高三数学一轮复习教案 立体几何+排列组合

第63课时平面的基本性质一、复习目标：理解平面的基本性质，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，并根据图形想像它们的位置关系。能正确运用相关定义、定理进行论证、推理和解决有关问题，能用反证法证明简单的问题。二、知识要点：平面的基木性质是学习直线、平面、简单几何体的理论基础，其主要内容是三个公理利公理3的三个推论.公理.女口果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.用符号语言表述为：若且，贝UZUa.公理1是判定直线在平面内的依据.公理2：如果两个平面有―^^^公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是过这个公共点的一条直线.用符号语言表达为’若点PCaQQ,且cQ尸=八则PWZ.公理2：是判定两平面相交、作两个平面的交线、证明点在直线上或点共线的依据-公理3:经过不在同-条直线上的三点，有且只有一个平而，即不共线的三点确定一个平面.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面*用符号语言表示为：若则有Ft只有一个平面CT*使.推论2：经过两条相交直线，有且只有一^平面.用符号语言表示为：若an“=P,则有且只有一个平面。，使afeCZcr.—下i茗3：经过两条平行直线，有旦只有一个平面.用符号语言表示为：若"〃乩则有且只有一个平面。，便aUo,乙理3：及其推论都是确定一个平面的依据.2-空间图形在平面内的表示力法表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图，水平放置的平面图形的白观图常采用斜二测画法，其规则是：在己知图形中取水平平面，取互相垂晝的轴再取6轴，使90"*且上yOz=9Q°；画直观图时，把它们画成对应的轴cp使'=45°或135°,NhQ'm'90°.2ob”所确定的平面表示水平平面；已知图形中平行于工轴」轴或乂轴的线段，在直观图中分别画成平行于*轴、”轴或J轴的线段；已知图形中平行于工轴和Z轴的线段,在直观图中」持长度不变；平行于；轴的线段,长度为原来的一半•三、考试要求能正确运用相关定义、定理进行论证、推理和解决有关问题四、基本训练A、B、C表示不同的点，a、l表示不同的直线，a、卩表示不同的平面，下列推理不正确的是(C)Ag/,Aga,Bel,BwanluaAea,AgP,Bea,BgPnaQAB直线lha,AelnA电aA,B,Cea,A,B,CeP且A,B,C不共线na与P重合—个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45。，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(D)(A)1+連(B)1+辽(C)1+迈(D)2+迈222对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交.其中，使三条直线共面的充分条件有(B)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定个平面。答案：7个.给出下列命题:①空间不同三点确定一个平面;②空间-条直线和一个点确定一个平面;③两条相交直线确定一个平面;④两条平行直线确定一个平面•其中真命题为(C)A.①③B.②③C.③④D.②③④【解析】①中三点不共线时确定一个平面；②中一条直线右线夕|—点确定一个平面；③④正确，故选C.五、例题分析：例15.证明两两相交而不过同一点的四条直线必柱同一平面内-【证明如图①，若三条直线装点于P,第四条直线d与a.、b、c分另耳交于"A三*点、.■:AP在直线H夕卜…直线説与点P确定平面«‘又a.PEa,「-aUa.同理ijE-二a,c(—<x…*-直.线，a、b、crd共"面.(2》如图②,若西条直践a、h、c、ti中任意三条不装点，不妬设C?,cCl<Z=Qc^A,a(~}d=E„b(~\ti=F.由aQZ?=23知a、b确崖■平面p.TAWa,C：C乩AEQ.UE尸，故AC：UQ,即uUQ同理可证ciU甘、放a、6、c、刀共•面.综上可知两两相交L而不过同一点的四条直线必•共面-【点拨四条直线两两相交且不共点可分为两种情形：①其中三线共点：②任意三线不共点'应分类而证-(2)证明点线共面，常先由部分点、线确定平面，再证集他点、线在这个平面内.

例2.如图，在四边形ABCD中，已知AB〃CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面a相交于点E,G,H,F.求证：E,F,G,H四点必定共线.BDCFaEGH解：TAB〃CD,:.AB,CD确定一个平面BDCFaEGH又TABAa=E,ABuB,AEGa,E^B,即E为平面a与B的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面a与B的公共点.T•两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线,AE,F,G,H四点必定共线.说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.例3.如图，点A,B,C确定的平面与点D,E,F确定的平面相交于直线1,且直线AB与1相交于点G,直线EF与1相交于点H,试作出平面ABD与平面CEF的交线.ABCF解：如图3,在平面ABC内，连结AB,与1相交于点G,ABCF则GG平面DEF；在平面DEF内，连结DG,与EF相交于点M,则MG平面ABD,且MG平面CEF.所以，M在EDEC;F平面ABD与平面CEF的交线上.同理，可作出点N,N在EDEC;F平面ABD与平面CEF的交线上.连结MN,直线MN即为所求.D例4.如图，已知平面a,B，且aAB=1.设梯形abcd中，ad〃bc,且ABua,CDuB，求证：AB，CD，1共点（相交于一点）证明T梯形ABCD中，AD〃BC,AAB，CD是梯形ABCD的两条腰.AAB，CD必定相交于一点，设ABACD=M.又tabua,CDuB，AMGa，且MGB.AMGaAB.又TaAB=1，AMG1,即AB,CD,1共点.说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的六、课后作业与高考回顾：第64课时空间直线一、复习目标：1．掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的定义，并能判定和证明两条直线是异面直线2．会用转化的方法求异面直线所成的角，渗透“化归”的数学思想方法；3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”的相互转化。二、知识要点：牢间两条盲线的位置关系有相交、平行、异面（不考虑重合的情况儿空间的平行直线.（1）公理4：平行于同_条直线的两条萱线互相平行•用符号语言表示为:设口、乩C为直线，若1a〃弘c〃亠则a〃c.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边」：别平行并且方向相同，么这两个角相等.推论:如果潮条相交直线和另两条相立首线分别平行、那么这两组相交直线所成的锐角（或直角〉相等.异面直线O定义：不同在任何-个平面内的两条直线叫做异面直线*O判定：连结平面内一点与平面夕卜一点的直线，和」个平面内不经过此点的直线是异面直线.（3〉两条异面直线所成的角£或夹角X对于两条异面直线耳、4经过空间任一点o作道:线/〃□,"〃“，则/与/所成的锐角（或直角〉叫做异面直线“与Q所成的角（或夹角）.若两条异面育线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂貢.异面直线所成角的范围为.<4）两条异面直线的距离:和两紊聲击宜线都垂直相交的宜线叫做两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段〈公垂线段）的长度，叫做两条异面直线的距离.三、考试要求掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的定义，并能判定和证明两条直线是异面直线四、基本训练1．下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也异面其中真命题个数为（D）（A）3（B）2（C）1（D）0

有如下三个命题：①分别在两个平面内的直线是异面直TOC\o"1-5"\h\z线;②垂直于同一平面的两条直线是平行直线；③平行于同一条直线的两条直线是平行直线.其中，正确命题的个数为(0A.OB.1C.2D.3【解析】①中两线可以平行、相爻、异面；②③正确，选c设E、F、G、H为空间四点，命題甲：点E、F、G、H不共面；命题乙：直线EF和GH不相交，那么甲是乙的(A〉A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件O-非充分非必要条件【解析】显然甲=>巴正确，假谏栢交，则E、F、G、H必四点共面，矛盾.恒乙*甲不正确.若EF、Gff不相爰则可能平行'从而四点共面.故选A.若a"是两条异面直线，则存在唯一确定的平面Q，满足(B)A.a〃Q且"〃尸BaUQ且b〃卩C."丄“且厶丄目D_aU0且&丄Q【解析】由于过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另-条直线平行"选B.五、例题分析：例16.如图，已知aDKUwUB，又\£b[}a=A,c//a.五、例题分析：例16.如图，已知aDKUwUB，又\£b[}a=A,c//a.试判定直线办与i*\的位置关系,并说明理由./产"【解析】过平面B内一点A和外一点///B的连线方，和0内不经过A的直线c是异面直线，\f—下面用反证法加以证明：假设白与c\C共面，设它们共面于儿7Vuy/c^^y^'CZ/,:-a//7,又aUa,%B/b/a"=b,:、Q#b、与afl"=A矛盾.故方与c异面.7.已知如图，ABn«=.P,ACn«=Q,BCna=R.求证=P、Q、尺三点共线.KWf析】VABQa=P而A日二平面ABC平面ABC,则平面ABC与平面OLE7相交迓醱线为I./.Fez同理:Qez,Rez.共线.例3.已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P,Aea,求证：AD与BC是异面直线.Bea，Ceb，Dec，证一：(反证法)假设AD和BC共面，所确定的平面为a,那么点P、A、B、C、D都在平面a内，.•.直线a、b、c都Bea，Ceb，Dec，.•.AD和BC是异面直线。证二：（直接证法）TaQc=P,・・・它们确定一个平面，设为a,由已知C电平面a，BW平面a，ADU平面a，B纟AD,・AD和BC是异面直线。例3BB8-BB8-如图，点A是平面BCD外的一点，连结F分别是线段上的七wA.E_BF1-,z?>^3*jppjr）—Ipci—2，*P分另U是AD、BD、BC的中点，且已知=CD=3,EF求MP的长”X解桁】在BD上取一点Q,使言箸=寺，连EQ、FQ、由条件得,MN//EQ//AB,QF〃ZF〃DC,囱等角定理有/MNP=/EQF.又由条件求得KQ=2,FQ=1,•/EK=T7,在ZXEQF中由余强:定理得：®NEQF=2鳥戈二空尸NEQF=/MZP=120°故在△MZP中，PM=Q〉?+-—2XXXcos120°=【点拨火1〉求解立体几何问题的基本患路是将空间问题平面化，即寻找与条件相关的平面图形，将问题最终归结于在这个平面图形中加以解决.V）解此题的关键在于取BO的三等分点Q,计算NEQF,从而得出/MNP、顺利求出MP,充分体现了化归思想在立体几何中的运用.六、课后作业与高考回顾：第65课时线面平行与面面平行一、复习目标：3．掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理和性质定理，并能运用这些知识进行论证或解题；理解线线平行、线面平行、面面平行之间的转化以及平行与垂直之间的转化的辩证关系。二、知识要点：一、直线和平面的位置关系一条直线a和平面a的位置关系有三种：直线在平面内——有无数个公共点，用符号表示为aUa.直线和平面相交一有且只有―二—个公共点，用符号表示为afla=A.直线和平面平行——没有公共点，用符号表示为订沁•二、直线和平面平行的判定与性质直线和平面的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.用符号语言表示为:若a〃山则ah.（简证为:线线平行亠线面平行〉直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条宜线和交线平行•用符号语言表示为：若a/ZagUBWa三、两个平面的位置关系空间两个平面的位置关系有且只有两种：（不包括重合的情况）.平行——没有公共点；相交——有一条公共宜线.两个平面垂直是相交的一种特殊情形.四、两个平面平行的判定和性质两个平面平行的判定（1）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.用符号语言表示为：若a〃a,b〃a,a、ZKZD，anb=A，则a〃0.（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.用符号语言表示为:若/丄a昇丄乩则a〃卩.（3）平行于同一平面的两个平面平行.用符号语言表示为：若a〃儿0〃儿则a〃0.（4）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另-个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.用符号表示为:若aUa・2a,U0・〃U“・afU=A"r|c=ba〃c,b//d.则a//p.

两平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么•其中一个平面内的所有直线平行于另一个平面•用符号语言表示为：若a〃P，aUa,则a〃/?.（简证为：面面平行=线面平行）.（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号语言表示为:若a〃仇"了=则.（简证为：面面平行=＞线线平行）.（3）如果一条直线隹］于两个平行平面中的一个平面•那么它也垂直于另一个平面.用符号语言表示为：_若a〃0,Z丄a,则UJ?.三、考试要求掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理和性质定理，并能运用这些知识进行论证或解题四、基本训练1-直线C丄平面则直线”与。的位置关系为CD）A.bIaBb//aC.D.上述都有可能l解桁】傑条件.作出图形*与。的三科关系均有可能.选DP为异面宣线"上外一点，贝!I过P且与C都平行的平面A.不存在B有冃一只有一个C.至多有一个D.至少有…个析】"i更ci、b异面，P为a,&夕卜-一，虽，存在尸U且也可能，不存在.选C.设表示直线2、尸表示平面2〃仔的充分条件是（A）A.a.//b,a\a,b\QIS.aUZar,Z?CZ/3,a//bC.a.//atbUp'Cj.//p*b〃aD-aSb,aIIa【解析】由A知：a〃力且a丄a,.\b_La又“丄伙故a〃R即A是a〃0的充分不必要条件.故选A.考察下列三个命题，在“”处都缺少一个条件.补上这个条件使其构成真命题（其中5为直线，a、0为平面），则此条件为U.Z±PR〃Z±PR〃a；③a丄0l//m-a；②m//a①/〃m【解析】依位置关系分析得条件为g（2005山东卷）已知加、"是不同的直线，a、0是不重合的平面，给出下列命题：①若a//B、mUa、nUP则tn//②若mmUam//B、n〃B、则a〃0；③若加丄a，"丄B、m〃n则a〃/9；④皿、”异面，若m〃a，加〃p,”〃a,”〃P则&〃0.上述命题中,真命题的序号是③④.（写出所有真命题的序号）【解析】①中的加、"可能异面；②中50可能相交；③、④正确.

五、例题分析：例1例2例36.如图，正方体ABCD一A,BjC,M中，E、F分别是A】Ci与4狞上的点，且A】E=A】F,求证:EF〃平面AiADlDx-K解析】如图，连接BCi.AOj,由于AC,是正方休，.•-A,C,-A,B.在Z\A,BCi中‘'.•4Ct=AiBfAiE=A尸•AiE=AiFAF…•召乙—AM'.■-EKy/BCi.SCDiC：iJLAH,「.四边形ABCiDj是平行四边形一.'.BC?!〃Ad,.*.EF/ZADt.5CIdU平面AiAE>/9j,EF②平面A.ADE),,AKF〃平面AiADDi.K点拔工判定线线平行是证明线面平行的关键.柱判定两线平行时*应先考虑使两线置于同一平面内*利用平面图形的性质(如三角形中位线，平行四边.形对应边平行等)来证明，若图中这样的平面不好找，则可以考虑利用平行公理‘直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理进行转化，或用向量知课来证明.7.如图所示，0、"是异面直线”aU平面a,QU平面//R、b〃a■"求HEa//的平面yQR=a'、a、的平面yQR=a'、a、b弄面，•°・a‘与h相交.**a//8、：・a〃J,又aUa,・：a'〃a.又b//a^a与b相交、：、a惮证法二：(反证法)假设0：门0=人'*a//**a//Z,同理＜,b//a,:.b//l.^a//b与a与6异面矛盾.・・・a〃R【点拨】(1)将线面平行、面面平行转化为线线平行时，需作辅助平面.(2)证明面面平行可通过运用判定定理直接推演或采用反证法进行.8.如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面互相垂直，两个正方形的边长均为血,M、N分别是AC和BF±的点，且AM=FN=h*求证:MN〃平面ECE；设MN=y,求函数y—/(x)；当MN最短时，求A4N与AC和MN与FE所成的角.

【解析】(1)过M作MP丄AE于P,T平面ABCD丄平面ABEF,:.MP丄平面ABEF，连PN,又BC丄平面ABCD.：-MP//BC，利用平行线截得线段成比例知券=躱，又AM=FN,AC=FE,・・.^=^，从而PN//AF//BE,故平面MPN〃平面BCE.TMNU平面MPN,；・MN〃平面BCE.TAM=k,••・MP=AF=壬，PN=P£=©—壬7242・•・MN=VMP2+PN2=A4P丄平面・•・MN=VMP2+PN2=(0<j:<2).故y=丿金一2工+2(0<工<2).(3)从y=MN=a/Q—1严+1知当工=1时，MN的最小值为1,此时M、N分别是两个正方形的中心.［器=翁=*，:.MN//CE,故MN与AC所成角为/ACE,易知ZXACE为正三角形，故MN与AC所成角为60°,同理A1N与EF所成角也为60°.【点拨】(1)判定线面平行除可以利用判定定理证明外(第6题)，还可以利用面面平行的性质定理转化.(2)本题中MN的最小值易错认为是异面直线AC与EF的距离，事实上，这时直线MN与直线AC与EF所成的命均为60°,可以证明AC与BF的距离等于对应的正方形对角线长趙諜后作业与高考回顾:说AC与EF的距离为鲁.第66课时直线与平面垂直一、复习目标：4．掌握平面与平面垂直的概念、判定定理和性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；2.在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使得问题获得解决。二、知识要点：一、直线与平面垂直的判定定义:如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.判定定理：（1）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直•那么这条直线垂直于这个平面.用符号语言表示为aUa,Z?Ua,a门"=P,2丄a,Z丄4贝Z丄a__（简证为:线线垂宜=线面垂直）.（2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.用符号语言表示为：a〃儿a丄a,贝U〃丄a.除了能利用上述两个判定定理证明线面垂直外，还可以利用下列定理或结论：（1）（面面垂直的性质定理）如果两个平面垂直，那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面（简证为:面面垂直=＞线面垂直）.（2）（面面平行的性质定理）如果两个平面平行，那么与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直.（3）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面.（4）如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.二、直线与平面垂直的性质、如果两条直线同垂直于同一个平面，那么这两条直线—平行.用符号语言表示为：a丄a』丄a・则.三、考试要求:掌握平面与平面垂直的概念、判定定理和性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题.四、基本训练下列命题中的逆否命题正确的是（A）若两直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则该直线与这个平面垂直若一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，则这条直线与这个平面平行自空间一点向一条直线引垂线有且仅有一条【解析】一个命题和它的逆否命题等价，因只需验证原命題正确即可.选A.2-(2006重庆卷》对于任意的直线I与平面。，在平面a内必有直线rn*使rn与I(C)A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线［解桁】对于a,当zn«时，皿与/可以相交或异面，一定不平行；对于当l//a时"”与I可以平行或异面，一定不相交；对于D,当IUq时，柄与I一定不异面；故选C.在下列关于貢线/、和与平面①、尸的命题中，真命题是(B)若/UQ且a丄伙则/丄a若/丄Q且a//p,则/丄a若2丄尸且a丄禺则l.//aE).若aQ/3=?rt且Z〃777*则I//ot【解析】本题在熟记定理的基础上•准确地旳匕选出正确选项B,从而排除其余选项*这是解选择題常用的方法■.已知心方形ABCD中，E、F分另I」是BC、GD的中点，将它沿A£、AF和EF折廻，使点民0、0重合为一点P,则必有AP丄平面PEF.【解析】处理折叠冋题要注意两点：1•分别画奸折叠前的平面图和折叠后的立体图，注意对应宇母要相一致；N弄清涉及的元素在折叠前后其数量关系和位置关系有无变化.根擴条件有AP丄平面PEF.在正方体AECD—A15GD中，o是底面ABCD的中点,E、F、G、H分别是棱AiA,BE,GC,D】D的中点，请写岀一个与AO垂直的正方体的截面平面GDB(或AFH,EDb).(截面以给定的字母标识,不必写出全部符合条件的截面)【解析】由三垂线定理知丄AO,又厶AiOC；为RtA,A)O丄OG,.・.AO丄平面GDB五、例题分析：_例1.四面体ABCD中，AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF=「斗AC,ZBDC二90。，求证：BD丄平面ACD1证明：取CD的中点G,连结EG,FG,•・•E,F分别为AD,BC的中点，.・.EGH-AC11FG纟一BD，又AC二BD,：.FG=-AC•.在AEFG中，-1EG2+FG2二AC2二EF--：.EG丄FG，.:BD丄AC，又ZBDC=90。，即BD丄CD，ACACD二C.BD丄平面ACD

如图，已知P是所在平而外—点，PA、PR、PC网两垂直，H足AABC的垂心，求证：FF/丄平面ABC.【证明】丁PA丄HLJ,PA丄PC,:.PA丄平面PBC,.\FA_LBC：.又由于H是/\AHC：的垂心,.\AHJ_BC,从而丄平面PAH./.BCJLPH.同理可故PH±_平面ABC.【点拨】本题只需证明垂直AABC的两边，而要证BH垂直边BC,又是通过线面垂直来实现的.，因此喪注重线面垂直与线线垂直间的转化.如图*四边形ABCD为正方形，S4丄平而ABCJU，i±A且垂直SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、6求证:丄SB.4G丄SIX【证明1'/平西A.EFG丄SC,:,SCLAE.又SA丄平面ABCO,/.SA_LBC,5LABJ^BC,BC_LSAB,AEU平面SAB,/.BC丄AE,又TLE丄丄平面SBC..\AE_LSB.同理可证AG丄SD-【点拨】证明不共面的线线垂直一般可采用先证线面垂直来进行，即证其中一线垂賣于过另一线的平面，其中合理选择平面是解题的关键.8.（2006天津卷）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形,EF绘EC.（1）匹明：FO"平面CJDE；(2)设BC=^3CDfyE明EO丄平面CDF.【解析】（1）取CD中点连结OA1,在夫巨形ABCE＞中，OM上寺BC,5CEFJLBC,EF/OM.连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形.:.FO//EM，又TFO0平面CDE,且EA4U平面CDE,：.FO〃平面CDE.（2）连结FM,由（1）及已知条件，在等边ACDE中，CM=DM,EM±CD,且EM^^CD^^BC=EF.故口EFQW为菱形，从而EO丄FM,CD丄OM,CD丄EM,；・CD丄平面EOM,/.CD±EO.而FMC\CD^M,.\EO±平面CDF.【点拨】本题考查了直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，在能力立意上，主要考查空间想像能力和推理论证能力，命题形式是以多面体为载体的线面位置关系的论证*，它是高考常考的命题形式.六、课后作业与高考回顾：第67课时三垂线定理及其逆定理一、复习目标：理解垂线、斜线、射影的概念及关系,熟悉射影长定理及相关定理；会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。一、斜线在平面内的射影过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影•从斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的苜线叫做斜线在这个平面内的射影.射影长定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长■（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长.（3）垂线段比任何一条斜线段都短.二、三垂线定理三垂线定理:在平面内的一条直线，如果和这个平而的•条斜线的射影垂直，那么它也和汶条斜线垂苜.2-三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线•如果和这个平面的一条斜线垂苜，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.复习三垂线定理及其逆定理，应注意以下两点：（1）必须弄清定理中所指的“三垂”关系，即垂线PA与平面a的垂直谢影与直线a的垂直，斜线PH与直线a的垂直.（2）在非止常位置的图形上运用三垂线定理或逆定理时，要首先通过分析、观察,确定垂面・抓住斜足、垂足，连成射影，最后査看垂面内的线.三、直线与平面所成的角1-直线和平面所成的角：如果直线平行于平面或在平面二、知识要点.内,则它和平面所成角的大小为°°；如果直线垂直于平面,则它和平面所成角的大小为如果直线是平面的斜线,则它和它在平面内的射影所成的锐角称为直线和平面所成的角.由概念可知，直线和平面所成的角常用射影转化法求解，其范围是[0°,90°].最小角定理:斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.理解公式COS0=COS0]・CO〃2中三个角伏仇、&2的意义，在立体图形中能熟练找岀这三个角.三、考试要求会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程四、基本训练1-给出F列命题:①一条直线在一个平面内的射影一定是一条直线;②若两条线段的长度相等，则它们在同一个平面A.1B.2A.1B.2C.3D.4【解析】①中当直线垂直于平面时，它在平面内射影为一点;②中缺少从一点出发的条件;③④为真命题.选B.平面内的-•条直线和它的一条斜线在这个平面内的射影垂直是平面内的这条直线和这条斜线垂直的(C)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】本命题就是三垂线定理和它的逆定理，选C.两条直线&与平面“所成的角相等，则a#的关系是(D)内的射影长也相等;③共线的点在同一个平面内的射影必共线;④斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角,其中真命题的个数是(B)A.平行R相交C.异面D.以上三种情况都有可能【解析】画出符合条件的图形，三种关系都有可能，选D.任意平行四边形在平面a内的射影(C)A.一定是平行四边形B.有可能是梯形C.有可能是矩形D.一定是四边形【解析】结合图形中位置关系进行分析，选U如图,正方体AECD—AEiGD]中，点P在侧面BCC^BjBC及其边界上运动,并且总是保持AP丄BC及其边界上运动,并且总是保持AP丄DED,则动点P的轨迹是(A〉A.线段BCR线段BGBB中点与0G中点连成的线段EC中点与BG中点连成的线段【解析】由于BDi丄平面ACB,只要APU平面ACB】，就一定有AP丄，.-.P6BtC.故选A.五、例题分析：6.如图，AO是平面M的斜线，O是斜足，AB丄M于OD是M内不与OB重合的直线，ZAOB=a,ZHOD=0,ZAOD=7,求证：(1)cosy=cosa•cos/?；(2)斜线和平面所成的角是这条斜线和平面经过斜足的直线所成角中最小的角・【解析】(1)作BC丄OD于C,连结AC,TAB丄平面M,OD丄BC,而EC是AC在平面M内的射影,•••OD丄AC.又由于丄平面M,AB丄BC,0C.,Acos/=cosa■co期.:.△ABC、△0C.,Acos/=cosa■co期.OBaOC“,COSP=Q^,cos/=(2)V(2)Vcosa=cos/,又a是斜线AO与平面M所成的角，7是斜线0A成的角，7是斜线0A与平面内过斜足0的直线所成的角，从而结论得证.【点拨】(1)公式COS0=COS0]•COS&2中三角的意义是°为平面内过斜足的直线与平面的斜线所成的角；°】为斜线与平面所成的角；02为平面内的线与斜线在平面内的射影所成的角•(2)计算问题总是化归到平面图形中加以解决•本题中的关系式最终長转化为在直角三角形中加以解决的•这也是解立体几何计算题的基本思路.7.如图，PA丄平面ABC.AB丄BC,PA=AB,PB=BC.过A作AD丄PC于D,求平面DAB与平面ARC所成角的大小.【解析】过D作DE〃PA交AC于E,VPA丄平面ABC,:.DEA丄平面ABC.又过E作EF丄于F,连DF,则由三垂线定理有DF丄AB故ZDFE为平CB面DAB与平面ABC所成的平面角，设PA=AB=a^则PB—BC=72a.故AC=x/BA+bu=73a.A在Rt△PAC中，ZPCA=30°.又在Rt/XADC中,AD=*AC=^a.DE=DA•sin60°=寻a.AE—DAcos60°=普a,从而在RtAAEF中，EF=AEsinZCAB=^a..•.在RtADEF中八anZDFE=^=噜ZDFE=arctan彎即所求二面角大小为arctan歸②.【点拨】凡题中给出了垂直关系的二面角的求法，均可以考虑采用三垂线定理作出其平面角后求解.本题中关键在于作出DE丄平面ABC后，找到平面角ZDFE.&在三棱锥P-ABC中，PA丄AC.PB丄BC.AC±BC,PA.PB与平面ABC所成角分别为30°和45°.若P到底面AEC的距离为爪求P到AE的距离；问：直线PC与能否垂直？明你的结论.【解析】(1)设PD丄平面ABC,则PD=h,ZPAD-30°,ZPBD=45°.又*：PA丄AC,PB丄EC,•由三垂线定理的逆定理有CA丄AD,CB丄BD.又AC丄BC.故ACBD为矩形.过D作DE丄AE,连结PE、2hVPD±平面ABC,・・・PE丄ABPE的长就是P到AB的距离.由条件得：DE=%^一&上巫2h・•.在RtAPED中,PE=/PD'+DE2即P到AE的距离为号/i.(2)如果直线PC与AB垂直，则DC_LAB,ADBC是正方形,这与ADMDB矛盾，故PC与AB不垂直.【点拨】(1)证明线线垂直是三垂线定理及其逆定理的主要应用・(2)解决存在性问题•一般是先假设存在后再探求是否具备存在的条件，若得出牙盾•则不存在.六、课后作业与高考回顾：第68课时平面与平面垂直及二面角一、复习目标：1．掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题。2．掌握二面角的求法,会根据条件求二而角的平面角。二、知识要点：—、二面角定义:从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角•以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的大小范围是［0,己.作二面角的平面角的常用方法：（1）定义法:根据定义•以棱上任一点为端点•分别在两个面内作垂直于棱的两条射线，则这两条射线形成二面角的平面角.（2）三垂线定理法:从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线PA,过A作二面角棱的垂线AE,连结由三垂线定理得PB与棱垂直，于是ZPBA为二面角的平面角（或其补角）.（3）垂面法:过二面角棱上一点作平面与棱垂直，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角.另外，还常用向量法及用面积的射影定理来求二面角，即仝丄泌_=S射，它的优点是不必作出二面角的平面角.（4）利用两平面法向量夹角与二面角相等或互补的关系.（5）利用全等三角形作二面角平面角.（6）当二面角由两个等腰三角形构成时，利用两边的两条中线.二、两个平面垂直的判定与性质1-两个平面垂直的判定、（1）两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.（2〉如果一个平面过另一个平面的•条垂线，那么这两个平面互相垂直，用符号语言表示为：若a丄P，aUa,则a丄p.两个平面垂直的性质（1）如果两个平面互相垂直.那么在一个平面内―垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.用符号语言表示为:若__丄人aUa_，则a丄件（2〉如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，用符号语言表示为:若a丄B,Pj,PWag丄0则aUa.三、考试要求掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题。掌握二面角的求法,会根据条件求二而角的平面角。四、基本训练五、例题分析：a、/?是两个不同的平面，a丄平面八尸丄儿则a与"的关系是⑴）A.平行B.垂直相交不垂直D.平行或相交【解析】可举实例如正方体来说明.选D.设有直线?"、"和平面&、仇则在下列命题中，正确的是（C）若m//n、mUa、nUB'则a〃B若加丄丄"，”U/3,则a//P若am〃丄0,mUa,则aI0若m//n,/nIa,nI则a丄“【解析】A中，可能a与0相交，B中可能a丄p.C正确，D中可能a〃仅故选C.平面a丄02门0=人点Pj点QWA则PQU是PQ丄P的（C）A.充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】由面面垂直的性质定理可知条件为充要条件，选C.—间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜；③四面倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为只、A、耳，若屋顶斜面与水平面所成的角都是a,则（D）C.P3=P2>P1D.P3—P2—P1【解析】由于S轴=Scox,经分析知D正确，选D.正方体ABCD-A^rQDx中，过顶点E、D、G作截面，则二面角B-DC.-C的正切值是血.【解析】取GD中点O,连CO、BO,•••BC±平面CDDG，CO丄DG丄DG.故ZBCX?为二面角B-DC^-C的平面角.tanXBOC=—42.

对于平面几何中的命题：•'如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”.在三维空间中，类比上述命题你可以得到什么命题？其真假性如何？【解析】如：①如果一个角的两边与一个二面南的两个半平面分别对应垂直，那么这个角与二面角的平面角相等或互补，这个命题是真命题；②如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补，这个命题是假命题.如图，在正方体ABCD-AiB.GDi中（1）判断平面ACE与平面8B.D.D是否垂直,并证明；（2）判断平面ACB与平面是否垂直,并证明.【解析】（1）平面AGB丄平面下面给出证明：在正方体ABCD-A,BjCiDi中，AG丄3D，且丄平面A]B】GD],・••丄AG，从而AiG丄平面BBDD,而AQU平面AyCiB,:.平面AQB丄平面BB,D,D.（2）平面A1GB与平面AibG不垂直，下面用反证法证明：假设平面丄平面ASG，设ACD,=0,连结BO.TAiBuBG，且O是AiC（的中点…BO丄AiG.故EO丄平面AiBG.•••ZBOBi=90°,这与ZBOBj是RvABBiO的一个锐角相矛盾.故平面AGE与平面【点拨】（1）证明两平面互相垂直的关縫是找哪一个平面经过另一平面的垂线.第（1）小题中是在平面A.C.B中找到了A】。丄平面BbDiD,还可以在平面BBQD中找到DB】丄平面AGB（2）证明否定性的结论，可用反证法进行.&(2004全国卷D如图，已知四棱锥P一ABCQ.PE丄AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.求点P到平面ABCD的距离；〈2)求面APB与面CPB所成二面角的大小.【解析】(1)如图，作PO丄平面AE-CD,垂足为O,连结OE、OA、OD,OB与AD交于E,连结PE.•:AD_LPB,：,AD丄PA=PD,/.OA=OD，于是OB平分AD,点、E为AD的中点，:.PE±AD.乙PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角.・•・ZPEB=120°,ZPEO=60°.又由已知求得PE=-/3,PO=PE・sin6(T=箱X爭=寻，即点P到平面ABCD的距离为咪解法一：如图，取PB的中点G,PC的中点F,连结EG、AG、GF,则AG丄PE,FG〃BC，且FG=*BC.TAD丄PB,・••BC±PB,FG±PB・・•・ZAGF是所求二面角的平面角.TAD丄平面POB,/.AD丄EG,又VPE=BE,；.EG丄PB,且ZPEG=60：在RtAPEG中,EG=PE•cos60°=在RtAGAE中，AE=*AD=1,・•・tan^GAE=薨=噜，又ZAGF=兀一"AE,・•.所求二面角的大小为n-arctan孕解法二：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点、，工轴平行于DA.P(0,0,^),B(0,^3,0)・PB中点G(0,卑玄乎).连结AG,又A(l,孚0),C(—2,弓3,0).".GA=(1.——,—t-)»P^=(0»^x^*—)»BC=(—2,0,0).于是有前・PS=0,Bt•pB=o,所以怎丄丙，就丄商，荫,的夹角0等于所求二面角的平面角，cos^=cos^=所以所求二面角的大小为7：—arccos—【点拨】（1）二面角的求法应依题中条件灵活选取，本题采用了定义法和向量法求解.（2）注意二面角为钝角情形解题时的转化，使过程简捷些.六、课后作业与高考回顾：第69课时空间向量及其运算一、复习目标：理理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；了解空间向量的基本定理；掌握空间向量的数量积的定义及其性质；会用向量解决问题。二、知识要点：（一）、空间向量的概念，加法、减法和数乘二、共线向:》与共面向量如果表示空间向量的有向线段所柱的賣线互相平行或重介.则这些向量叫做共线向量或平行向量g平行于bMil作a//b.共线向量定上里：对于空间任意向量“，触&工&的充要条件是存在实数入异吏一推论：如果直线2为经过已知点AII平行于已知非冬向量a的直线，那么对任-点。，点P在直线I匕的充耍条件是存在实数I满足员=七丝-或写成？5^=工"十少也（其中z+.y—1）,特别当ST一y一时*oP=吉十ofi）.其中向量a叫做直线/的方向向量.3•共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a』共面的充要条件是存在实数対'乂・，■使P=gyb.推论♦空间一点P位于平面MAE内的充要条件是存在有序虫数对丁--V,使二才育一推论生对空间任一真。和不共线的三点A、£；、C.若石芦=乂625+》（龙+土1龙\11w+y+w=l，则尸、占、B、U四点:共面一三、平面向鼻:的基本定理平而向量的某本定理：如果三个向竜a.b,c不共面，那么对空间任一向量卩,存在一个唯一的有序实数组工,丿,2,使P=如+»+ac”推论:设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组工“，2・使前=工前+価+四、两向It的数鼻积已知空间两个向量a,氐则a"的数量积为:a・b=_|a||b|cosVa,其中Va,b〉表示向量a,b的夹角_，其范围为0£<a,b>g.空间向量的数量积具有如下性质a•e=|a|cos<a,e>；a丄a•b=0；|a12—a•a—_a?空间向量满足如下眨命律：(M)•b=X(a•b)=a•(AZ>〉;a•b=b•a；a•(b+c)=a•力+a•c.a在方方向上的射影:|b|•cos<a-b>.三、基本训练1-已知瓷间四边形ABUD*连纟吉设A4、G分别是BC^CD的中点，贝U直B+)等丁c?.st?(A)D.ZJ&［解析1A有taSi谜忑社.选A-2.已知牢间向量a、&、c,下列命题中，止硫的是a•b=a•c*l-laMO,贝［］h=ca•b~0贝!Ja2•b，=0a//b.则存在唯一的AeR,使得a—Aba、£>、c不共面*曰一加+妙+rc=0(入*“、厂WR)<贝(J入=A.若若若若

入Bua(D)//=厂=0K解析】对于A,只需cos<a,乃A=Ic|cos<a,cA展卩可.无需b=c^对于H^a2和护表示数，a?•表示两个数的乘积不一定1为0筝对于C*当b=Q时，结沦不正确；事实上，对于D•设a、b、c共面，贝U存在人，“ER使c—Aa▼艮卩存在入▼“，厂使人a十/4&-|-b=O,而a-,b9c不共面，M+rc=0,必须A~/jl=厂=0,选,D.3・若a、力为非零向量■则a•b=\a\•I是a与乃平行的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.非充分非必要条件、解析1若a・b=|a|・\b\.•**cos<a*=1<a♦—0,故a〃b、反之，若a〃4当<：<1,1>>=穴时•b——|a|•|b\,故选A.设G为△ABC的重心,O为△ABC所在的平面外一点.设苗=a，冼=b,^=c,试用。、方、表示石空=-y(a+b|-c).【解析】TG为△ABC的重心，.•.花=*(聒+忑芒〉，.•.况=前+眈=前+*恥+吉碇=龙+吉(筋_龙)+*(况-昂)=+(前+DB+冼>=*(a+b+c〉.已知空间四边形QWC,OB=OC，NAOB=ZAOC，则Q4与EC：的位置关系是OA丄EC.【解析】考虑前与就的点积.O\・就=前・(O^-OB)=oA.ot一oA.oS|oA|•||•cos/占oc一i0X|•|筋|•cos/AOB=0,.・・QA丄EC.四、例题分析：在四面体ABCD中，已知AE丄CD.AC丄ED,求证AD丄BC.【证明】设A衣=a,^E=b,A^=c,则就=b—«tCS—c—c—a.TAB丄CD,.•.筋•筋=0,即a•(c-b)=0,'.a•c=a•b.同理b•c=b•a.故A&•B^=c•(b—a)=c•b~c•a=b•a—a•&=0,••・AD丄BC.【点拨】利用数量积证垂直，合理选择基底，能使解题简单，如本题以向量曲，处，筋为一个基底，表示四面体各棱对应的向量，再利用向量垂直的充要条件，通过向量数量积运算进行证明简捷明了.两根垂直立于平面a上的长为6cm的竹杆AC和3D,垂足相距8m,现因外力作用，杆BD倾斜与平面a成30°角，但保持了BD丄AB.如图所示，求此时两杆顶端C、D之间的距离.【解析］VAC丄a,•••AC丄AB过点D作DD'丄a于D',则Z.DBD'=30°,<CA,Bb>=120°.・•・\cb\2=cB・cD=(c^+aS+bS)2=|CX|2+|aS|2+|bS|2+2CA・aB+2功•筋+2话•筋=62+82+62+2X6X6cosl20°=100,/.|CD|=10.故所求两杆顶端C、D之间的距离为10m.

已知E、F、G、H分别是空间四边形不ABCD边AE、EC、CD、DA的中点，如图所示：（1）用向量法证明E、F、G、H四点共乍护”（2）用向量法证明BD〃平面EFGH.（:（3）设M是EG和FH的交点，求证:对空间任一点O,有0【证明】（1）连结BG.则W-E2++y（BC+阪=0eB+b?-feS=e?+eS.故由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面.（2）•.•崩=处=*前_*陆=*（筋一畐）=*筋,:.EH//BD.又EHU面EFGH.BEK^面EFGH,・・.ED〃平面EFGH.（3）连结OM、OA、OE、OC、OD、OE、OG.由（2）知罚=令筋，同理代=*筋，••.崩=您即EHJLFG.:.EFQH为平行四边形，EG.FH交于一点M,且被M平分.••励=*（從+况）=典=*［*（前+筋）］+令［*（况+筋）］=*（前+筋+况十筋）.【点拨】（1）要证E、F、G、H四点共面•根据共面向量定理的推论，只要能找到实数使貳=工諦+，前即可.（2）要证线面平行，只需证这条线对应的向量与面内某向量共线即可，本题中证明了筋与前共线.（3）利用空间向量论证线面关系主要运用了共面、共线、平行的充要条件及有关向量的运算（加、减、数乘）•这是空间向量的主要应用之一，要重点掌握.五、课后作业与高考回顾：第70课时空间向量的坐标运算一、复习目标：掌握空间点、向量坐标的概念,熟悉空间向量的加法、减法、数乘与数量积的坐标运算,会运用空间向量的坐标运算解决立体几何中的有关问题.培养运算能力及解决问题的能力。二、知识要点：若OP二xi+yj+zk,那么(x,y,z)叫做向量OP的坐标，也叫点P的坐标.设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，那E么a±b=(x±x,y±y,z±z),a•b=xx+yy+zz,121212121212xx+yy+zzTOC\o"1-5"\h\zcos〈a,b〉二.—1212.x2+y2+z2x2+y2+z2y111222设M(x，y，z)，M(x，y，z)，11112222贝y|MM|=p(x—x)2+(y—y)2+(z—z)2.1**121212对非零向量a与b,有a〃boa=kb；alboa•b=0.三、考试要求掌握空间点、向量坐标的概念,熟悉空间向量的加法、减法、数乘与数量积的坐标运算,会运用空间向量的坐标运算解决立体几何中的有关问题.培养运算能力及解决问题的能力。四、基本训练在空间直角坐标系中，已知点PGtq,n),下列叙述中正确的个数是(C)①点P关于x轴对称点的坐标是P】,z)；②点P关于yOjc平面对称点的坐标是尸2(乂，一，，一*);③点P关于，轴对称点的坐标是尸3(工，一〃2)；④点P关于原点对称点的坐标是卩4(—&,—，,一Z).3B.2C.1D.0从点A(2,—1,7)沿向量a=(8,9,-12)方向取线段长=34,则点B的坐标为(C)(—9,—7,7)R(-9,-7,7)或(9,7,—7〉(18,17,-17)(18,17,-17)或(一18,—17,17)【解析】由及=34进行验证，只有C符合条件，故选C.已知a=(0,—1,1)』=(1,2,—1),则a与0的夹角为戲.【解析】由公式cos<a,j:|=—噜，得<a,b>=150°,已知<z=(l—z,l-M)』=(2,r,£),m\b-a\的最小值为3/5

向量b与向量a=(2,—1,2)共线，且满足a•”=18,(如+b)±(ka-b),则b=(4,一2,4)、k=士2.【解析】设&=(2A,-A,2A),则有4入+人+4人=18,・・・入=2』=(4,-2,4).又(畑+加・(忌一£0=0.°.(2上+4,—k—2,2怡+4)•(.2k—4,—怡+2,2&—4)=0=>9后一36=0.・°M=±2.五、例题分析：直三棱柱ABC—AB】C】的底面△ABC中，CA=CB=L,ZBCA=90°,棱AAi=2,M、N分别是的中点.求昴的氏；求cos<M,C氏〉的值；(的求证A】E丄GM.(3)依题意得G(0,0,2),M(y【解析】如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系(3)依题意得G(0,0,2),M(y依题意得B(0,1,0),N(l,0,l)・・・|航|W.(2〉由条件易知A】(1,0,2),8(0.1,0),C(0,0.0),S(0,l,2)..•.翫=(1,一1,2),南=(0,1,2).豆疋・CS[(*,*,0),・••兀■百・而衍=0,・•・4B丄C]M.7.正三棱柱ABC—A5G的底面边长为a.侧棱长为屈.(1)建立适当的坐标系，并写岀点A、B、A】、G的坐标；(2)求AG与侧面所成的角.【解析】(1〉如图，以人为坐标原点、,AE所在直线为Oy轴，AA所在直线为6轴，以过A且在平面A23C内垂直于AB的JL线为Ox轴，建立空间直角坐标系，由已知得A(0,0,0),E(0,a,0),Ai(0,0a)*G(*~宇a，号，庖a).取中点M,则M(0,号,屁),连结AM.MQ.则有AfC^(—哼a,0,0),A§==(0,a,0),A^i=(0,0,y^a),由于磁・陆=0,碗•兀石=0.•.MG丄面A3B1A1.

•・AG与AM所成的角就是AG与侧面ABBA]所成的角..•疋=(一噜a,号，息/)•花=(0.号,屁)，，：AC^•A^—-^-a2,而|AtTI=4^>q、IA向=*|~a.cosVAC^,A/^>=—-―-—=嗥，•:<ACj,A^T>=30°,TOC\o"1-5"\h\zy/^a•~^a~故AG与侧面ABB}A,所成角为30°.&(2006湖南卷)如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别证明PQL平面ABCD；——够求异面直线AQ与PB所成的角；\\求点P到平面QAD的距离.\\Z【解析】(1〉连结4C,BD,设ACP[BD=SO.VP-ABCD与Q—ABCD都是J正四棱锥，・•・PO丄平面ABCD,QOIf丄平面ABCD.从而P、O、Q三点在—条直线上・•••PQ丄平面ABCD.由题意知ABCD是正方形，.•.AC丄ED.又由(1)知PQ丄平面’\\:卩)ABCD.故可分别以CA.DB.QP所辿/在直线为工轴、，轴、z轴建立空间M直角坐标系(如图)，由题设条件得P(O,O,1),A(2/2,O,O),Q(0,0,—2).B(0,2Q・0)..\A$=(-272,0,-2).P5=(0,272,-1).于是cos<A5，p£>=-^^--^^y=^.从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos⑶由(2)知D(0,—2a/2,0),aB=(—2/2,—2血,0),凤=(0,0.—3),设n=(jr,y,N)是平面QAD的一个法向量，由•••P到平面QAD的距离”=畔："；=專【点拨】解立体几何题的切入点有二：一是采用几何法，二是采用向量法，但原则是求简，如本题(1)用几何法简单，而(2)(3)则用向量法简捷.六、课后作业与高考回顾：第71课时空间角、复习目标：理解和掌握异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的概含，掌握求空间

角的方法、步骤，熟练掌握空间角向平面角的转化技巧。二、知识要点：一、空间中的角空间中的角包括两条异面宜线所成的角、直线与平面所成的角及二面角,这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定量分析的重要概念,它们都可以看成是角的概念在空间的拓广，其计算方法都是转化为平面内线与线所成的角来计算的，另外，还可以考虑利用向量知识来求解.二、空间角的求法求异面直线所成的角，一般方法是平移法和向量法，但有时涉及垂直条件时,可利用三垂线定理来确定.直线与平面所成的角的求法有:①定义法，即转化为求直线与直线在平面内的射影所成的角;②公式法，即利用公式COS&=COS01•co辺来计算;③向量法，利用公式sina=M・“laHnf-二面角的大小用平面角来度量,作二面角平面角的方法有定义法、三垂线定理法、垂面法.此外，求二面角的大小还可以用射影面积法:=S•cosO以及向量法求解.三、基本训练面直线AE与GF所成的角是A.arccosC.arccosB.D.1.(2005福建卷)长方体ABCD—AiBiCiDi中,AA】=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD面直线AE与GF所成的角是A.arccosC.arccosB.D.【解析】解法一：(平移法)平移AE至EiG,连BF.则ZBGF为A】E与GF所成的角或其补角.又丑2=血,£』=75,GF=箱，・・・BF=DG24-GF2,ZbGF=90°.故所成角为90°.选D.解法二：(向量法)以D为原点，DA、DC、DD分别为,弘2轴建系，易得EC=(l,0,l),^=(1»—1,—1).EAi•Gp=0,故E石丄费.从而选D.2.如图，正三棱锥A-BCD中，E、F分别为BD.AD的中点，EF_LCF,则直线与平面ACDB

所成角为所成角为（D）A.30°B.60°C.arctanD.45°【解析】作（找）垂线，连射影，找平面角.•••A—BCD为正三棱锥…•.对棱AB±CD,又AB//EF,EF±CF,AAB丄CF,从而AB丄平面ACD.ZADE为BD与平面ACD成的角.VZBAD=90\AB=AD,AABD为等腰Rt△，化NADB=45°,故选D.（2006四川卷）已知二面角a—1—p的大小为60°,加“为异面直线，且观丄0,"丄0,则加、"所成的角是（B）A.30°B.60°C.90°D.120°【解析】平移法，在"上取不在0内的一点P,作PA//m,交a于A,则PA±a.设心于在”内作BO丄Z于O,连结CM,则ZBQA=60°,/.ZAPB=120°,从而m.n所成角为60°.选B注：本题易错选为D,主要原因是忽视异面线所成角的范围是（0\90°1设直线与平面所成的角的大小范围为集合A,二面角的平面角的大小范围为集合B,异面直线所成角的大小范围为集合C,则A、£、C的包含关系为C笑A笑E.【解析ITA=[0°,90°],B=[0°,180°],C=（0°,90°],故C^A—条直线与直二面角的两个面所成的角分别是a和0,则"+0的范围是「0°,90°].【解析】当直线和两平面平行或在其中一个面内平行另一平面时a+片0°,当直线垂直一平面，平行或在另一平面时&+0=90。，当直线和两平面都斜交时,a+医90°.故a+0W[O°,9O°].c四、例题分析：在平面几c四、例题分析：在平面几何中有如下特性:从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值.类比上述性质，请叙述在立体几何中相应的特性.【解析】相应的特性有：①从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的距离之比为定值.②从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的距离之比为定值.③在空间，射线OD上任意一点P到射线OA、OB、OC的距离之比不变，等等.【点拨】平面几何中的一些定理、结论，在立体几何中仍然成立，同时，还有一些结论可以类比推广到立体几何中来，一般地.推广对应关系有：线f面；角—二面角等.已知ZBOC在平面a内，OA是a的斜线，若ZAOB=^AOC=60°,OA—（）B=OC=a,BC=>/2a，求OA和平面a所成的角.【解析】解法一：如图，设AH丄为垂足，连OH,则ZAOH为OA和//1\\平面a所成的角.\的平分线./XfT/-又OB=OC=a.BC=^2a,___■»»,,1/・•・△BOC为等腰RtA.ZBOH=45°,过A作AD丄OB于D,连接DH,则DH丄OB,在RtAADO中，ZAOD=60°,QA=“,・•・OD=号,故在Rt/XODH中,OH=哆“，cosZAOH=警',ZAOH=45°,即AO与a所成角为45°.解法二：由公式cosz^AOB—cos^AOH•cos^/JDOH.得cos60°=cosZAOH•cos45°.•••cosZAOH=^，ZAOH=45°.即AO与a所成角为45°B&(2006广东卷)如图所示*F、DE分别是00.00)的直径,AD与两D圆所在的平面均垂直,AD=8,BC是。O的直径,AB=AC=6,OE//AD.B求二面角B-AD-F的大小；4民求直线BD与EF所成的角.【解析】(1)TAD与两圆所在的平面均垂直，・•・AD丄丄AF,故ZBAF是二面角E-AD-F的平面角，依题意可知,ABFC是正方形，所以ZBAF=45°.即二面角B-AD-F的大小为45°.0+18+64782(2)解法一：以O为原点，BC、AF、OE所在jL线为坐标轴，建立空间直［)角坐标系(如图所示)，则0(0,0,0),A(0,-3/2,0),5(372,0,0).0(0,-3血,8),E(0,0,8),F(0,3^,0)所以,b5=(-372,-3^.8),F&=(0・一3屈8)cosV处游>=|韶：焉厂加％念=乔设异面直线与EF所成角为a,则cosa=|cos<CBB,EF>I=直线BD与EF所成的角为arccos警.0+18+64782解法二:连接0D,则OD〃EF,则Z.ODB为异面直线BD与EF所成角.在RtAABD中,ED=/AD2+AB=10,(24=3^=03又OE丄OD,...cosZODB=彳|^为所求.五、课后作业与高考回顾：

第72课时空间中的距离一、复习目标：1．理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，点到平面的距离，直线和平面的距离，两平行平面间的距离；2．掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化．二、知识要点：一、空间中的距离两点间的距离:连结两点的一缠_的长度.点到直线的距离：从宜线外一点向直线引垂线，点到垂足之间线段的长度.点到平面的距离：自点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度.平行直线间的距离：从两条平行线中的一条上任意取一点向另一•条直线引垂线,这点到垂足间线段的长度.异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度.直线与平面间的距离：如果一条直线和一个平面平行，从这条直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度.两平行平面间的距离:夹在两个平行平面之间的丄垂线段的长度.二、距离的求法和步骤求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤是:一作:作出或找出有关距离的图形，二证：证明它符合定义；三算:在平面图形内计算.空间中各种距离的计算•最终都要转化为线段长度，采用直接法求解，但待殊情况可采取间接法，如利用等体积法或转移法求解.另外向量法也是求距离的一种有效方法•其中点到平面的距离是基础•线面距离、面面距离都可以化归为点面距离来求.三、考试要求掌握空间中各种距离的概念及求法，并能运用上述概念进行认证和解决有关问题，对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离。四、基本训练TOC\o"1-5"\h\z1.（2005湖南卷）如图，正方体ABCDd-AibGD的棱长为1,0是底A面的中心，则O到平面ABC,D,的距离为（B）A-ib.普C.乡D.爭.4迟A、B是直线2上两点,AB=4,AC丄/于A,BD丄/于B,AC=BD=3,又AC与BD成60°角，则C、D两点间的距离是（B）

.4迟A.5C./43A.5C./43D.5或7【解析】(向量法)•・•|筋$=命=(苗+曲+筋尸=CX2+aS2+訪+2cX・Afi+2aS•bD+2cA・b5=cA2+aB2+B&+2CX・Bb=32+42+32+2X3X3cos<c5»b6>=34±9.・・・|筋|=5或皿.【点拨】本题易错点为：V汝，筋>=60°或120°,发散点为异面直线的距离公式.3.(2004重庆卷)设P是60°的二面角a—l—g内一点,PA丄a,PB』0,A、B分别为垂足，P4=4,PB=2,则AB的长为A.273B.2站C.2V7D.4/2［解析】垂面法作二平面的平面角•设过PA.PB的平面分别与a、B交于AC.BC,且CG2,则ZACB为aT—R的平面角.且ZACjB=6O°.从而ZAPB=120\A在/XPAE中，有AB-/42+22-2X4X2cosl20°=2V7.选C.【点拨】本题发散点为：如何求P到Z的距离？正方体AECD—AiBGD的棱长为s点E、F分别是BiCi、13B的中点，则：点A到直线EF的距离为呼a.直线EF与CD间距离是弓2q•⑶直线EF与平面DAG的距离是普a•(4)平面ABtDi与平面C.BD间的距离是ya.【解析】直接作出符合条件的距离求解•ofo所求距离为等腰Z\AiEF的高方=—^a.取EF中点G,连CG,则CG为异面直线EF与CD的公垂线段.且CG-=^a易知EF〃平面DiAG，过E作EH丄_BG于H.TDG丄平面EBiGC,二DC】±EH,故EH丄平面/oDiAG.从而EF与平面DiACi的距离为EH=〒仏V平面ABD〃平面GBD,连AiC,设AC分别与平面AB.D,和平面QBD交于O，Q,则0,01为所求距离，且

五、例题分析：TOC\o"1-5"\h\z如图，在正三棱锥P-ABC中，侧p棱长为3,底面边长为2,E是EC/\\的中点,EF丄PA于F.久I\求证：EF为异面直线PA与/、、、、、［\BC的公垂线段；•人《:二：卜::少c求异面直线PA与BC间的距离.【解析】(1)连结AE、PE.•・•E是BC的中点…・・EC丄AE,bC丄PE,故BC丄平面PAE,AEC丄EF,又EF丄PA.故EF为异面直线PA与BC的公垂线段.(2)作PO丄平面ABC于O,则O是△AEC的中心.二OEAE,且AE=曹A£=〃,AO=響,PO=^^.又由(1)知EF是PA与BC的公垂线段，由PO•AE=PA•KF得EF=两异面直线PA与BC间的品巨离•点拨［对于异茴直线的距离，高考中只要求会计算巳给出公垂线时的距离.6.如图，ABUD是平行四边形，其中人5=5』兀)=4,貝0=3,将厶政力沿BD翻折，使C到且二面角C'—BE)—八为120。，求：到面的距离；<2>cr到賣线AB的距离一•解析J<1>由条件知，^ADB=^IDBC=90。”翻折后^DBCf仍为90°,丄平面CTBC,面CfBC_L面ABZZJeL^C^BCJ=60°,.•-£\CfBC为JE■三角形，点U柱面BCD内的射影■洽为边^<2的中点E.-.*£0=3*.•.C'£?=^3.即ABD的JE巨离为号③•<2)it左在面内作EH_LAB于H,由条件炉H在A£t的延长线上，连结UH,曲三垂线定理有丄A_B,J.UfJ为.虽U劃AB的卫巨离'作DF丄AB于K,则Z3F=™,E为EC中点…-•EH=令DF=.减在Rt^CfEM中，UH=/UK2+EH2=3(T到立践AB的卫巨离为3L点拨】直接法求距离的关键柱于确定垂足的位置，解题时*应充分利用特殊图形的性质，来确定图形的位置关系，具体而言：点到线的距离，常用三垂线定理确定垂足位置,点到平面的距离可利用图形特点或利用两平面垂直的性质确定垂足的位置.

7.如图，已知ABCD为边长是4的正方形,E、F分别为AB.AD的中点，PC丄平面AECD,冃PC=2,求点B到平面PEF的距离.【解析】解法一：(转移法〉ED〃平面PEF,连结BD.AC,设其交点为(),则点O到面PEF的距离等于B到面FEF的距离.又设.ACDEF=H，连结PH.'：BD丄AC,.•・EF丄HC,又PC丄平面ABCD.:・EF丄PC,故EF丄平面PCH.平面PEF丄平面PCH于PH,作OK丄PH交PH于点K,故OK的长为所求距离，由条件知AC=472,HO=72,HC=3/2.・■・在RtZXPCH中，PH\/(3血)2+22=履，由于RtAHOKcoRtAPCH,.\OK==弩严.即B到平面PEF的距离为27TT11*解法二：(等积法)由Vp-H-B=Vb-pef可求得£到平面PEF的距离为乙#解法三：(向量法)以C为原点・CD,C£,CP所在直线分别为•r、y、＜轴，建立空间直角坐标系，则B(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),P(0,0,2).设”=Q,y,z)是平面PEF的一个法向童，则n•戸片=4工+2，一2z=0,”•Pj^=2r+43/~2z=0,令jr=l,得y=1,z=3.取n=(l,1,3),而E5=(—2,0,0),.・./=辱严=台华1为所求.【点拨】(1)点到面的距离求法应根据条件来灵活选取.(2)点到面的距离的向*法公式：P到a的距离d="L其中A€a,”为a的一个法向量.六、课后作业与高考回顾：第73课时棱柱一、复习目标：理解棱柱的有关概念,掌握棱柱的性质,能正确画出直棱柱、正棱柱的直观图.二、知识要点：―、棱柱的概念与性质棱柱的概念：如果一个多简体有两个面互相平行,而其余毎相邻两个面的交线互相平行”这样的多面体叫做棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面：两侧面的公共边叫做核柱的侧棱；两个底面所在平面的公垂线段叫做棱林的高.侧棱不垂直于底面-的棱柱叫做斜棱柱；侧棱乘直于一.底面的棱柱叫做直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱一棱柱的性质（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形.所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.（2）棱柱的网个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形-（3）过橈柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.二、特殊的四棱柱有关概念：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱.侧棱与底面垂白的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫做长方体.棱长都相等的长方休叫做用方体.有关性质：平行六面体的对角线交于「点，并且在交点处互相平分;长方体的「条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平万和.3一葭截面：与侧棱垂直的棱柱的截面-三、棱柱的有关计算$宜檯rtflw=[Sj周长（C〉X高（7z）;S燧卄删=_直截面周K：（L）x狈©棱氏帛s全=s恻+S底;V棱柱=底面积（S）X高（Q-直截面面积（S'）X侧棱长（Z）.三、基本训练1-下列命题中，正