2023年高考数学一轮复习第7章立体几何初步第3节空间图形的基本关系与公理学案文北师大版

第三节空间图形的根本关系与公理[考纲]1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．(对应学生用书第98页)[根底知识填充]1．空间图形的公理(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(5)等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线aα3.异面直线所成的角(1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).[知识拓展]异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．[根本能力自测]1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．()(4)假设直线a不平行于平面α，且aα，那么α内的所有直线与a异面．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)如图7­3­1所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，那么异面直线B1C与图7­3­1A．30° B．45°C．60° D．90°C[连接B1D1，D1C，那么B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D3．在以下命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的根本性质公理．]4．(2023·山东高考)直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，那么“直线a和直线b相交〞是“平面α和平面β相交〞的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A[由题意知aα，bβ，假设a，b相交，那么a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，假设α，β相交，那么a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交〞是“平面α和平面β相交〞的充分不必要条件．应选A．]5．假设直线a⊥b，且直线a∥平面α，那么直线b与平面α的位置关系是________．b与α相交或bα或b∥α(对应学生用书第99页)空间图形的公理及应用(1)以下命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②假设点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，那么A，B，C，D，E共面；③假设直线a，b共面，直线a，c共面，那么直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3(2)如图7­3­2，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1图7­3­2①E，C，D1，F四点共面；②CE，D1F，DAB[(1)①中假设有三点共线，那么四点共面，不合题意，故①正确；②中假设点A，B，C在同一条直线上，那么A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．](2)①如图，连接EF，CD1，A1B．∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1∴E，C，D1，F四点共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P那么由P∈直线CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA[规律方法]1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)根本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据根本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．[变式训练1](1)(2023·上饶模拟)如图7­3­3所示，在四面体ABCD中作截面PQR，假设PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下命题：图7­3­3①直线MN平面PQR；②点K在直线MN上；③M，N，K，A四点共面．其中正确结论的序号为________．【导学号：00090240】①②③[由题意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，从而点M，N，K∈平面PQR.所以直线MN平面PQR，故①正确．同理可得点M，N，K∈平面BCD．从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故②正确．因为A∉直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故③正确．](2)如图7­3­4所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分别为FA，FD的中点．①证明：四边形BCHG是平行四边形；②C，D，F，E四点是否共面？为什么？图7­3­4[解](1)证明：由FG＝GA，FH＝HD，得GH綊eq\f(1,2)AD．又BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面，理由如下：由BE綊eq\f(1,2)AF，G为FA的中点知BE綊GF，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．空间直线的位置关系(1)(2023·金华模拟)a，b，c为三条不同的直线，且a平面α，b平面β，α∩β＝c，给出以下命题：①假设a与b是异面直线，那么c至少与a，b中的一条相交；②假设a不垂直于c，那么a与b一定不垂直；③假设a∥b，那么必有a∥C．其中真命题有________．(填序号)【导学号：00090241】(2)(2023·郑州模拟)在图7­3­5中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，那么表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．①②③④图7­3­5(1)①③(2)②④[(1)对于①，假设c与a，b都不相交，那么c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．][规律方法]1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否认假设，肯定两条直线异面．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．[变式训练2](2023·烟台模拟)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①假设a∥M，b∥M，那么a∥b或a，b相交或a，b异面；②假设bM，a∥b，那么a∥M；③假设a⊥c，b⊥c，那么a∥b；④假设a⊥M，b⊥M，那么a∥B．其中正确的为()A．①④ B．②③C．③④ D．①②A[对于①，当a∥M，b∥M时，那么a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，bM，a∥b，那么a∥M或aM，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．]异面直线所成的角(1)如图7­3­6，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，那么异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()图7­3­6A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)(2)(2023·泸州模拟)如图7­3­7所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1图7­3­7(1)D(2)eq\f(\r(15),5)[(1)连接BC1，易证BC1∥AD1，那么∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1那么A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).(2)取BC的中点G.连接GC1，那么GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH.∴∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE＝eq\r(3)，HE＝eq\f(\r(5),2)，OH＝eq\f(\r(5),2).由余弦定理，可得cos∠OEH＝eq\f(OE2＋EH2－OH2,2OE·EH)＝eq\f(3,2·\r(3)·\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(15),5).][规律方法]1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，那么它就是要求的角，如果求出的角是钝角，那么它的补角才是要求的角．[变式训练3]如图7­3­8，圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是