2023年高考数学黄金100题系列第08题函数的解析式理

第8题函数的解析式I．题源探究·黄金母题【例1】如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，试求的解析式，并画出函数的图象．【解析】当时，；当时，＝；当时，＝．综上知，精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第13页复习参考题B组第2题【母题评析】此题以平面几何图形为载体，考查函数解析式的求法，以及根据函数解析画函数的图象．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，到达对学生能力的考查．【思路方法】此类试题是平面几何图中由于动点的运动引起了某些几何量的变化，由此也与函数有了紧密联系，也就产生了此类试题．解答此类试题通常要利用分类讨论的思想，同时要注意结合平面几何及三角知识进行求解．II．考场精彩·真题回放【例2】【2023高考新课标II】函数，且．求〔节选〕．【解析】的定义域为．设，那么等价于，，故，而，得．假设，那么．当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增．所以x=1是的极小值点，故综上，．【例3】【2023高考新课标Ⅱ】如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到两点距离之和表示为的函数，那么的图象大致为〔〕【答案】B【解析】由得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即时，，当时，；当点在边上运动时，即时，，综上可知由此可知函数的图象是非直线型的，排除A，C．又，排除D，应选B．【命题意图】本类题通常主要考查函数解析式的求法与图象识别．．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常根本以选择题的形式出现，中等偏上难度，往往与平面几何知识、三角函数等知识有联系【难点中心】此类试题的解答通常结合图形的具体特点，首先明确哪个是自变量？哪个是因变量，它们对应于几何图形中哪些线段或角，然后结合分类讨论的思想进行求解．III．理论根底·解题原理考点一函数解析式概念〔1〕函数解析式定义：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．〔2〕解析式优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．考点二根本初等函数的解析式〔1〕一次函数：；〔2〕反比例函数：；〔3〕二次函数：；〔4〕指数函数：；〔5〕对数函数：；〔7〕幂函数：；〔8〕三角函数：．Ⅳ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常在选择题、填空题中均可能出现考查，在解答题常常伴随函数在实际问题的应用、涉及函数的导数问题应用．【技能方法】求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法〔或凑配法〕、消元法〔方程法〕、图象法、性质法等，这些方程的选择都要根据所给有关函数的具体信息进行分析，如函数模型时，常用待定系数法．【易错指导】〔1〕因为解析具有定义域、对应法那么、值域，而定义域是函数的灵魂，因此一定要注意在求得解析后要注意函数的定义域；〔2〕利用换元法〔或凑配法〕求函数解析式时，确定函数的定义域是一个难点，同时也是一个易错点，因为这类题主要涉及到复合函数问题；〔3〕利用性质法求函数解析式时，常常在自变量的转换上或函数名称变换上犯糊涂，因为这类题实质上是涉及到分段函数问题．〔4〕求实际应用问题的函数模型问题，确定函数定义域时，除函数解析式本身要求有意义外，自变量的取值还必须符合实际意义．Ⅴ．举一反三·触类旁通考向1利用待定系数法求解析式【例1】二次函数满足条件，及，那么求___________．【解析】设，那么由题．又＋，于是由条件，得，解得，∴．【例2】【改编题】函数在点处的切线方程为，那么函数___________．【点评】待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，适用于或能确定函数的解析式的构成形式(如一次函数、二次函数、反比例函数、函数图象等)，求函数解析式．其解法是根据条件写出它的一般表达式，然后由条件，主要通过系数的比拟，列出等式，确定待定系数．【跟踪练习】1．【2023河南安阳一模】是定义在上的函数的导函数，假设方程无解，且，，设，，，那么，，的大小关系是〔〕A．B．C．D．【答案】D点睛：此题意主要考查了函数的导数、单调性在函数值大小的比拟中的应用，以及真数相同底数不同的对数值的比拟等方面的知识，属于中高档题型，亦是高频考点．有三个关键点：〔1〕由方程无解，可知函数在上为单调函数；〔2〕由，可知是定值；〔3〕对于对数函数，在真数相同底数不同的函数值中，当时，底数越小，函数值越大；当时，底数越大，函数值越小．2．【2023山西运城康杰中学高一上学期第一次月考】，是二次函数，且为奇函数，当时，最小值为1，求的解析式．【答案】或【解析】试题分析：令，而为奇函数，故，解得，．其对称轴为，根据对称轴和区间的位置关系，分成类讨论当为何值时取得最小值，由此求得函数的解析式．【试题解析】设那么为奇函数对任意恒成立，即对任意恒成立的图象的对称轴为直线当时，的最小值为1或或或或即或或〔舍〕综上可知：或点睛：此题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数的图象与性质，考查了函数的奇偶性与单调性．由于函数为二次函数，故可设出二次函数的一般式，然后利用函数的奇偶性可求得的值，在利用对称轴和定义域，结合最小值可求得的值．考向2利用换元法〔或配凑法〕求解析式【例3】【改编题】〔1〕假设，那么〔〕A．B．C．D．〔2〕，那么___________．【点评】复合函数的表达式，要求的解析式时，可考虑令，反解出，将其代入的表达式中，再用替换便可得到函数的表达式；〔2〕复合函数的表达式，要求的解析式时，假设的表达式右边易配成的运算形式，那么可用配凑法，使用配凑法时要注意定义域的变化．【跟踪练习】1．【四川省双流中学2023-2023学年高一上学期期中考试】，那么的值为〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】令，那么，所以，应选B．2．【山西省实验中学2023-2023学年高一上学期10月月考】假设，那么的解析式为〔〕A．B．C．D．【答案】A考向3利用函数性质求解析式【例4】为奇函数，为偶函数，且，那么函数___________，___________．【解析】∵为奇函数，为偶函数，∴．又①，故，即②．由①②得：，＝，．【例5】函数是上的奇函数，满足，当时，，那么当时，___________．【解析】因为，所以函数的图象关于直线对称，即成立．又为奇函数，所以．设，那么，那么，所以，即当时，．【点评】函数的某些性质(奇偶性、周期性、对称性等)，可利用这些性质求解．常常涉及到两个转换过程：〔1〕自变量的转换，即将所求解析式的定义域范围转移到函数的定义域内；〔2〕函数名称的转换，如将转换为、〔为常数〕转化为等．【跟踪练习】1．【2023江西六校第五次联考】设函数是定义在上的奇函数，且=，那么〔〕A．﹣1B．﹣2C．1D．【答案】A2．【2023河南南阳、信阳等六市第一次联考】是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，，那么当时，〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：，，，即是最小正周期为的函数，令，那么，当时，，，，是定义在上的偶函数，，令，那么，，，，当时，函数的解析式为:．所以B选项是正确的．考点：利用函数的性质求解析式．【思路点睛】根据将换为，再将换为，得到函数的最小正周期为，由当时，，求出的解析式，再由是定义在上的偶函数，求出的解析式，再将的图象向左平移个单位即得的图象，合并并用绝对值表示的解析式．考向4利用方程法〔消元法〕求函数解析式【例6】【改编2023届湖北龙泉中学等校9月联考】，那么【例7】【改编题】定义在上的函数及二次函数满足：，那么___________．【解析】〔1〕∵①，，即②．由①②联立解得．【点评】消元法适用的范围是：题设条件有假设干复合函数与原函数混合运算，那么充分利用变量代换，然后联立方程消去其余局部可求得函数的表达式．【跟踪练习】1．【2023江西樟树中学高一上学期第一次月考】假设函数对于任意实数恒有，那么等于A．B．C．D．【答案】A【解析】∵对任意实数恒有，∴用代替式中的可得，联立可解得，应选A．点睛：此题主要考查了函数解析式的求法，属根底题；常见的函数解析式方法：①待定系数法，函数类型〔如一次函数、二次函数〕；②换元法：复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；③配凑法：由条件，可将改写成关于的表达式；④消去法：与或之间的关系，通过构造方程组得解．2．【2023河南新乡三模】假设对恒成立，那么曲线在点处的切线方程为__________．【答案】〔或〕考向5根据图象确定解析式【例8】【2023山东枣庄模拟】函数的局部图象如下图，那么的解析式可以是〔〕A．B．C．D．【解析】根据条件可知，函数为奇函数，所以应排除；函数的图象过原点，所以应排除；图象过，所以排除；应选．【点评】根据给出函数的图象确定函数的解析式，主要有两种题型：〔1〕根据函数图象求函数的解析式，解答时常常根据图象特征及图象上的特殊点，求出具体的相关的量的值；〔2〕根据函数图象，同时给出了多个函数解析式，从中进行选择，解答时通常结合函数的性质，结合排除法进行解决．【例9】【2023安徽江南十校高三3月联考】假设函数的图象如下图，那么的解析式可能是〔)A．B．C．D．【答案】B点睛：此题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图象信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解．【跟踪练习】【2023四川成都七中6月1日高考热身考试】如图，在棱长为的正方体中，动点在其外表上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花〞函数，给出以下结论：①；②；③；④其中正确的结论是：__________．〔填上你认为所有正确的结论序号〕【答案】②③④考向6建立解析式识别图象【例10】如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，那么在上的图象大致为()ABCD【解析】如下图，作，垂足为，当时，在中，．在中，；当时，在中，，在中，＝．综上可知，所以当时，的图象大致为C．【例11】【2023福建厦门双十中学下期热身】如图，半径为2的圆与直线切于点，射线从出发，绕点逆时针旋转到，旋转过程中与圆交于，设，旋转扫过的弓形的面积为，那么的图象大致为〔〕【点评】此类试题比拟灵活，是近几年考查的热点之一．解答时从条件出发，根据图形结构，结合三角函数知识、勾股定理、正弦定理、余弦定理、距离公式等知识建立函数的解析式，然后作出选择，有时也要根据函数的性质〔奇偶性、单调性、定义域与值域〕，利用动态过程中涉及的界点情况作出判断．【跟踪练习】1．【2023广西5月份考前模拟】函数的图象大致为〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以函数是奇函数，又定义域是，且，那么在区间上单调递减；在区间上单调递增，应选答案A．点睛：此题旨在考查函数的图象的识读和分析推断能力的综合运用．解答此题的关键是借助函数的图象和根本性质，综合运用所学知识分析判断答案的正确与错误，求解时先运用函数的奇偶性的定义判断函数是奇函数，进而通过函数的取值推断该函数的零点所在和单调变化，进而获得正确答案．2．【2023贵州遵义航天中学一模】P是圆上异于坐标原点O的任意一点，直线OP的倾斜角为，假设，那么函数的大致图象是〔〕A．B．C．D．【答案】D点睛：(1)运用函数性质研究函数图象时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向．(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究．如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系．考向7建立解析式解决实际问题【例12】【2023湖北宜昌一中、龙泉中学联考】如下图，桶1中的水按一定规律流入桶2中，开始时桶1中有升水，桶2是空的，分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线〔其中是常数，是自然对数的底数〕．假设在经过5分钟时，桶1和桶2中的水恰好相等．求：〔1〕桶2中的水〔升〕与时间〔分钟〕的函数关系式；〔2〕再过多少分钟，桶1中的水是升?【点评】在函数应用题中，建立函数的解析式常常设置在解答题的第〔1〕题的位置上，只有进行正确的建模，才能解答第〔1〕题后面的其它小题．而建立函数解析时，一定要注意结合实际应用的要求与题设条件确定函数的定义域．【例13】【2023福建三明一中高一上学期第一次月考】楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，假设当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0．1万元/辆．根据市场调查，月销售辆不会突破30台．〔1〕设当月该型号汽车的销售量为辆〔，且为正整数〕，实际进价为万元/辆，求与的函数关系式；〔2〕该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司方案当月销售利润25万元，那么月需售出多少辆汽车？〔注：销售利润=销售价-进价〕【答案】〔1〕〔2〕该月需售出10辆汽车．【解析】试题分析：〔1〕根据条件分段讨论进价：当时，为常函数，．当时，为一次函数〔2〕根据得销售利润=销售价-进价，分段列方程：当时，；当时，，解出方程的解即得结果试题解析：解：〔1〕由题意，当时，．当时，．∴；当时，，不符合题意，当时，，解得：〔舍去〕，．答：该月需售出10辆汽车．【例14】【2023江苏南京上学期期初学情调研】某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f(x)＝t1＋t2．〔Ⅰ〕求f(x)的解析式，并写出其定义域；〔Ⅱ〕当x等于多少时，f(x)取得最小值？【答案】〔1〕定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}〔2〕当x＝75时，f(x)取得最小值．，根据根本不等式可得结果．试题解析：解：〔1〕因为所以定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}．〔2〕f(x)＝＝，因为1≤x≤99，x∈N*，所以＞0，＞0，所以≥2＝6，当且仅当＝，即当x＝75时取等号．答：当x＝75时，f(x)取得最小值．点睛：在利用根本不