2023年高考数学专题36空间向量在立体几何中的应用黄金解题模板

专题36空间向量在立体几何中的应用【高考地位】向量在立体几何中占有重要的地位，且扮演着一个非常重要的角色，其应用打破了立体几何的传统解法，可以减少大量的辅助作图以及对图形的分析、想象过程，能直接使用代数运算来解决立体几何中的计算和证明问题．在近几年的高考中几乎每年都有出现，其题型主要是大题形式出现，有时也会在选择题或填空题中应用．【方法点评】类型一证明垂直使用情景：立体几何中证明垂直问题解题模板：第一步首先根据条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；第二步然后将条件转化为空间向量问题并对其进行求解；第三步得出结论．例1、【2023天津滨海新区联考】在四棱锥中，平面，，，，.〔1〕证明；〔2〕求二面角的余弦值；〔3〕设点为线段上一点，且直线平面所成角的正弦值为，求的值.【变式演练1】正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，建立如右图所示的坐标系;确定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P;解：设BP=t,那么,,∴B1(2,0,2),D1(0,2,2),P(2,t,0),.∴,=(-2,2-t,2).∵B1Q⊥D1P等价于,即,即.解得t=1.此时,P、Q分别是棱BC、CD的中点,即当P、Q分别是棱BC、CD的中点时,B1Q⊥D1P.例2、【2023贵州贵阳第一中学模拟】如图，在三棱锥中，分别是的中点，平面平面，，是边长为2的正三角形，.〔1〕求证：平面；〔2〕求二面角的余弦值.〔Ⅱ〕解：平面BDF的一个法向量，平面BDE〔即平面ABK〕的一个法向量为，所以二面角的余弦值为.【变式演练2】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF；∴⊥，⊥，∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.例3.【2023吉林东北师范大学附属中模拟】如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，且，，是的中点。〔Ⅰ〕求证：；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值。，故所求二面角的余弦值为。【变式演练３】梯形如下列图所示，其中，，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如下图的几何体.当点满足时，平面平面，那么的值为〔〕A.B.C.D.【答案】C类型二证明平行使用情景：立体几何中证明平行问题解题模板：第一步首先根据条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；第二步然后将条件转化为空间向量问题并对其进行求解；第三步得出结论．例4.【2023天津市河西区模拟】如图，梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．〔Ⅰ〕求证：平面；〔Ⅱ〕求平面与平面所成锐二面角的余弦值；〔Ⅲ〕在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，假设存在，求出线段的长；假设不存在，请说明理由．〔Ⅱ〕解：∵，，设平面的法向量，∴不妨设，∴，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．〔Ⅲ〕设，，∴，∴，又∵平面的法向量，【变式演练4】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点．〔1〕求证：平面；〔2〕求二面角的正弦值．〔2〕,又,故,所以.由，且,所以平面.………7分所以平面的一个法向量为.,不妨设平面的法向量为那么不妨取那么，即…10分设求二面角的平面角为因为，所以．二面角的正弦值大小为．………12分类型三求异面直线所成的角使用情景：立体几何中异面直线所成的角问题解题模板：第一步首先根据条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；第二步然后根据条件求出所求两直线的方向向量；第三步由向量的数量积计算公式即可得出结论．例5、如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，,.假设，分别是棱，上的点，且，，那么异面直线与所成角的余弦值为〔〕A．B．C．D．【答案】D【变式演练5】【2023南京市、盐城市模拟】如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C〔1〕求异面直线EF，AD所成角的余弦值；〔2〕点M在线段A1D上，．假设CM∥平面AEF，求实数λ的值．类型四求直线与平面所成的角使用情景：立体几何中直线与平面所成的角问题解题模板：第一步首先根据条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；第二步然后根据条件求出所求直线的方向向量和所求平面的法向量；第三步由向量的数量积计算公式即可得出结论．例5.如图，直三棱柱中，，，点在线段上.〔1〕假设是中点，证明：平面；〔2〕当时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】〔1〕详见解析〔2〕【解析】〔II〕,故如图建立空间直角坐标系,,,,令平面的法向量为,由，得设所以,,设直线与平面所成角为,,故当时，直线与平面所成角的正弦值为.考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破〞：第一，破“建系关〞，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关〞，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关〞，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关〞.【变式演练5】如图，正方形的边长为2，分别为线段的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点．〔1〕求证：；〔2〕假设底面，且，求直线与平面所成角的大小．【答案】〔1〕详见解析〔2〕类型五求二面角使用情景：立体几何中平面与平面所成的角问题解题模板：第一步首先根据条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；第二步然后根据条件求出各自所求平面的法向量；第三步由向量的数量积计算公式即可得出结论．例6、【2023河北省武邑中学模拟】如图，在四棱锥中，，，，，平面平面．〔1〕求证：平面平面；〔2〕假设直线与平面所成的角的正弦值为．求二面角的余弦值．【解析】〔1〕∵平面平面，平面平面，，∴平面．又∵，故可建立空间直角坐标系如下图，不妨设，，那么有，，，，∴，，，∴，，∴，，∴平面，又平面，∴平面平面．∴二面角的余弦值为．点睛：此题只要考查了空间向量在立体几何中的应用之证明面面垂直、二面角平面角的向量求法，难度中档；主要是通过直线的方向向量互相垂直即向量的数量积为0，得到线面垂直，由线面垂直得到面面垂直；直线的方向向量与平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，大多数情况下是根据图形判断该角的范围.【变式演练6】如图，在边长为的菱形中，，点分别是边，的中点，，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且.〔1〕求证：平面;〔2〕求二面角的余弦值..设平面的法向量为,由得,令,得,平面的一个法向量为.由〔1〕知平面的一个法向量为,设求二面角的平面角为,那么,求二面角的的余弦值为.【高考再现】1.【2023课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.〔1〕证明：平面PAB⊥平面PAD；〔2〕假设PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.〔2〕在平面内作，垂足为，由〔1〕可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如下图的空间直角坐标系.由〔1〕及可得，，，.所以，，，.设是平面的法向量，那么，即，可取.设是平面的法向量，那么2.【2023课标II，理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点。〔1〕证明：直线平面PAB；〔2〕点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值。【答案】(1)证明略；(2)。〔2〕由得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如下图的空间直角坐标系，那么，，，，,，设那么，因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以，，【考点】判定线面平行；面面角的向量求法【名师点睛】(1)求解此题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，那么二面角θ与<m，n>互补或相等，故有|cosθ|＝|cos<m，n>|=。求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。3.【2023课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．〔1〕证明：平面ACD⊥平面ABC；〔2〕过AC的平面交BD于点E，假设平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两局部，求二面角D–AE–C的余弦值.【答案】(1)证明略；(2).〔2〕设是平面AEC的法向量，那么同理可得.那么.所以二面角D-AE-C的余弦值为.【考点】二面角的平面角；面面角的向量求法【名师点睛】(1)求解此题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，那么二面角θ与<m，n>互补或相等，故有|cosθ|＝|cos<m，n>|=.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.4.【2023山东，理17】如图，几何体是圆柱的一局部，它是由矩形〔及其内部〕以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.〔Ⅰ〕设是上的一点，且，求的大小；〔Ⅱ〕当，，求二面角的大小.【答案】〔Ⅰ〕.〔Ⅱ〕.得到，，从而为所求二面角的平面角.据相关数据即得所求的角.〔Ⅱ〕解法一：取的中点，连接，，.因为，所以四边形为菱形，所以.取中点，连接，，.那么，，所以为所求二面角的平面角.又，所以.在中，由于，由余弦定理得，所以，因此为等边三角形，故所求的角为.设是平面的一个法向量.由可得取，可得平面的一个法向量.所以.因此所求的角为.【考点】1.垂直关系.2.空间角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答此题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.此题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及根本运算能力等.5.【2023北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．〔I〕求证：M为PB的中点；〔II〕求二面角B-PD-A的大小；〔III〕求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【答案】〔Ⅰ〕详见解析：〔Ⅱ〕；〔Ⅲ〕〔II〕取的中点，连接，.因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系，那么，，，，.设平面的法向量为，那么，即.令，那么，.于是.平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以它的大小为.〔III〕由题意知，，.设直线与平面所成角为，那么.所以直线与平面所成角的正弦值为.【考点】1.线线，线面的位置关系；2.向量法.【名师点睛】此题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性.6.【2023天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.〔Ⅰ〕求证：MN∥平面BDE；〔Ⅱ〕求二面角C-EM-N的正弦值；〔Ⅲ〕点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕〔3〕或〔Ⅱ〕易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，那么，因为，，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值为.〔Ⅲ〕依题意，设AH=h〔〕，那么H〔0，0，h〕，进而可得，.由，得，整理得，解得，或.所以，线段AH的长为或.【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不管是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.【反应练习】1.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M是A1B1〔1〕求cos〔，〕的值；〔2〕求证：A1B⊥C1M【答案】〔1〕〔2〕证明见解析。〔2〕证明：依题意将2.如图，在三棱锥中，平面，，，，分别在线段，上，，，是的中点.〔1〕证明：平面；〔2〕假设二面角的大小为，求.【答案】〔1〕详见解析；〔2〕3.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点．求证：平面；4.【2023湖南长沙市长郡中学月考】如下图，直三棱柱中，，为的中点，为的中点.〔1〕求证：面；〔2〕假设面，求二面角的余弦值.【解析】〔1〕设与交于，连接，∵，那么与平行且相等.∴四边形为平行四边形.∴，又面，面，∴面.所以面的法向量为，又设面的法向量为，，，，，所以，令，那么，∴.所以二面角的余弦值为.【方法点晴】此题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.此题〔1〕是就是利用方法①证明的.5.四棱锥中，底面为矩