2023年高考数学二轮复习专题6解析几何第2讲圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题课后强化训练

专题六第二讲圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题A组1．方程eq\f(x2,2－k)＋eq\f(y2,2k－1)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(C)A．(eq\f(1,2)，2) B．(1，＋∞)C．(1,2) D．(eq\f(1,2)，1)[解析]由题意可得，2k－1>2－k>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k－1>2－k，,2－k>0，))解得1<k<2，应选C．2．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4eq\r(3)，那么抛物线方程为(B)A．y2＝6x B．y2＝8xC．y2＝16x D．y2＝eq\f(15,2)x[解析]依题意，设M(x，y)，因为|OF|＝eq\f(p,2)，所以|MF|＝2p，即x＋eq\f(p,2)＝2p，解得x＝eq\f(3p,2)，y＝eq\r(3)p．又△MFO的面积为4eq\r(3)，所以eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝4eq\r(3)，解得p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x．3．假设双曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1(a>0，b>0)和椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，那么|PF1|·|PF2|＝(D)A．m2－a2 B．eq\r(m)－eq\r(a)C．eq\f(1,2)(m－a) D．(m－a)[解析]不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(m)，|PF1|－|PF2|＝2eq\r(a)，∴|PF1|＝eq\r(m)＋eq\r(a)，|PF2|＝eq\r(m)－eq\r(a)，故|PF1|·|PF2|＝m－a．4．(文)假设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，那么此双曲线的离心率为(D)A．eq\f(\r(7),3) B．eq\f(5,4)C．eq\f(4,3) D．eq\f(5,3)[解析]由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a，b的关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，应选D．(理)(2023·天津卷，6)双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，那么双曲线的方程为(D)A．eq\f(x2,4)－eq\f(3y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(4y2,3)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1[解析]根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,2)x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝eq\f(b,2)x，x2＋y2＝4得xA＝eq\f(4,\r(4＋b2))，yA＝eq\f(2b,\r(4＋b2))，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝eq\f(32b,4＋b2)＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1，应选D．5．(文)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，那么C的焦点到准线的距离为(B)A．2 B．4C．6 D．8[解析]由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，可取A(eq\f(4,p)，2eq\r(2))，D(－eq\f(p,2)，eq\r(5))，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，得p＝4.应选B．(理)(2023·浙江卷，7)椭圆C1：eq\f(x2,m2)＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：eq\f(x2,n2)－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，那么(A)A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1 D．m<n且e1e2<1[解析]由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2，那么m2－n2＝2，故m>n，又(e1e2)2＝eq\f(m2－1,m2)·eq\f(n2＋1,n2)＝eq\f(n2＋1,n2＋2)·eq\f(n2＋1,n2)＝eq\f(n4＋2n2＋1,n4＋2n2)＝1＋eq\f(1,n4＋2n2)>1，所以e1e2>1.应选A．6．(2023·全国卷Ⅱ，11)F1，F2是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，那么E的离心率为(A)A．eq\r(2) B．eq\f(3,2)C．eq\r(3) D．2[解析]设F1(－c,0)，将x＝－c代入双曲线方程，得eq\f(c2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，所以eq\f(y2,b2)＝eq\f(c2,a2)－1＝eq\f(b2,a2)，所以y＝±eq\f(b2,a).因为sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，所以tan∠MF2F1＝eq\f(|MF1|,|F1F2|)＝eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(b2,2ac)＝eq\f(c2－a2,2ac)＝eq\f(c,2a)－eq\f(a,2c)＝eq\f(e,2)－eq\f(1,2e)＝eq\f(\r(2),4)，所以e2－eq\f(\r(2),2)e－1＝0，所以e＝eq\r(2).应选A．7．(2023·甘肃一诊)如图，F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B、A.假设△ABF2为等边三角形，那么双曲线的离心率为(A)A．eq\r(7) B．4C．eq\f(2\r(3),3) D．eq\r(3)[解析]此题主要考查双曲线的离心率．依题意得|AB|＝|AF2|＝|BF2|，结合双曲线的定义可得|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，|F1F2|＝2c，根据等边三角形，可知∠F1BF2＝120°，应用余弦定理，可得4a2＋16a2＋2·2a·4a·eq\f(1,2)＝4c2，整理得eq\f(c,a)＝eq\r(7)，应选A．8．(2023·河北邯郸一模)M(x0，y0)是曲线C：eq\f(x2,2)－y＝0上的一点，F是曲线C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为点N，假设eq\o(MF,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))<0，那么x0的取值范围是(A)A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(－1,1)[解析]由题意知曲线C为抛物线，其方程为x2＝2y，所以F(0，eq\f(1,2))．根据题意，可知N(x0,0)，x0≠0，eq\o(MF,\s\up6(→))＝(－x0，eq\f(1,2)－y0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(0，－y0)，所以eq\o(MF,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝－y0(eq\f(1,2)－y0)<0，即0<y0<eq\f(1,2).因为点M在抛物线上，所以有0<eq\f(x\o\al(2,0),2)<eq\f(1,2).又x0≠0，解得－1<x0<0或0<x0<1.应选A．9．(2023·福建厦门一模)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0,2eq\r(3))，当△APF的周长最大时，△APF的面积等于(B)A．eq\f(11\r(3),4) B．eq\f(21\r(3),4)C．eq\f(11,4) D．eq\f(21,4)[解析]由椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1知a＝3，b＝eq\r(5)，c＝eq\r(a2－b2)＝2，Rt△AOF中，|OF|＝2，|OA|＝2eq\r(3)，那么|AF|＝4.设椭圆的左焦点为F1，那么△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF1|＝4＋6＋|PA|－|PF1|≤10＋|AF1|(当且仅当A，P，F1三点共线，P在线段AF1的延长线上时取“＝〞)．此时直线AF1的方程为eq\f(x,－2)＋eq\f(y,2\r(3))＝1，与椭圆的方程为5x2＋9y2－45＝0联立并整，得32y2－20eq\r(3)y－75＝0，解得yP＝－eq\f(5\r(3),8)(正值舍去)，那么△APF的周长最大时，S△APF＝eq\f(1,2)|F1F|·|yA－yP|＝eq\f(1,2)×4×|2eq\r(3)＋eq\f(5\r(3),8)|＝eq\f(21\r(3),4).应选B．10．(2023·福建漳州八校联考)椭圆C1：eq\f(x2,a\o\al(2,1))＋eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：eq\f(x2,a\o\al(2,2))－eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2又分别是两曲线的离心率，假设PF1⊥PF2，那么4eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)的最小值为(C)A．eq\f(5,2) B．4C．eq\f(9,2) D．9[解析]由题意设焦距为2c，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a2由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a1，又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2.①2＋②2，得|PF1|2＋|PF2|2＝2aeq\o\al(2,1)＋2aeq\o\al(2,2)，④将④代入③，得aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝2c2，∴4eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(4c2,a\o\al(2,1))＋eq\f(c2,a\o\al(2,2))＝eq\f(4a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2),2a\o\al(2,1))＋eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2),2a\o\al(2,2))＝eq\f(5,2)＋eq\f(2a\o\al(2,2),a\o\al(2,1))＋eq\f(a\o\al(2,1),2a\o\al(2,2))≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(2a\o\al(2,2),a\o\al(2,1))·\f(a\o\al(2,1),2a\o\al(2,2)))＝eq\f(9,2)，当且仅当eq\f(2a\o\al(2,2),a\o\al(2,1))＝eq\f(a\o\al(2,1),2a\o\al(2,2))，即aeq\o\al(2,1)＝2aeq\o\al(2,2)时，取等号．应选C．11．双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，那么eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值为__－2__.[解析]由得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，那么eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，那么f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))取最小值，最小值为－2．12．椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．假设M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，那么|AN|＋|BN|＝__12__.[解析]取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝eq\f(1,2)|AN|，|GF2|＝eq\f(1,2)|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF|1＋|GF|2)＝4a＝12．13．抛物线C：y2＝4x的顶点、焦点分别为点A，F，抛物线上的一点P到直线l：x－y＋3＝0的距离为d1，那么以F为圆心，|AF|为半径的圆上一点的距离为d2，那么d1＋d2的最小距离为__2eq\r(2)－1__.[解析]此题关键在于数形结合，作PM⊥l交l于点M，作FN⊥l交l于点N，由图形转化线段之间的关系：|PM|＋|PF|≥|FN|，d1＋d2＝|PM|＋|PF|－r≥|FN|－r．焦点即圆心F(1,0)，r＝|AF|＝1，要求d1＋d2的最小值，只需求点P到直线l的距离与到圆心的距离的和的最小值，如图，作PM⊥l交l于点M，作FN⊥l交l于点N.由图知|PM|＋|PF|≥|FN|，|FN|＝eq\f(|1－0＋3|,\r(12＋－12))＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2)，所以d1＋d2＝|PM|＋|PF|－r≥|FN|－r＝2eq\r(2)－1．14．(2023·山东莱芜一模)圆G：x2＋y2－2eq\r(2)x－2y＝0经过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点及上顶点．过椭圆外一点M(m,0)(m>a)，倾斜角为eq\f(2π,3)的直线l交椭圆于C，D两点，假设点N(3,0)在以线段CD为直径的圆E的外部，那么m的取值范围是__(eq\f(7,2)，eq\f(2\r(30),3))__.[解析]∵圆G：x2＋y2－2eq\r(2)x－2y＝0与x轴，y轴交点为(2eq\r(2)，0)和(0,2)，∴c＝2eq\r(2)，b＝2，∴a2＝b2＋c2＝12，∴椭圆方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1，设直线l的方程为y＝－eq\r(3)(x－m)(m>2eq\r(3))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－m，,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1))得10x2－18mx＋9m2－12＝0．由Δ＝324m2－40(可得－eq\f(2\r(30),3)<m<eq\f(2\r(30),3)，∴2eq\r(3)<m<eq\f(2\r(30),3)．设C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1＋x2＝eq\f(9m,5)，x1·x2＝eq\f(9m2－12,10)，eq\o(NC,\s\up6(→))·eq\o(ND,\s\up6(→))＝(x1－3，y1)·(x2－3，y2)＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝4x1x2－(3m＋3)(x1＋x2)＋9＋3化简得2m2－9m＋7>0，解得m>eq\f(7,2)．∴m的取值范围是(eq\f(7,2)，eq\f(2\r(30),3))．B组1．(2023·天津卷，5)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，那么双曲线的方程为(D)A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1[解析]根据题意画出草图如下图(不妨设点A在渐近线y＝eq\f(b,a)x上)．由△AOF的边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2．又点A在双曲线的渐近线y＝eq\f(b,a)x上，∴eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)．又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝eq\r(3)，∴双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1．应选D．2．(2023·陕西质检)直线l：x－y－m＝0经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，l与C交于A，B两点．假设|AB|＝6，那么p的值为(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,2)C．1 D．2[解析]因为直线l过抛物线的焦点，所以m＝eq\f(p,2).联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－\f(p,2)＝0，,y2＝2px))得，x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x＋x2＝3p，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝6，p＝eq\f(3,2)．应选B．3．(2023·沈阳质检)P是双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，那么eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值是(A)A．－eq\f(3,8) B．eq\f(3,16)C．－eq\f(\r(3),8) D．不能确定[解析]令点P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是eq\f(x,\r(3))－y＝0，eq\f(x,\r(3))＋y＝0，所以可取|PA|＝eq\f(|\f(x0,\r(3))－y0|,\r(\f(1,3)＋1))，|PB|＝eq\f(|\f(x0,\r(3))＋y0|,\r(\f(1,3)＋1))，又cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|eq\o(PB,\s\up6(→))|·cos∠APB＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),3)－y\o\al(2,0))),\f(4,3))·(－eq\f(1,2))＝eq\f(3,4)×(－eq\f(1,2))＝－eq\f(3,8)．应选A．4．(2023·南昌三模)抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，那么双曲线的离心率为(D)A．eq\r(2)＋2 B．eq\r(5)＋1C．eq\r(3)＋1 D．eq\r(2)＋1[解析]此题考查抛物线的性质、双曲线的离心率．由题意得点F的坐标为(eq\f(p,2)，0)．又因为AF⊥x轴，所以点A的横坐标为eq\f(p,2)，因为点A为抛物线与双曲线的交点，不妨设点A位于第一象限，那么yA＝eq\r(2pxA)＝p，即点A的坐标为(eq\f(p,2)，p)，又因为点F为双曲线与抛物线的相同的焦点，所以c＝eq\f(p,2)，那么点A的坐标为(c,2c)，代入双曲线的方程得eq\f(c2,a2)－eq\f(4c2,b2)＝1，结合c2＝a2＋b2，化简得c4－6a2c2＋a4＝0，解得双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)＋1.应选D．5．(2023·唐山高三统考)平行四边形ABCD内接于椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，直线AB的斜率k1＝1，那么直线AD的斜率k2＝(B)A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4) D．－2[解析]此题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线的斜率．设AB的中点为G，那么由椭圆的对称性知，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，那么GO∥AD.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)＋\f(y\o\al(2,1),2)＝1,\f(x\o\al(2,2),4)＋\f(y\o\al(2,2),2)＝1))，两式相减得eq\f(x1－x2x1＋x2,4)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,2)，整理得eq\f(x1＋x2,2y1＋y2)＝－eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－k1＝－1，即eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq\f(1,2)．又G(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))，所以kOG＝eq\f(\f(y1＋y2,2)－0,\f(x1＋x2,2)－0)＝－eq\f(1,2)，即k2＝－eq\f(1,2).应选B．6．(2023·唐山统考)焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线eq\f(y2,4)－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是__eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1__.[解析]设所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－x2＝－λ(λ>0)，即eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,4λ)＝1，那么有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1．7．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积为__eq\f(9,4)__.[解析]易知直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x－eq\f(3,4))，与y2＝3x联立并消去x，得4y2－12eq\r(3)y－9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1＋y2＝3eq\r(3)，y1y2＝－eq\f(9,4).S△OAB＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(3,8)eq\r(27＋9)＝eq\f(9,4)．8．设F1、F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)假设|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)假设cos∠AF2B＝eq\f(3,5)，求椭圆E的离心率．[解析](1)由|AF1|＝3|F1B|及|AB|＝4得|AF1|＝3，|F1B|＝1，又∵△ABF2的周长为16，∴由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2∴|AF2|＝2a－|AF1(2)设|F1B|＝k，那么k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由椭圆定义知：|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，即(4