2023年高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第6节几何概型学案理北师大版

第六节几何概型[考纲](教师用书独具)1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．(对应学生用书第181页)[根底知识填充]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，与区域的形状，位置无关，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个根本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．3．几何概型的概率公式P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度(面积或体积),试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)).[根本能力自测]1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是eq\f(1,10).()(3)概率为0的事件一定是不可能事件．()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，假设小球落在阴影局部，那么可中奖，小明要想增加中奖时机，应选择的游戏盘是()A[P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．]3．函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]，那么f(x)为增函数的概率为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)C[f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，∴f(x)在[1,4]上是增函数．∴f(x)为增函数的概率为P＝eq\f(4－1,4－(－1))＝eq\f(3,5).]4．(2023·全国卷Ⅰ)如图10­6­1，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是()图10­6­1A．eq\f(1,4)B．eq\f(π,8)C．eq\f(1,2)D．eq\f(π,4)B[不妨设正方形ABCD的边长为2，那么正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圆＝eq\f(π,2)，所以由几何概型知所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).应选B．]5．如图10­6­2所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影局部，据此估计阴影局部的面积为________．图10­6­20.18[由题意知，eq\f(S阴,S正)＝eq\f(180,1000)＝0.18.∵S正＝1，∴S阴＝0.18.](对应学生用书第181页)与长度(角度)有关的几何概型(1)(2023·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)(2)如图10­6­3所示，四边形ABCD为矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，在∠DAB内作射线AP，那么射线AP与线段BC有公共点的概率为________．图10­6­3(1)B(2)eq\f(1,3)[(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).应选B．(2)以A为圆心，以AD＝1为半径作圆弧交AC，AP，AB分别为C′，P′，B′.依题意，点P′在上任何位置是等可能的，假设射线AP与线段BC有公共点，那么事件“点P′在上发生〞．又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝eq\f(π,6).故所求事件的概率][规律方法]1.与长度有关的几何概型,如果试验结果构成的区域可用长度度量，那么其概率的计算公式为PA＝eq\f(构成事件A的区域长度,试验的全部结果所构成的区域长度).2.与角度有关的几何概型,当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.[跟踪训练](1)(2023·广州综合测试(二))在区间[－1,5]上随机地取一个实数a，那么方程x2－2ax＋4aA．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,3)(2)(2023·江苏高考)记函数f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定义域为D．在区间[－4,5]上随机取一个数x，那么x∈D的概率是________．(1)C(2)eq\f(5,9)[(1)因为方程x2－2ax＋4a－3＝0有两个正根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a>0，,4a－3>0，,4a2－4(4a－3)≥0，))解得eq\f(3,4)<a≤1或a≥3，所以所求概率P＝eq\f(1－\f(3,4)＋(5－3),5－(－1))＝eq\f(3,8)，应选C．(2)由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，∴P＝eq\f(5,9).]与面积有关的几何概型◎角度1与平面图形面积有关的几何概型(2023·成都二诊)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到同学须等待，15分钟后还未见面便离开．那么两位同学能够见面的概率是()【导学号：79140362】A．eq\f(11,36) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)D[从下午5：30开始计时，设两位同学到达的时刻分别为x，y分钟，那么x，y应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤30，,0≤y≤30，))如图中正方形OABC所示，假设两位同学能够见面，那么x，y应满足|x－y|≤15，如图中阴影局部(含边界)所示，所以所求概率P＝eq\f(30×30－2×\f(1,2)×15×15,30×30)＝eq\f(3,4)，应选D．]◎角度2与线性规划交汇的问题(2023·广州综合测试)在平面区域{(x，y)|0≤x≤1,1≤y≤2}内随机投入一点P，那么点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)A[依题意作出图像如图，那么P(y≤2x)＝eq\f(S阴影,S正方形)＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,2)×1,12)＝eq\f(1,4).]◎角度3与定积分交汇的问题(2023·郑州第二次质量预测)在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0,2]上任取实数b，使函数f(x)＝ax2＋x＋eq\f(1,4)b有两个相异零点的概率是()A．eq\f(1,2(e－1)) B．eq\f(1,4(e－1))C．eq\f(1,8(e－1)) D．eq\f(1,16(e－1))A[函数f(x)＝ax2＋x＋eq\f(1,4)b有两个相异零点，即方程ax2＋x＋eq\f(1,4)b＝0有两个不等的实数根，那么Δ＝1－ab>0，b<eq\f(1,a).所有试验结果为Ω＝{(a，b)|1≤a≤e,0≤b≤2}，面积为2(e－1)，使函数f(x)有两个相异零点的事件为Ω1＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1((a，b)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(b<\f(1,a)，1≤a≤e，0≤b≤2))))，面积为eq\i\in(1,e,)eq\f(1,a)da＝lna|eq\o\al(e,1)＝1－0＝1，那么所求概率为P(A)＝eq\f(1,2(e－1))，应选A．][规律方法]1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定根本领件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率.2.与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率.3.与定积分交汇问题的解题思路先确定根本领件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率.[跟踪训练](1)(2023·云南二检)RAND(0,1)表示生成一个在(0,1)内的随机数(实数)，假设x＝RAND(0,1)，y＝RAND(0,1)，那么x2＋y2<1的概率为()A．eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,4)C．eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,8)(2)如图10­6­4，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.假设在矩形ABCD内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率等于________．图10­6­4(1)A(2)eq\f(5,12)[(1)由几何概型的概率计算公式知，所求概率P＝eq\f(\f(1,4)×π×12,1×1)＝eq\f(π,4)，应选A．(2)由题意知，阴影局部的面积S＝eq\i\in(1,2,)(4－x2)dx＝eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(1,3)x3))))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝eq\f(5,3)，所以所求概率P＝eq\f(S,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(5,3),1×4)＝eq\f(5,12).]与体积有关的几何概型在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，那么点P到点O1－eq\f(π,12)[如图，与点O距离不大于1的点的轨迹是一个半球，其体积V1＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3).事件“点P与点O距离大于1的概率〞对应的区域体积为23－eq\f(2π,3)，根据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于1的概率P＝eq\f(23－\f(2π,3),23)＝1－eq\f(π,12).][规律方法]与体积有关的几何概型问题求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积总空间以及事件的体积事件空间，对于某些较复杂的事件也可利用其对立事件去求.[跟踪训练]一个多面体的直观图和三视图如图10­6­5所示，点M是A