高中函数概念

学习重点：理解函数的概念；教学难点：函数的概念”一、复习引入：初中(传统)函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量X和y,如果对于x在某一范围内的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就称y是x的函数，x是自变量。2•初中已经学过的函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等一问题1：y=1(xeR)是函数吗？x2..问题2：y=x与y二二是同一函数吗？x二、新课讲解观察对应：1.函数的定义：设A,B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:ATB为从集合A到集合B的函数，记作y—/(x)，xeA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数y二f(x)的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)lxeA)(匸B)叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y二f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).已学函数的定义域和值域一次函数f(x)=ax+b(a丰0):定义域R,值域R；反比例函f(x)=—(k丰0):定义域｛xIx丰0),值域(xIx丰。｝;x二次函数f(x)=ax2+bx+c(a丰0):定义域R值域：当a>0时，|yIyn°a；加］当a<0时'卜Iy<气冷3•函数的三要素：对应法则f、定义域A、值域｛f(x)IxeA｝注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数一4•函数的值：关于函数值f(a)例：f(x)=x2+3x+l则f⑵二22+3X2+1=11注意：1?在y=f(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样.2?f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”+3?f(x)与f(a)是不同的，前者为变数，后者为常数•区间的概念和记号设a,beR,且a<b.我们规定满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］；满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；满足不等式a<x<b或a<x<b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为［a，b),(a，b］.这里的实数a和b叫做相应区间的端点在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：这样实数集R也可用区间表示为(-g，+“g”读作“无穷大”，“-g”读作“负无穷大”，“+g”读作“正无穷大”•还可把满足x>a，x>a，x<b，x<b的实数x的集合分别表示为［a,+0),(a,+g)，(-0,b］，(-0,b).求函数定义域的基本方法如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数•分段函数是一个函数，而不是几个函数.复合函数：设f(x)=2x?3，g(x)=X2+2，则称f[g(x)]=2(x2+2)?3=2x2+l(或g[f(x)]=(2x?3)2+2=4x2?12x+ll)为复合函数三、例题讲解例1•求下列函数的定义域：①f(x)=:②f(x)=v'3x+2:③f(x)=px+1+—x-22-x例2已知函数f(x)=3x2-5x+2，求f(3),f(-込),f(a+1).例3下列函数中哪个与函数y二x是同一个函数?{-x)；(2)y二3x3;(3)y=、：x2例4.下列各组中的两个函数是否为相同的函数?①=(x+3)(x-5)=x-51x+32②yi=、；x+1、•：x-1y2=丫(x+1)(x-1)③/(x)=G-；2x-5)2f2(x)=2x-5'0(x<0)例5•已知f(x)=<冗(x=0)，求f(-1),f(0),f(1),f{f[f(-1)]}、x+1(x>0)例6.已知f(x)=X2?1g(x)二<x+1求f[g(x)]例7.求下列函数的定义域:x+1|-2①f(x)=t飞4-x2-1②f(x)x+1|-2③f(x)④f(x)=n1)0I+斗vlx1+-x⑤y=Q|x注：求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况:若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.I1例8.若函数y=Jax2-ax+-的定义域是R,求实数a的取值范a例9•若函数y二f(x)的定义域为［?1，1］，求函数y=f(x+-)•f(x--)的定义域"44例10・已知f(x)满足2f(x)+f(-)=3x，求f(x)；x例11.设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3),求f(x)的解析式.四、课后练习1•求下列函数的定义域：(1)f(x)=(2)f(x)=*：1一x-、、：x-1x+12.已知f(x)=丄,则函数'［f(x)］的定义域是？x+13•设f(x)的定义域是[?3,<2]，求函数/(仁-2)的定义域”已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x?l,求f(x)的解析式+若f(、.：x+