从而|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(a－\f(3,4))＝eq\f(\r(10),2)，解得a＝2.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,3x2＋y2＝a，))得(3＋k2)x2＋2kx＋1－a＝0，那么x1＋x2＝－eq\f(2k,3＋k2)，x1x2＝eq\f(1－a,3＋k2).易知C(0,1)，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，得(－x1,1－y1)＝2(x2，y2－1)，解得x1＝－2x2，所以x1＋x2＝－x2＝－eq\f(2k,3＋k2)，那么x2＝eq\f(2k,3＋k2).△AOB的面积S△AOB＝eq\f(1,2)|OC|·|x1－x2|＝eq\f(3,2)|x2|＝eq\f(3|k|,3＋k2)＝eq\f(3,\f(3,|k|)＋|k|)≤eq\f(3,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，当且仅当k2＝3时取等号，此时x2＝eq\f(2k,3＋k2)，x1x2＝－2xeq\o\al(2,2)＝－2×eq\f(4k2,3＋k22)＝－eq\f(2,3)，又x1x2＝eq\f(1－a,3＋k2)＝eq\f(1－a,6)，那么eq\f(1－a,6)＝－eq\f(2,3)，解得a＝5.所以△AOB面积的最大值为eq\f(\r(3),2)，此时椭圆的方程为3x2＋y2＝5.

方法三形体位置关系的转化问题模型解法形体位置关系的转化法是针对几何问题采用的一种特殊转化方法．主要适用于涉及平行、垂直的证明，如常见线面平行、垂直的推理与证明实际就是充分利用线面位置关系中的判定定理、性质定理实现位置关系的转化．破解此类题的关键点：①分析特征，一般要分析形体特征，根据形体特征确立需要转化的对象．②位置转化，将不规那么几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体．由于新的几何体是转化而来，一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新的几何体的特征．③得出结论，在新的几何结构中解决目标问题．典例3如图，三棱锥P—ABC，PA＝BC＝2eq\r(34)，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2eq\r(41)，那么三棱锥P—ABC的体积为__________．解析因为三棱锥三组对边两两相等，那么可将三棱锥放在一个特定的长方体中(如下图)．把三棱锥P—ABC补成一个长方体AEBG—FPDC，易知三棱锥P—ABC的各棱分别是长方体的面对角线．不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，由有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝100，,x2＋z2＝136，,y2＋z2＝164，))解得x＝6，y＝8，z＝10，从而知三棱锥P—ABC的体积为V三棱锥P—ABC＝V长方体AEBG—FPDC－V三棱锥P—AEB－V三棱锥C—ABG－V三棱锥B—PDC－V三棱锥A—FPC＝V长方体AEBG－FPDC－4V三棱锥P—AEB＝6×8×10－4×eq\f(1,6)×6×8×10＝160.答案160思维升华形体位置关系的转化常将空间问题平面化、不规那么几何体特殊化，使问题易于解决．同时也要注意方法的选取，否那么会跳入自己设的“陷阱〞中．跟踪演练3如图，在棱长为5的正方体AB