2023年高考数学一轮复习课时分层训练37归纳与类比理北师大版

课时分层训练(三十七)归纳与类比A组根底达标一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确C[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]2．如图6­4­3，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是()图6­4­3A．12B．48C．60D．144D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.]3．(2023·陕西渭南一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如(如图6­4­4)：图6­4­4他们研究过图中的3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a9的值为()【导学号：79140206】A．45 B．55C．65 D．66B[第1个图中，小石子有3＝1＋2个，第2个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，第3个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个，…故第9个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝eq\f(10×11,2)＝55个，即a9＝55，应选B.]4．如图6­4­5所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当eq\o(FB,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))时，其离心率为eq\f(\r(5)－1,2)，此类椭圆被称为“黄金椭圆〞．类比“黄金椭圆〞，可推算出“黄金双曲线〞的离心率e等于()图6­4­5A.eq\f(\r(5)＋1,2) B．eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\r(5)－1 D．eq\r(5)＋1A[设“黄金双曲线〞方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，那么B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．在“黄金双曲线〞中，因为eq\o(FB,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(FB,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0.又eq\o(FB,\s\up7(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－a，b)．所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.在等号两边同除以a2，得e＝eq\f(\r(5)＋1,2).]5．(2023·南昌一模)我国古代数学名著?九章算术?中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，那么乙手上有()A．28钱 B．32钱C．56钱 D．70钱B[设甲、乙、丙手上各有钱x，y，z，那么由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y＋z,2)＝90，,y＋\f(x＋z,2)＝70，,z＋\f(x＋y,2)＝56，))三式相加得x＋y＋z＝108，那么y＋eq\f(108－y,2)＝70，解得y＝32，应选B.]二、填空题6．假设P0(x0，y0)在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，那么切点弦P1P2所在的直线方程是eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，那么对于双曲线那么有如下命题：假设P(x0，y0)在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，那么切点弦P1P2所在直线的方程是________．eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1[类比椭圆的切点弦方程可得双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的切点弦方程为eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.]7．观察以下等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n个等式为________．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为(2n－1)2，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.]8．(2023·重庆调研(二))甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．〞乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．〞根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书.【导学号：79140207】丙[因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．]三、解答题9．设f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜测一般性结论，并给出证明．[解]f(0)＋f(1)＝eq\f(1,30＋\r(3))＋eq\f(1,31＋\r(3))＝eq\f(1,1＋\r(3))＋eq\f(1,3＋\r(3))＝eq\f(\r(3)－1,2)＋eq\f(3－\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，同理可得：f(－1)＋f(2)＝eq\f(\r(3),3)，f(－2)＋f(3)＝eq\f(\r(3),3)，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜测得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝eq\f(\r(3),3).10．O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，那么eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法〞：eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝eq\f(S△OBC,S△ABC)＋eq\f(S△OCA,S△ABC)＋eq\f(S△OAB,S△ABC)＝eq\f(S△ABC,S△ABC)＝1.请运用类比思想，对于空间中的四面体A­BCD，存在什么类似的结论，并用“体积法〞证明．[解]在四面体A­BCD中，任取一点O，连接AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．那么eq\f(OE,AE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝1.证明：在四面体O­BCD与A­BCD中，eq\f(OE,AE)＝eq\f(h1,h)＝eq\f(\f(1,3)S△BCD·h1,\f(1,3)S△BCD·h)＝eq\f(VO­BCD,VA­BCD).同理有eq\f(OF,DF)＝eq\f(VO­ABC,VD­ABC)；eq\f(OG,BG)＝eq\f(VO­ACD,VB­ACD)；eq\f(OH,CH)＝eq\f(VO­ABD,VC­ABD).所以eq\f(OE,AE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝eq\f(VO­BCD＋VO­ABC＋VO­ACD＋VO­ABD,VA­BCD)＝eq\f(VA­BCD,VA­BCD)＝1.B组能力提升11．给出以下数对序列：(1,1)；(1,2)(2,1)；(1,3)(2,2)(3,1)；(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；…记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，那么anm＝()A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)A[由前4行的特点，归纳可得：假设anm＝(a，b)，那么a＝m，b＝n－m＋1，所以anm＝(m，n－m＋1)．]12．(2023·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，那么甲的卡片上的数字是________．1和3[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.假设丙的卡片上的数字是1和2，那么由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，那么甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；假设丙的卡片上的数字是1和3，那么由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，那么甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【导学号：79140208】[解](1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos(60°－2α),2)－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(