2022年全国统一新高考数学试卷(全国Ⅰ卷)

2022年全国统一新高考数学试卷(全国Ⅰ卷)

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为 (

) A.1.0×109m3

B.1.2×109

m3 C.1.4×109m3

D.1.6×109

m3

二、多项选择题9.已知正方体ABCD

-A1B1C1D1,则 (

) A.直线BC1与DA1所成的角为90° B.直线BC1与CA1所成的角为90° C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【答案】ABD【解析】如图,连接B1C,由A1B1∥DC,A1B1=DC,得四边形DA1B1C为平行四边形,可得DA1∥B1C,∵BC1⊥B1C,∴直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确;∵A1B1⊥BC1,BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面DA1B1C.而CA1⊂平面DA1B1C,∴BC1⊥CA1,即直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确;

10.已知函数f(x)=x3-x+1,则 (

) A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

11.已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 (

) A.C的准线为y=-1 B.直线AB与C相切 C.|OP|·|OQ|>|OA|2

D.|BP|·|BQ|>|BA|2

14.写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程

.

15.若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是

.

解:(2)连接AB1,交A1B于点E,∵AA1=AB,∴四边形ABB1A1为正方形.∴AB1⊥A1B,又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,∴AB1⊥平面A1BC,∴AB1⊥BC.由直三棱柱ABC-A1B1C1知BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥BC,又AB1∩BB1=B1,∴BC⊥平面ABB1A1,∴BC⊥AB.

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

不够良好良好病例组4060对照组1090

不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200

22.已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.(1)求a的值;(1)解:由题可知,f(x)的定义域为R.∵f(x)=ex-ax,∴f'(x)=ex-a.若a≤0,则f'(x)>0,f(x)无最小值,故a>0.当f'(x)=0时,x=lna,则当x<lna时,f'(x)<0,函数f(x)在(-∞,lna)上单调递减;当x>lna时,f'(x)>0,函数f(x)在(lna,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(lna)=a-alna.

22.已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

∴x≥1时,f(x)>g(x).∵f(0)=1,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;g(1)=1,函数g(x)在(0,1)上单调递减,∴函数f(x)与函数g(x)的图象在区间(0,1)上存在唯一交点,设该交点为M(m,f(m))(0<m<1).此时可作出函数y=f(x)和y=g(x)的大致图象(如右图所示),由图象知当直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点时,直线y=b必经过点M(m,f(m)),即b=f(m).∵f(m)=g(m),所以em-m=m-lnm,即em-2m+lnm=0.令f(x)=b=f(m)得ex-x=em-m=m-lnm,解得x=m或x=lnm,由0<m<1,得lnm<0<m;令g(x)=b=f(m)得x-lnx=em-m=m-lnm,解得x=m或x=em,由0<m<1,得m<1<em,∴当直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点时,从左到右的三个交点的横坐标