2023年高考数学二轮复习专题四第1讲空间几何体的三视图及表面积和体积的计算问题案文

第1讲空间几何体的三视图及外表积和体积的计算问题高考定位1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的外表积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.真题感悟1.(2023·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.假设该几何体的体积是eq\f(28π,3)，那么它的外表积是()A.17π B.18πC.20π D.28π解析由题知，该几何体的直观图如下图，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的eq\f(1,8)后得到的组合体，其外表积是球面面积的eq\f(7,8)和三个eq\f(1,4)圆面积之和，易得球的半径为2，那么得S＝eq\f(7,8)×4π×22＋3×eq\f(1,4)π×22＝17π.答案A2.(2023·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一局部后所得，那么该几何体的体积为()A.90π B.63πC.42π D.36π解析法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线局部所得，如下图.将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两局部.由图可知，该几何体的体积等于下局部圆柱的体积加上上局部圆柱体积的eq\f(1,2)，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.法二(估值法)由题意知，eq\f(1,2)V圆柱<V几何体<V圆柱，又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V几何体<90π.观察选项可知只有63π符合.答案B3.(2023·全国Ⅲ卷)圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为()A.π B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,4)解析如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝eq\f(1,2).∴底面圆半径r＝eq\r(OA2－OM2)＝eq\f(\r(3),2)，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(3π,4).答案B4.(2023·全国Ⅰ卷)三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.假设平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，那么球O的外表积为________.解析如图，连接OA，OB，因为SA＝AC，SB＝BC，所以OA⊥SC，OB⊥SC.因为平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA⊂平面SAC，所以OA⊥平面SBC.设球的半径为r，那么OA＝OB＝r，SC＝2r，所以VA－SBC＝eq\f(1,3)×S△SBC×OA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2r×r×r＝eq\f(1,3)r3，所以eq\f(1,3)r3＝9⇒r＝3，所以球的外表积为4πr2＝36π.答案36π考点整合1.空间几何体的三视图(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等.(2)由三视图复原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体.2.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；②S锥侧＝eq\f(1,2)ch′(c为底面周长，h′为斜高)；③S台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)；④S球表＝4πR2(R为球的半径).(2)柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)；③V球＝eq\f(4,3)πR3.热点一空间几何体的三视图与直观图【例1】(1)“牟合方盖〞是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为表达其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()(2)(2023·泰安模拟)某三棱锥的三视图如下图，其侧视图为直角三角形，那么该三棱锥最长的棱长等于()A.4eq\r(2) B.eq\r(34)C.eq\r(41) D.5eq\r(2)解析(1)由直观图知，俯视图应为正方形，又上半局部相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.(2)根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面，高为5的三棱锥P－ABC(如下图).棱锥最长的棱长PA＝eq\r(25＋16)＝eq\r(41).答案(1)B(2)C探究提高1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规那么确认.二要熟悉常见几何体的三视图.2.由三视图复原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练1】(1)(2023·兰州模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，那么三棱锥P－A.1 B.2C.3 D.4(2)(2023·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如下图，那么该几何体的侧视图为()解析(1)设点P在平面A1ADD1的射影为P′，在平面C1CDD1的射影为P″，如下图.∴三棱锥P－BCD的正视图与侧视图分别为△P′AD与△P″CD，因此所求面积S＝S△P′AD＋S△P″CD＝eq\f(1,2)×1×2＋eq\f(1,2)×1×2＝2.(2)由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图①，故其侧视图为图②.答案(1)B(2)B热点二几何体的外表积与体积命题角度1空间几何体的外表积【例2－1】(1)(2023·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，那么该几何体的外表积为()A.20π B.24πC.28π D.32π(2)(2023·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如下图，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有假设干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A.10 B.12C.14 D.16解析(1)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由三视图知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4.所以l＝eq\r(22＋〔2\r(3)〕2)＝4.故该几何体的外表积S表＝πr2＋ch＋eq\f(1,2)cl＝4π＋16π＋8π＝28π.(2)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，S全梯＝6×2＝12.答案(1)C(2)B探究提高1.由几何体的三视图求其外表积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)复原几何体的直观图，套用相应的面积公式.2.(1)多面体的外表积是各个面的面积之和；组合体的外表积注意衔接局部的处理.(2)旋转体的外表积问题注意其侧面展开图的应用.【训练2】(2023·枣庄模拟)如图，某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，假设该三棱锥的体积是eq\f(1,3)，那么它的外表积是________.解析由题设及几何体的三视图知，该几何体是一个正方体截去4个三棱锥后剩余的内接正三棱锥B－A1C1D设正方体的棱长为a，那么几何体的体积是V＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,3)a3＝eq\f(1,3)，∴a＝1，∴三棱锥的棱长为eq\r(2)，因此该三棱锥的外表积为S＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2eq\r(3).答案2eq\r(3)命题角度2空间几何体的体积【例2－2】(1)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，D为BC中点，那么三棱锥A－B1DC1的体积为()A.3 B.eq\f(3,2)C.1 D.eq\f(\r(3),2)(2)(2023·山东卷)由一个长方体和两个eq\f(1,4)圆柱构成的几何体的三视图如图，那么该几何体的体积为________.解析(1)如图，在正△ABC中，D为BC中点，那么有AD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥的底面B1DC1上的高.∴VA－B1DC1＝eq\f(1,3)S△B1DC1·AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.(2)该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个半径为1，高为1的eq\f(1,4)圆柱体构成，所以V＝2×1×1＋2×eq\f(1,4)×π×12×1＝2＋eq\f(π,2).答案(1)C(2)2＋eq\f(π,2)探究提高1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原那么是其高易求，底面放在几何体的某一面上.2.求不规那么几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规那么几何体转化为规那么几何体以易于求解.【训练3】(1)(2023·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如下图.那么该几何体的体积为()A.eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)π B.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),3)πC.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π D.1＋eq\f(\r(2),6)π(2)(2023·北京卷)某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥的体积为()A.60 B.30C.20 D.10解析(1)由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为eq\f(\r(2),2)，从而该几何体的体积为eq\f(1,3)×12×1＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π.(2)由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，即三棱锥A1－BCD，VA1－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×5×4＝10.答案(1)C(2)D热点三多面体与球的切、接问题【例3】(2023·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.假设AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，那么VA.4π B.eq\f(9π,2)C.6π D.eq\f(32π,3)解析由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的体积V最大，那么球与直三棱柱的局部面相切，假设球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.那么eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.2r＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.由2R＝3，即R＝eq\f(3,2).故球的最大体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π.答案B【迁移探究】假设本例中的条件变为“直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上〞，假设AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O解将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1那么球O是长方体ABEC－A1B1E1C1∴体对角线BC1的长为球O的直径.因此2R＝eq\r(32＋42＋122)＝13.故S球＝4πR2＝169π.探究提高1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点〞、“接点〞作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.假设球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练4】(2023·济南一中月考)A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.假设三棱锥O－ABC体积的最大值为36，那么球O的外表积为()A.36π B.64πC.144π D.256π解析因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O－ABC的体积取得最大值.由eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝36，得R＝6.从而球O的外表积S＝4πR2＝144π.答案C1.求解几何体的外表积或体积(1)对于规那么几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规那么几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.(3)求解旋转体的外表积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.(4)求解几何体的外表积时要注意S表＝S侧＋S底.2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为eq\f(\r(3),2)a，eq\f(a,2)，eq\f(\r(2),2)a.3.锥体体积公式为V＝eq\f(1,3)Sh，在求解锥体体积中，不能漏掉eq\f(1,3).一、选择题1.(2023·北京燕博园研究中心)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是()A.π B.2πC.3π D.8π解析由三视图知，该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥.∴该几何体的体积V＝3×π×12－eq\f(1,3)·π×12×3＝2π.答案B2.某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是3，那么正视图中的x的值是()A.2 B.eq\f(9,2)C.eq\f(3,2) D.3解析由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝eq\f(1,2)(1＋2)×2＝3.∴V＝eq\f(1,3)x·3＝3，解得x＝3.答案D3.(2023·衡阳联考)如右图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，那么此几何体的外表积为()A.6π B.eq\f(2,3)π＋eq\r(3)C.4π D.2π＋eq\r(3)解析此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球组合而成.外表积为S＝eq\f(4π,2)＋eq\f(1,2)×2×2π＝4π.答案C4.(2023·浙江卷)某几何体的三视图如下图(单位：cm)，那么该几何体的体积(单位：cm3)是()A.eq\f(π,2)＋1 B.eq\f(π,2)＋3C.eq\f(3π,2)＋1 D.eq\f(3π,2)＋3解析由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为eq\f(1,2)×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V＝eq\f(1,2)×π×12×3×eq\f(1,3)＋1×3×eq\f(1,3)＝eq\f(π,2)＋1.答案A5.(2023·衡水中学调研)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的外接球()A.eq\f(41\r(41),48)π B.eq\f(41,4)πC.4π D.eq\f(4π,3)解析由三视图知该几何体为四棱锥，侧面PBC为侧视图，PE⊥平面ABC，E，F分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是2的正方形，如下图.设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，那么h2＋2＝12＋(2－h)2，∴h＝eq\f(3,4)，R2＝eq\f(41,16).∴几何体的外接球的外表积S＝4πR2＝eq\f(41,4)π.答案B二、填空题6.(2023·四川卷)三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如下图，那么该三棱锥的体积是________.解析由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h＝1，那么体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2\r(3)×1))×1＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)7.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为________.解析设正方体的棱长为a，那么a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，那么2R＝eq\r(3)a，即R＝eq\r(3).所以球的外表积S＝4πR2＝12π.答案12π8.(2023·江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，那么eq\f(V1,V2)的值是________.解析设球半径为R，那么圆柱底面圆半径为R，母线长为2R.又V1＝πR2·2R＝2πR3，V2＝eq\f(4,3)πR3，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)三、解答题9.(2023·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两局部体积的比值.解(1)交线围成的正方形EHGF如下图.(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，那么AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正确)).10.(2023·沈阳质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝