2023年高考数学专题03不等式教学案文

专题03不等式【2023年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C级要求，线性规划是A级要求．(2)根本不等式是C级要求，理解根本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.【重点、难点剖析】1．不等式的解法(1)求解一元二次不等式的根本思路：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解．2．根本不等式(1)根本不等式a2＋b2≥2ab取等号的条件是当且仅当a＝b.(2)几个重要的不等式：①ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．②eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)(a＞0，b＞0)．③a＋eq\f(1,a)≥2(a＞0，当a＝1时等号成立)．④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．(3)最值问题：设x，y都为正数，那么有①假设x＋y＝s(和为定值)，那么x＝y时，积xy取得最大值eq\f(s2,4)；②假设xy＝p(积为定值)，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq\r(p).3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题假设不等式f(x)>A在区间D上恒成立，那么等价于在区间D上f(x)min>A；假设不等式f(x)<B在区间D上恒成立，那么等价于在区间D上f(x)max<B；(2)能成立问题假设在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，那么等价于在区间D上f(x)max>A；假设在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，那么等价于在区间D上f(x)min<B；(3)恰成立问题假设不等式f(x)>A在区间D上恰成立，那么等价于不等式f(x)>A的解集为D；假设不等式f(x)<B在区间D上恰成立，那么等价于不等式f(x)<B的解集为D.4．使用根本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，根本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原那么对求解目标进行适当的变换，使之到达能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用根本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量防止二次使用根本不等式．5．平面区域确实定方法是“直线定界、特殊点定域〞，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，可知eq\f(z,b)是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.【题型例如】题型1、一元二次不等式的解法及应用【例1】【2023江苏，10】某公司一年购置某种货物600吨，每次购置吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,那么的值是▲.【答案】30【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.【变式探究】【2023高考新课标1卷】假设,那么()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，假设有两个不相等的实根，那么利用“大于在两边，小于夹中间〞得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．【举一反三】(2023·江苏，7)不等式2x2－x＜4的解集为________．解析∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1<x<2.答案{x|－1＜x＜2}【变式探究】(2023·山东)实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，那么以下关系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)>eq\f(1,y2＋1)B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)C．sinx>sinyD．x3>y3【命题意图】此题主要考查指数函数的性质、不等式的性质、三角函数的性质等根底知识，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．【答案】D【方法技巧】解不等式的四种策略(1)解一元二次不等式的策略：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解．(3)解含指数、对数不等式的策略：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．(4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准，依次讨论求解．【变式探究】(1)假设不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))成立，那么a的取值范围是________．(2)一元二次不等式f(x)<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1，或x>\f(1,2)))))，那么f(10x)>0的解集为______．【答案】(1)[－eq\f(5,2)，＋∞)(2){x|x<－lg2}【解析】(1)设f(x)＝x2＋ax＋1，其对称轴为x＝－eq\f(a,2).假设－eq\f(a,2)≥eq\f(1,2)，即a≤－1时，那么f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上是减函数，假设满足题意应有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≥0，即－eq\f(5,2)≤a≤－1.假设－eq\f(a,2)≤0，即a≥0时，那么f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上是增函数，又f(0)＝1>0成立，故a≥0.假设0<－eq\f(a,2)<eq\f(1,2)，即－1<a<0，那么应有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝eq\f(a2,4)－eq\f(a2,2)＋1＝1－eq\f(a2,4)≥0成立，故－1<a<0.综上，有a≥－eq\f(5,2).另解也可转化为：a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))，x∈(0，eq\f(1,2))恒成立，利用单调性求解．(2)依题意知f(x)>0的解为－1<x<eq\f(1,2)，故0<10x<eq\f(1,2)，解得x<lgeq\f(1,2)＝－lg2.【规律方法】解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解．题型2、简单的线性规划问题【例2】【2023山东，文3】x,y满足约束条件,那么z=x+2y的最大值是A.-3B.-1C.1D.3【答案】D【变式探究】【2023年高考北京文数】假设，满足，那么的最大值为〔〕A.0B.3C.4【答案】C【解析】作出如图可行域，那么当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，应选C.【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【举一反三】(2023·广东，6)假设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≥8，,1≤x≤3，,0≤y≤2，))那么z＝3x＋2y的最小值为()A.eq\f(31,5) B．6 C.eq\f(23,5) D．4答案C【变式探究】(1)(2023·新课标全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－3y＋1≤0，,3x－y－5≥0，))那么z＝2x－y的最大值为()A．10B．8C．3D．2(2)(2023·浙江)当实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))时，1≤ax＋y≤4恒成立，那么实数a的取值范围是________．【命题意图】(1)此题主要考查线性规划问题的求解，意在考查考生的数形结合能力与运算求解能力．(2)此题主要考查线性规那么、不等式恒成立问题，考查考生的数形结合与运算求解能力．【答案】(1)B(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))(2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图中阴影局部所示，令z＝ax＋y，即y＝－ax＋z.作直线l0：y＝－ax，平移l0，最优解可在A(1,0)，B(2,1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))处取得．故由1≤z≤4恒成立，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a≤4，,1≤2a＋1≤4，,1≤a＋\f(3,2)≤4，))解得1≤a≤eq\f(3,2).【感悟提升】1．线性规划问题的三种题型(1)求最值，常见形如截距式z＝ax＋by，斜率式z＝eq\f(x－b,x－a)，距离式z＝(x－a)2＋(y－b)2.(2)求区域面积．(3)由最优解或可行域确定参数的值或取值范围．2．解答线性规划问题的步骤及应注意的问题(1)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数到达最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z＝Ax＋By中的B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析．题型三、根本不等式及其应用例3、【2023课标II，文7】设满足约束条件,那么的最小值是A.B.C.D【答案】Az=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A(−6,−3)，那么z=2x+y的最小值是：−15.应选：A.【变式探究】【2023高考天津文数】设变量x，y满足约束条件那么目标函数的最小值为〔〕〔A〕〔B〕6 〔C〕10 〔D〕17【答案】B【感悟提升】在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号取得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误．【举一反三】(1)不等式eq\f(x＋2,x＋1)<0的解集为{x|a<x<b}，点A(a，b)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，那么eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)的最小值为()A．4eq\r(2)B．8C．9D．12(2)要制作一个容积为4m3，高为1m【命题意图】(1)此题主要考查解分式不等式、均值不等式等根底知识，对学生的转化思想、运算能力有一定要求．(2)此题主