2023年高考数学一轮复习课时分层训练63排列与组合理北师大版

课时分层训练(六十三)排列与组合A组根底达标一、选择题1．(2023·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A．24 B．48C．60 D．72D[第一步，先排个位，有Ceq\o\al(1,3)种选择；第二步，排前4位，有Aeq\o\al(4,4)种选择．由分步乘法计数原理，知有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)＝72(个)．]2．把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144B．120C．72D．24D[先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有Aeq\o\al(3,4)＝24种坐法．]3．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，那么甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．28C[分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选；甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＝49.]4．(2023·广州综合测试(二))从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，那么这个三位数是偶数的概率为()【导学号：79140344】A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)B[从这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数共有Aeq\o\al(3,5)＝60个，其中是偶数的有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＝24个，所以所求概率P＝eq\f(24,60)＝eq\f(2,5)，应选B.]5．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对 B．30对C．48对 D．60对C[正方体六个面的对角线共有12条，那么有Ceq\o\al(2,12)＝66对，而相对的两个面中的对角线其夹角都不是60°，那么共有3×Ceq\o\al(2,4)＝18对，而其余的都符合题意，因此满足条件的对角线共有66－18＝48对．]6．(2023·青岛二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．18种 B．24种C．36种 D．72种C[1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种，由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36种．]7．假设无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，那么这样的三位数的个数是()A．540 B．480C．360 D．200D[由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，那么百位数字是奇数，有Ceq\o\al(1,4)＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)＝200(个)．]二、填空题8．如图10­2­1，用五种不同颜色给A、B、C、D涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域涂色不同，共有________种涂法．ABCD图10­2­1260[共有5×4×1×4＋5×4×3×3＝260种．]9．假设Ceq\o\al(m－1,8)>3Ceq\o\al(m,8)，那么m＝________.【导学号：79140345】7或8[原不等式可化为eq\f(8！,(m－1)！(9－m)！)>eq\f(3×8！,m！(8－m)！)，解得m>eq\f(27,4).∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，∴1≤m≤8.又m是整数，∴m＝7或m＝8.]10．(2023·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)1080[①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为Aeq\o\al(4,5)＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1080(个)．]B组能力提升11．某校从8名教师中选派4名同时去4个遥远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，那么不同的选派方案有()A．900种 B．600种C．300种 D．150种B[甲去支教，那么乙不去支教，丙去支教，故满足题意的选派方案有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240种；甲不去支教，那么丙不去支教，故满足题意的选派方案有Aeq\o\al(4,6)＝360种．因此，满足题意的选派方案共有240＋360＝600种．应选B.]12．在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m＋n＋1个点，现任取其中3个点为顶点作三角形，可作的三角形的个数为()A．Ceq\o\al(1,m＋1)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,n＋1)Ceq\o\al(2,m) B．Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,m)C．Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n) D．Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(2,m＋1)Ceq\o\al(1,m)C[作出的三角形可以分成两类，一类是含有O点的，另一类是不含O点的．(1)含有O点的，那么在OA，OB上各取1个点，共有Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n)个；(2)不含有O点的，那么在OA上取一点，OB上取两点，或者在OA上取两点，OB上取一点，共有Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,m)个．所以可作的三角形个数为Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n)，应选C.]13．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为()A．1860 B．1320C．1140 D．1020C[当A，B节目中只选一个时，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(4,4)＝960种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝180种演出顺序．所以一共有1140种演出顺序．]14．(2023·佛山质检)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()A．60 B．90C．120 D．130D[因为xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，所以xi中至少两个为0，至多四个为0.(1)xi(i＝1,2,3,4,5)中有4个0,1个－1或1.A有2Ceq\o\al(1,5)＝10个元素．(2)xi中有3个0,2个－1或1，A有Ceq\o\al(2,5)×2×2＝40个元素．(3)xi中有2个0,3个－1或1，A有Ceq\o\al(3,5)×2×2×2＝80个元素．从而，集合A中共有10＋40＋80＝130个元素．]15．某外商方案在4个候选城市中投资3个不同的工程，且在同一个城市投资的工程不超过2个，那么该外商不同的投资方案有________种.【导学号：79140346】60[法一(直接法)：假设3个不同的工程投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共Aeq\o\al(3,4)种方法；假设3个不同的工程投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)种方法．由分类加法计数原理知共Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝60种方法．法二(间接法)：先任意安排3个工程，每个工程各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个工程落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方