2023年高考数学一轮复习课时分层训练54几何概型文北师大版

课时分层训练(五十四)几何概型A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，那么X≤1的概率为()A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)B[在区间[－2,3]上随机选取一个数X，那么X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝eq\f(3,5).]2．(2023·广州市五校联考)四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()【导学号：00090363】A．eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,4)C．eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,8)B[如图，依题意可知所求概率为图中阴影局部与长方形的面积比，即所求概率P＝eq\f(S阴影,S长方形ABCD)＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).]3．(2023·榆林模拟)假设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，0≤x＜1，,lnx＋e，1≤x≤e))在区间[0，e]上随机取一个实数x，那么f(x)的值不小于常数e的概率是()A．eq\f(1,e) B．1－eq\f(1,e)C．eq\f(e,1＋e) D．eq\f(1,1＋e)B[当0≤x＜1时，f(x)＜e，当1≤x≤e时，e≤f(x)≤1＋e，∵f(x)的值不小于常数e，∴1≤x≤e，∴所求概率为eq\f(e－1,e)＝1－eq\f(1,e)，应选B．]4．(2023·山东高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x，那么事件“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的概率为()A．eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)A[不等式－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化为logeq\f(1,2)2≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\f(1,2)eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由几何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).]5．正三棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP­ABC＜eq\f(1,2)VS­ABC的概率是()A．eq\f(7,8)B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)A[当点P到底面ABC的距离小于eq\f(3,2)时，VP­ABC＜eq\f(1,2)VS­ABC．由几何概型知，所求概率为P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).]6．(2023·西安模拟)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，假设|z|≤1，那么y≥x的概率为()A．eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)πB．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C．eq\f(1,2)－eq\f(1,π) D．eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)D[|z|＝eq\r(x－12＋y2)≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圆及其内部，如下图．当|z|≤1时，y≥x表示的是图中阴影局部．∵S圆＝π×12＝π，S阴影＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)×12＝eq\f(π－2,4).故所求事件的概率P＝eq\f(S阴影,S圆)＝eq\f(\f(π－2,4),π)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).]二、填空题7．(2023·郑州模拟)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，假设x满足|x|≤m的概率为eq\f(5,6)，那么m＝________.3[由|x|≤m，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去．当2＜m＜4时，由题意得eq\f(m－－2,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.]8．(2023·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，那么方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________.【导学号：00090364】eq\f(2,3)[∵方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4p2－43p－2≥0，,x1＋x2＝－2p<0，,x1x2＝3p－2>0，))解得eq\f(2,3)<p≤1或p≥2.故所求概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋5－2,5)＝eq\f(2,3).]9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，假设此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，那么周末去看电影；假设此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，那么去打篮球；否那么，在家看书．那么小波周末不在家看书的概率为________．eq\f(13,16)[∵去看电影的概率P1＝eq\f(π·12－π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π·12)＝eq\f(3,4)，去打篮球的概率P2＝eq\f(π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,π·12)＝eq\f(1,16)，∴不在家看书的概率为P＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,16)＝eq\f(13,16).]10．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，假设一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，那么苍蝇被捕捉的概率是________．eq\f(π,120)[屋子的体积为5×4×3＝60米3，捕蝇器能捕捉到的空间体积为eq\f(1,8)×eq\f(4,3)π×13×3＝eq\f(π,2)米3，故苍蝇被捕捉的概率是eq\f(\f(π,2),60)＝eq\f(π,120).]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2023·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤eq\f(1,2)〞的概率，p2为事件“xy≤eq\f(1,2)〞的概率，那么()A．p1<p2<eq\f(1,2) B．p2<eq\f(1,2)<p1C．eq\f(1,2)<p2<p1 D．p1<eq\f(1,2)<p2D[如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事件“x＋y≤eq\f(1,2)〞对应的图形为阴影△ODE(如图①)，其面积为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，故p1＝eq\f(1,8)<eq\f(1,2)，事件“xy≤eq\f(1,2)〞对应的图形为斜线表示局部(如图②)，其面积显然大于eq\f(1,2)，故p2>eq\f(1,2)，那么p1<eq\f(1,2)<p2，应选D．]2．△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，那么使△ABD为钝角三角形的概率为()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)C[如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，那么点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，那么点D在线段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为eq\f(1＋2,6)＝eq\f(1,2).]3．(2023·南昌模拟)向面积为S的平行四边形ABCD中任投一点M，那么△MCD的面积小于eq\f(S,3)的概率为()【导学号：00090365】A．eq\f(1,3)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)C[设△MCD的高为ME，ME的反向延长线交AB于F，当“△MCD的面积等于eq\f(S,3)〞时，eq\f(1,2)CD·ME＝eq\f(1,3)CD·EF，即ME＝eq\f(2,3)EF，过M作GH∥AB，那么满足△MCD的面积小于eq\f(S,3)的点M在▱CDGH中，由几何概型的概率公式得到△MCD的面积小于eq\f(S,3)的概率为eq\f(\f(2S,3),S)＝eq\f(2,3).应选C．]4．关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.假设a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，那么方程有实根的概率