2023年高考数学一轮复习课时分层训练43垂直关系理北师大版

课时分层训练(四十三)垂直关系A组根底达标一、选择题1．设α，β为两个不同的平面，直线lα，那么“l⊥β〞是“α⊥β〞成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[依题意，由l⊥β，lα可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，lα不能推出l⊥β.因此，“l⊥β〞是“α⊥β〞成立的充分不必要条件，应选A.]2．(2023·中原名校联盟4月联考)m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且mα B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥βC[对于选项A，α⊥β且mα，可得m∥β或m与β相交或mβ，故A不成立；对于选项B，α⊥β且m∥α，可得mβ或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，m∥n且n⊥β，那么m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或mβ，故D不成立，应选C.]3．设a，b是夹角为30°的异面直线，那么满足条件“aα，bβ，且α⊥β〞的平面α，β()A．不存在 B．有且只有一对C．有且只有两对 D．有无数对D[过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.应选D.]4．(2023·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CDA．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥ACC[如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．应选C.]5．(2023·河北唐山一模)如图7­4­10，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()【导学号：79140236】图7­4­10A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEFB[根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．应选B.]二、填空题6．如图7­4­11，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，那么在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是________；与AP垂直的直线是________．图7­4­11AB，BC，AC；AB[∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB.]7．如图7­4­12所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)图7­4­12DM⊥PC(或BM⊥PC)[连接AC，BD，那么AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]8．(2023·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有以下四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，mα，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)【导学号：79140237】②③④[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线lα，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又mα，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]三、解答题9．(2023·北京高考)如图7­4­13，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．图7­4­13(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E­BCD的体积．[解](1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PA⊥BD.(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因为D为AC的中点，所以DE＝eq\f(1,2)PA＝1，BD＝DC＝eq\r(2).由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，所以三棱锥E­BCD的体积V＝eq\f(1,6)BD·DC·DE＝eq\f(1,3).]10．(2023·江苏高考)如图7­4­14，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.图7­4­14求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.[证明](1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EFeq\o(⊆,/)平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC.B组能力提升11．(2023·贵州贵阳二模)如图7­4­15，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，那么以下说法正确的选项是()图7­4­15A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心A[由题意可知PA，PE，PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，那么PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，所以O为△AEF的垂心．]12.如图7­4­16，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面图7­4­16a或2a[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F设AF＝x，那么CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝213.(2023·四川高考)如图7­4­17，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD.图7­4­17(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.【导学号：79140238】[解](1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．理由如下：连接CM，因为AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，所以CM∥AB.又AB平面PAB，CMeq\o(⊆,/)平面PAB，所以CM∥平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，那么所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明：由，PA⊥AB，PA⊥CD，因为AD∥