2023年高考数学一轮复习第7章立体几何初步第2节简单几何体的表面积与体积学案文北师大版

第二节简单几何体的外表积与体积[考纲]了解球、棱柱、棱锥、台的外表积和体积的计算公式．(对应学生用书第95页)[根底知识填充]1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，外表积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l3.柱、锥、台和球的外表积和体积名称几何体外表积体积柱体(棱柱和圆柱)S外表积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S外表积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S外表积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3[知识拓展]1．正四面体的外表积与体积棱长为a的正四面体，其外表积为eq\r(3)a2，体积为eq\f(\r(2),12)a3.2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①假设球为正方体的外接球，那么2R＝eq\r(3)a；②假设球为正方体的内切球，那么2R＝A．③假设球与正方体的各棱相切，那么2R＝eq\r(2)A．(2)假设长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，那么2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝eq\f(\r(6),12)a，外接球半径R外＝eq\f(\r(6),4)A．[根本能力自测]1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(2)球的体积之比等于半径比的平方．()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()(4)球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，那么R＝eq\f(\r(3),2)A．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)圆锥的外表积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，那么底面圆的半径为()A．1cmB．2cmC．3cmD．eq\f(3,2)cmB[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．]3．(2023·全国卷Ⅰ)?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？〞其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图7­2­1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？〞1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()图7­2­1A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛B[设米堆的底面半径为r尺，那么eq\f(π,2)r＝8，所以r＝eq\f(16,π)，所以米堆的体积为V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)π·r2·5＝eq\f(π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))2×5≈eq\f(320,9)(立方尺)．故堆放的米约有eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛)．应选B．]4．(2023·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，那么球O的外表积为________．14π[∵长方体的顶点都在球O的球面上，∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．设球的半径为R，那么2R＝eq\r(32＋22＋12)＝eq\r(14).∴球O的外表积为S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),2)))2＝14π.]5．(2023·郑州质检)某几何体的三视图如图7­2­2所示(单位：cm)，那么该几何体的体积是________cm3.【导学号：00090233】图7­2­2eq\f(32,3)[由三视图可知该几何体是由棱长为2cm的正方体与底面为边长为2cm的正方形、高为2cm的四棱锥组成，V＝V正方体＋V四棱锥＝8cm3＋eq\f(8,3)cm3＝eq\f(32,3)cm3.](对应学生用书第96页)简单几何体的外表积(1)某几何体的三视图如图7­2­3所示，那么该几何体的外表积等于()图7­2­3A．8＋2eq\r(2) B．11＋2eq\r(2)C．14＋2eq\r(2) D．15(2)(2023·江西七校联考)假设某空间几何体的三视图如图7­2­4所示，那么该几何体的外表积是()【导学号：00090234】图7­2­4A．48＋π B．48－πC．48＋2π D．48－2π(1)B(2)A[(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如下图．直角梯形斜腰长为eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以底面周长为4＋eq\r(2)，侧面积为4＋2eq\r(2)＋2＋2＝8＋2eq\r(2)，两底面的面积和为2×eq\f(1,2)×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的外表积为8＋2eq\r(2)＋3＝11＋2eq\r(2).(2)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的外表积为S＝2×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12＝48＋π，应选A．[规律方法]1.(1)多面体与旋转体的外表积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成局部，并注意重合局部的处理．2．假设以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练1](1)(2023·全国卷Ⅲ)如图7­2­5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的外表积为()图7­2­5A．18＋36eq\r(5) B．54＋18eq\r(5)C．90 D．81(2)(2023·全国卷Ⅰ)如图7­2­6，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．假设该几何体的体积是eq\f(28π,3)，那么它的外表积是()图7­2­6A．17π B．18πC．20π D．28π(1)B(2)A[(1)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，那么外表积为(3×3＋3×6＋3×3eq\r(5))×2＝54＋18eq\r(5).应选B．(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的eq\f(1,4)，得到的几何体如图．设球的半径为R，那么eq\f(4,3)πR3－eq\f(1,8)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(28,3)π，解得R＝2.因此它的外表积为eq\f(7,8)×4πR2＋eq\f(3,4)πR2＝17π.应选A．]简单几何体的体积(1)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(5π,3)D．2π(2)(2023·全国卷Ⅱ)如图7­2­7，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一局部后所得，那么该几何体的体积为()图7­2­7A．90π B．63πC．42π D．36π(1)C(2)B[(1)过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥而得到的，如下图．由于V圆柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π，V圆锥＝eq\f(1,3)π·CE2·DE＝eq\f(1,3)π·12×(2－1)＝eq\f(π,3)，所以该几何体的体积V＝V圆柱－V圆锥＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).(2)法一：(割补法)如下图，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线局部所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两局部．由图可知，该几何体的体积等于下局部圆柱的体积加上上局部圆柱体积的eq\f(1,2)，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.应选B．法二：(估值法)由题意，知eq\f(1,2)V圆柱＜V几何体＜V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．应选B．][规律方法]1.假设所给定的几何体是柱体、锥体或台体，那么可直接利用公式进行求解．2．假设所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，那么常用转换法(转换的原那么是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．3．假设以三视图的形式给出几何体，那么应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练2](1)(2023·唐山模拟)一个几何体的三视图如图7­2­8所示，那么其体积为()图7­2­8A．π＋2 B．2π＋4C．π＋4 D．2π＋2(2)(2023·天津高考)一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图7­2­9所示(单位：m)，那么该四棱锥的体积为________m3.【导学号：00090235】图7­2­9(1)A(2)2[(1)该几何体为组合体，左边为三棱柱，右边为半圆柱，其体积V＝eq\f(1,2)×2×1×2＋eq\f(1,2)π×12×2＝2＋π.应选A．(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×2×1×3＝2.]多面体与球的切、接问题(2023·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．假设AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，那么V的最大值是()A．4πB．eq\f(9π,2)C．6πD．eq\f(32π,3)B[由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，那么球与直三棱柱的局部面相切，假设球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.那么eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×(6＋8＋10)·r，那么r＝2.此时2r＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．由2R＝3，即R＝eq\f(3,2).故球的最大体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π.][母题探究1]假设本例中的条件变为“直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上〞，假设AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O[解]将直三棱柱补形为长方体ABEC­A1B1E1C1那么球O是长方体ABEC­A1B1E1C1所以体对角线BC1的长为球O的直径．因此2R＝eq\r(32＋42＋122)＝13，故S球＝4πR2＝169π.[母题探究2]假设本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上〞，假设该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解]如图，设球心为O，半径为r，那么在Rt△AFO中，(4－r)2＋(eq\r(2))2＝r2，解得r＝eq\f(9,4)，那么球O的体积V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))3＝eq\f(243π,16).[规律方法]1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点〞“接点〞作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．假设球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[变式训练3](1)(2023·全国卷Ⅱ)A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．假设三棱锥O­ABC体积的最大值为36，那么球O的外表积为()A．36π B．64πC．144π D．256π(2)(2023·全国卷Ⅲ)圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为()【导学号：00090236】A．πB．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)(1)C(2)B[(1)如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝eq\f(1,2)R2.∵VO­ABC＝VC­AOB，而△AOB面积为定值，∴当点C到平面AOB的距离