2023年考研数学二真题及答案

202３年考研数学二真题一、选择题(１~10小题，每小题４分,共40分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目规定的。）当x→0+时,与(A）1-e-x(Ｃ)1+x-1(D【答案】B。【解析】(当ln1+xex~-x几个不同阶的无穷小量的代数和,其阶数由其中阶数最低的项来决定。综上所述，本题对的答案是B。【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较函数fx=(e1(A）0(B)１(C)-π2(D【答案】A。【解析】A：由limx→limx→limx→所以x=0是fx的第一类间断点B：limC：limＤ:lim所以x=1,x=±π2综上所述,本题对的答案是Ａ。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型如图，连续函数y=f(x)在区间-3,-2,[2,3]上的图形分别是直径为１的上、下半圆周，在区间-2,0,[0,2]上的图形分别是直径为２的下、上半圆周,设(A)F（B)F（Ｃ)F(D)F-3-2-10123-3-2-10123y=f(x)xy【答案】Ｃ。【解析】【方法一】四个选项中出现的F(x)在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义拟定F3F2F-F-则F【方法二】由定积分几何意义知F2>F3又由f(x)的图形可知f(x)的奇函数，则FxF显然排除(Ａ)和(Ｄ),故选(C）。综上所述,本题对的答案是C。【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质,定积分的应用设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是(A）若limx→0f(x)(B)若limx→0f（C）若limx→0f(x)x(D）若limx→0fx【答案】D。【解析】(A)：若limx→0f(x)x存在,由于limx→0x=0,则limx→0f(x)=0,又已知函数f(x)在(B）：若limx→0fx+f(-x)x存在，则(C)limx→0f(x)x存在，知则f'(0)存在,故（C)对的(D)lim不能说明limx→0例如fx=|x|在x=0limx→0fx-f(-x)x存在,但是f'(0)综上所述，本题对的答案是D。【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念曲线y=1(A）0(Ｂ)1（C）2（D)３【答案】D。【解析】由于limx→0则x=0是曲线的垂直渐近线；又limlim所以y=0是曲线的水平渐近线；斜渐近线:由于-∞一侧有水平渐近线,则斜渐近线只也许出现在+a=lim=0+b=lim==则曲线有斜渐近线y=x,故该曲线有三条渐近线。综上所述，本题对的答案是D。【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线设函数f(x)在(0,+∞)内具有二阶导数,且f''x>0(A)若u1>u2，则{un}必收敛(（C)若u1<u2,则{un}必收敛(【答案】Ｄ。【解析】【方法一】图示法:由f''x>0，显然，图１排除选项(A),其中un=fn→-∞;图2排除选项(B）;图３排除选项（Ｃ）,其中unyu1yu1xO12yu1xO12yu1xO12ﻩ图1图2图3【方法二】排除法:取fx=(x-2)2,显然在(0,+∞),f''x=2>0取fx=1x,在(0,+∞)上,f取fx=ex,在(0,+∞)上,f''x>0,且f1=e【方法三】由拉格朗日中值定理知u当n>2时，f由于f''x>0,且ξ>cf则有un综上所述,本题对的答案是D。【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充足条件是limlimx→0flimlimx→0[【答案】C。【解析】由lim(x,y)→(0,0)limx→0f即f'x0,0从而lim=根据可微的鉴定条件可知函数f(x,y)在点(0,0)处可微综上所述,本题对的答案是C。【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分,全微分存在的必要条件和充足条件设函数f(x,y)连续,则二次积分π2(A）01(Ｂ)（C)01(D)【答案】B。【解析】互换积分顺序,已知π20<综上所述,本题对的答案是B。【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算设向量组α1,α（Ａ)α(Ｂ)α(Ｃ)α(D)α【答案】A。【解析】(A):由于(α1所以向量组α1-（B):αC=由于α1,α2,α由于=2≠0，故知α1+（Ｃ)：(10-2-2（Ｄ):α=9≠0，同理α1综上所述，本题对的答案是A。【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关设矩阵A=2-1-1-1(A)协议,且相似(B)协议，但不相似(C）不协议，但相似(D)既不协议，也不相似【答案】Ｂ。【解析】根据相似的必要条件:aii=bii，易得A协议的充足必要条件是具有相同的正惯性指数、负惯性指数。由λ知矩阵A的特性值3,3,0．故二次型xTAx的正惯性指数p=2，负惯性指数q=0,而二次型xTBx也是正惯性指数p=2综上所述，本题对的答案是B。【考点】线性代数—二次型—二次型及其矩阵表达,协议变换与协议矩阵二、填空题(本题共６小题，每小题4分，满分24分)limx→0arctanx-sinx【答案】-1【解析】【方法一】limx→0==【方法二】泰勒公式：sinx=x-arctanx'arctanx=x-xlimx→0=【方法三】limx→0=综上所述,本题对的答案是-1【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—洛必达法则，泰勒公式曲线x=cost+cos2ty=1+sint上相应于【答案】1+【解析】切线斜率k=t=π4所以相应的法线斜率为1综上所述,本题对的答案是1+【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念,导数的几何意义和物理意义设函数y=12x+3,则y【答案】(-1)n【解析】【方法一】先求一阶导数，二阶导数,归纳总结n阶导数则y=yy由此可归纳得到y则y【方法二】运用幂级数展开,为求yn0将y=12x+3在x=0处展开为幂级数,则其展开式中x的n次幂项的系数为12x+3=所以y推出y综上所述,本题对的答案是(-1)n【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数二阶常系数非齐次微分方程y''-4y'【答案】y=C1e【解析】相应齐次方程的特性方程为λ则相应齐次方程的通解为y=设原方程特解为y*4所以原方程的特解为y故原方程的通解为y=C1ex综上所述,本题对的答案是y=C1ex【考点】高等数学—常微分方程—简朴的二阶常系数非齐次线性微分方程设f(u,v)是二元可微函数,z=f(yx,【答案】-2(【解析】运用求导公式∂z∂x=所以x综上所述,本题对的答案是-2(【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念与计算设矩阵A=0000【答案】１。【解析】由于A所以rA综上所述,本题对的答案是1。【考点】线性代数—矩阵—矩阵的乘法，矩阵的秩三、解答题(本题共8小题,满分8６分。解答应写出文字说明、证明过程或演算环节)（本题满分１0分）设f(x)是区间[0,π4]上单调、0其中f-1是f的反函数，求【解析】等式0f(x)f-1f即x则f由原题设知0由于f(x)是区间[0,π4]上单调、可导函数,则f-1(t)的值域为[0,f所以f【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数（本题满分１1分）设D是位于曲线y=xa-x求区域D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(当a为什么值时，V(a)最小，【解析】旋转体体积为Va==πV'令V'a=0,当1<x<e时,V'a<0,当a>e时，V'a>0,所以a=e时，旋转体体积最小，最小体积为V【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用（本题满分１0分）求微分方程y''x+y【解析】设y'=p,则y则dpdx=xp+p得x=结合y1=1，所以y=【考点】高等数学—常微分方程—可用简朴的变量代换求解的某些微分方程,可降阶的高阶微分方程（本题满分1１分）已知函数f(u)具有二阶导数,且f'0=1,函数y=y(x)由方程y-x【解析】在y-xey-1=1中令方程y-xey-1=1yx=0，y=1代入上式得上式两端再对x求导得-可得y又d则dd2d【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所拟定的函数的微分法（本题满分1１分）设函数fx,g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数，且存在相等的最大值【解析】【方法一】令Fx=f设fx,g(x)在(a,b)内的最大值为M，若α=β,取到η=α若α≠β,FF此时,由连续函数介值定理知在α,β之间至少存在点η,F综上所述,存在η∈a,b，使得由罗尔定理知，存在ξ1∈a,η再由罗尔定理知，存在ξ∈(ξ1,【方法二】用反证法证明存在η∈a,b，使得F假设不存在η∈a,b,使得Fη=0,则由F(x)的连续性知对于一切x∈设Fx>0，设g(x)在x0∈a,b取到最大值,则Fx0=fx0-gx存在η∈a,b,使得所以由罗尔定理知，存在ξ1∈a,η再由罗尔定理知,存在ξ∈(ξ1,【考点】高等数学—一元函数微分学—微分中值定理(本题满分11分)设二元函数fx,y计算二重积分Df(x,y)dσ【解析】由于被积函数关于x,y均为偶函数，且积分区域关于x,y轴均对称,所以Df(x,y)dσ=4D而D1=0=1所以D【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算（本题满分11分）设线性方程组x1+x2+x3=0与方程x1+2x2+x3=a-1有公共解,求a的值及所有公共解。【解析】【方法一】方程组有公共解,即为将两个方程联立的解x1+x2+x3=0x对联立方程组的增广矩阵进行初等行变换，有A→已知方程组有解,所以应有aa=1时，此时,公共解为:x=k-10a=2时，此时,有唯一的公共解为x【方法二】先求方程组=1\*ＧＢ3①的解,其系数行列式为1111当a≠1,a≠2时,方程组＝1\*GB3①只有零解，但此时x=(0,0,0)T不是方程=2\*GＢ3②的解,所以公共解发生在a=1或a当a=1时，对方程组=1\*GB3①的系数矩阵进行初等行变换→方程组＝1\*ＧB3①的通解为x=k-101,其中k此解也满足方程组=2\*GB3②，所以此时方程组=1＼*GB3①和=２\*GB3②的公共解为x=k-101,其中k为任意常数。当a=2时,同样求方程组=1\*GB3①的通解→方程组=１\*GB3①的通解为x=k0-11,其中k将其代入方程组=2\＊ＧB３②中得：0+2-得k=-1,因此此时方程组=１\*GB3①和=2\*GB3②的公共解为x=01-1【考点】线性代数—线性方程组—齐次线性方程组的基础解系和通解,非齐次线性方程组的通解（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A的特性值为λ1=1,