2023年高考数学一轮复习课时分层训练46利用空间向量证明平行与垂直理北师大版

课时分层训练(四十六)利用空间向量证明平行与垂直A组根底达标一、选择题1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，那么()A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α D．l与α相交B[∵n＝－2a，∴a与平面α的法向量平行，∴l⊥α2．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．假设a，b，c三向量共面，那么实数λ等于()A.eq\f(62,7) B．eq\f(63,7)C.eq\f(60,7) D．eq\f(65,7)D[由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7＝2t－μ，,5＝－t＋4μ，,λ＝3t－2μ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝\f(33,7)，,μ＝\f(17,7)，,λ＝\f(65,7).))]3．假设eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(CD,\s\up7(→))＋μeq\o(CE,\s\up7(→))，那么直线AB与平面CDE的位置关系是()【导学号：79140251】A．相交 B．平行C．在平面内 D．平行或在平面内D[∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(CD,\s\up7(→))＋μeq\o(CE,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))、eq\o(CD,\s\up7(→))、eq\o(CE,\s\up7(→))共面，∴AB与平面CDE平行或在平面CDE内．]4．(2023·西安月考)如图7­7­8，F是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，假设D1F⊥图7­7­8A．B1E＝EBB．B1E＝2EBC．B1E＝eq\f(1,2)EBD．E与B重合A[分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，那么D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，设E(2,2，z)，eq\o(D1F,\s\up7(→))＝(0,1，－2)，eq\o(DE,\s\up7(→))＝(2,2，z)，∵eq\o(D1F,\s\up7(→))·eq\o(DE,\s\up7(→))＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴B1E＝EB.]5．如图7­7­9所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC图7­7­9①A1M∥D1P②A1M∥B1Q③A1M∥平面DCC1D1④A1M∥平面D1PQB1以上说法正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4C[eq\o(A1M,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(D1P,\s\up7(→))＝eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(A1M,\s\up7(→))∥eq\o(D1P,\s\up7(→))，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.①③④正确．]二、填空题6.如图7­7­10所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，那么直线ON，AM图7­7­10垂直[以A为原点，分别以eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，那么A(0,0,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))＝0，∴ON与AM垂直．]7．(2023·广州质检)平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，那么不重合的两个平面α与β的位置关系是________．α∥β[设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，由m·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，由m·eq\o(AC,\s\up7(→))＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.]8．eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(3,1，z)，假设eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(BP,\s\up7(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，那么实数x＋y＝________.【导学号：79140252】eq\f(25,7)[由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋5－2z＝0，,x－1＋5y＋6＝0，,3(x－1)＋y－3z＝0，))解得x＝eq\f(40,7)，y＝－eq\f(15,7)，z＝4，所以x＋y＝eq\f(40,7)－eq\f(15,7)＝eq\f(25,7).]三、解答题9．如图7­7­11，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.图7­7­11[证明]如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D­xyz.依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，那么eq\o(DQ,\s\up7(→))＝(1,1,0)，eq\o(DC,\s\up7(→))＝(0,0,1)，eq\o(PQ,\s\up7(→))＝(1，－1,0)．∴eq\o(PQ,\s\up7(→))·eq\o(DQ,\s\up7(→))＝0，eq\o(PQ,\s\up7(→))·eq\o(DC,\s\up7(→))＝0.即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，∴PQ⊥平面DCQ，又PQ平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.10．(2023·郑州调研)如图7­7­12所示，四棱锥P­ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝eq\r(2)，E为PD上一点，PE＝2ED.图7­7­12(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？假设存在，指出F点的位置，并证明；假设不存在，说明理由．[解](1)证明：∵PA＝AD＝1，PD＝eq\r(2)，∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD.又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD.(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．那么A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)，\f(1,3)))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(1,1,0)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)，\f(1,3))).设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AE,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,2y＋z＝0，))令y＝1，那么n＝(－1,1，－2)．假设侧棱PC上存在一点F，且eq\o(CF,\s\up7(→))＝λeq\o(CP,\s\up7(→))(0≤λ≤1)，使得BF∥平面AEC，那么eq\o(BF,\s\up7(→))·n＝0.又∵eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)，∴eq\o(BF,\s\up7(→))·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝eq\f(1,2)，∴存在点F，使得BF∥平面AEC，且F为PC的中点．B组能力提升11．如图7­7­13，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.那么M点的坐标为()图7­7­13A．(1,1,1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(2),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，1))C[设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点．在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(eq\r(2)，eq\r(2)，1)．由中点坐标公式，知点M的坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).]12．点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up7(→))＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up7(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up7(→))∥eq\o(BD,\s\up7(→)).其中正确的选项是________.【导学号：79140253】①②③[∵eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AP,\s\up7(→))＝0，eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AP,\s\up7(→))＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，那么①②正确．又eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(AD,\s\up7(→))不平行，∴eq\o(AP,\s\up7(→))是平面ABCD的法向量，那么③正确．∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,3,4)，eq\o(AP,\s\up7(→))＝(－1,2，－1)，∴eq\o(BD,\s\up7(→))与eq\o(AP,\s\up7(→))不平行，故④错误．]13．(2023·北京房山一模)如图7­7­14，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，图7­7­14且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.[证明]建立如下图的空间直角坐标系A­xyz.∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．(1)∵eq\o(PB,\s\up7(→))＝(2,0，－2)，eq\o(EH,\s\up7(→))＝(1,0，－1)，∴eq\o(PB,\s\up7(→))＝2eq\o(EH,\s\up7(→))，∴PB∥EH.∵