2021年中考数学试题解析分类汇编09一元二次方程及其应用

12121112121121122021年中数学试解析分汇编09元二次程及其应一选题（2020广第8题关x的元次方程

﹣3x+=0两个不相等的实数根，则实数的值范畴为（）A．

B．

C．

D．考点：根判别式．专题：运题．分析：先照判别式的意义得=（﹣）

﹣4＞，后解不等式即可．解答：解依照题意eq\o\ac(△,得)（）﹣4，解得m．故选．点评：本考查了一元二次方程ax2bx（≠0）的根的判别式eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)b2

﹣：eq\o\ac(△,当)0方程有两个不相等的实数根；eq\o\ac(△,当)=0，方程有两个相等的数根；eq\o\ac(△,当)，方程没有实数根．（2020广玉林市防城港市第3分x是于的元次方程2m﹣的个实数根，是否存在实数使

+成？则正确的是结论是（）A．=0时立

B．=2时立

C．或2成立

D．不存考点根与系数的关系．分析先由一元二次方程根与系的关系得出x+xm，x=﹣2．假设存在实数m使+成，则

=0，求出=0，再用判别式进行检验即可．解答解：∵，是于x的元二次方程﹣mx+﹣两个实数根，∴x+m，x﹣．

121112112111211212假设存在实数∴，∴=0．当m=0时方程x∴=0合题意．故选．

+=0成立，则﹣mxm﹣2=0即为x

，﹣，现在eq\o\ac(△,)＞，点评本题要紧考查了一元二次程根与系数的关系：假如x，x是程++q=0的根时，那么x+x﹣，x．新*****年天津市10题3分要组织一次排球邀请赛赛的每个队之间都要竞赛一场，依照场地和时刻等条件，赛程打算安排天每天安排4场赛．设竞赛组织者应邀请x个队参赛，则满的关系式为（）A．x（x）=28

B．x（x﹣）C．（+1）=28D．x（﹣1）考点：由际问题抽象出一元二次方程．分析：关式为：球队总数每球队需赛的场÷，把相关数值代入即可．解答：解每支球队都需要与其他球队赛﹣1）场，但2队之间只有1竞赛，因此可列方程为：x（x﹣1）．故选B．点评：本考查了由实际问题抽象出一元二次方程本的关键是得到竞赛总场数的等量关系，注意2队间的竞赛只有1场最后的总场数应除以．年云南省，第5题3分一元二次方程x2﹣﹣的是（）A．

x，=2B．=1=﹣．﹣，x=2D．=﹣1x=2考点：解元二次方程因分解法．分析：直了当利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根

1211212解答：解x

﹣x﹣（x﹣）=0解得：x=﹣1x=2．故选：D点评：此要紧考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．四川自贡，第题）一元二次方程x﹣x的的情形是（）A．有两个不相等实数根C．有一个实数根

B．有个相等的实数根D．有数根考点根的判别式．分析把，=﹣，代入eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)b24ac进行运算，依照运算结果判定程根的情形．解答解：∵a=1，=﹣4，∴eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)2

﹣4ac（）﹣4×1×5=＜，因此原方程没有实数根．故选：D点评本题考查了一元二次方程ax2bx+=0a≠0，，，c为数）的根的判别=2﹣．当△0方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；当△＜，方程没有实数根．（2020·云南昆明，题3分已知

、

是一元二次方程

x

的两个根，则

x

等于（）A.

B.

CD考点：一二次方程根与系数的关.分析：依照一元二次方程两根积与系数关系分析解答．解答：

解：由题可知：故选C．

cab，a1点评：

本题考查一元二次方程

bxa0)

根与系数的关系．（2020·南昆明题果园2011年水果产量为吨年果产量为

2222222吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设果园水果产量的年平均增长率为意可列方程为（）x)100144A.x)100Dx)144C考点由实际问题抽象出一元二方程．分析果园从2011年到年果产量问题，是典型的二次增长问题．解答解：设该果园水果产量的平均增长率为，题意有x)2144，故选．

x

，则依照题点评此题要紧考查了由实际问抽象出一元二次方程，明白得二次增长是做本题的关键．•江宁波，第9题4分已知命“关于x的元二次方程2

+bx，当＜必有实数解，能说明那个命题是假命题的一个反例能够是（）A．b﹣考点：专题：分析：解答：点评：

Bb=2Cb﹣2Db=0命题与定理；根的判别式常规题型．先依照判别式得到eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)﹣，满足b＜的提下，取b﹣1得到△＜，依照判别式的意义得到方程没有实数解，因此b﹣作为说明那个命题是假命题的一个反．解：eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)﹣，于当b﹣，满足＜，eq\o\ac(△,而)0方程没有实数解，因此当=1时，可说明那个命题是假命题．故选A．本题考查了命题与定理：判定一件情况的语句，叫做命题．许多命题差不多上由题设和结论两部分组成，题设是已知事项是由已知事项推出的事项一个题能够写假如那…形式；有些命题的正确性是用推理证实的，如此的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．

1211211211211211211121（益，第5题4分一元二方程﹣2m=0总实数根，则满足的条件是（）A．m1

B．m=1C．1D．考点根的判别式．分析依照根的判别式，eq\o\ac(△,令)，立关于m的等式，解答即可．解答解：∵方程x

﹣2=0总实数根，∴△≥0，即﹣4m，∴﹣﹣，∴m故选．点评本题考查了根的判别式，元二次方程根的情形与判别式eq\o\ac(△,的)eq\o\ac(△,)关：（1△＞方有两个不相等的实数根；（2eq\o\ac(△,=0)eq\o\ac(△,)方程有两个相等的实数根；（3△＜方没有实数根．10呼浩特，第题3分已知函数y

的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（cBc）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方x2bx+=0的两根x，判定正确的是（）A．+＞1，x•＞0C．＜x＜，•x＞0

B．+＜0，x•＞0D．+x与x•的号都不确定考点根与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特点．分析依照点A（a，c）第一象限的一支曲线上，出a，＞，点（b+1）在该函数图象的另外一支上，得出＜c＜﹣1，再依照x•x=，x+x=，即可得出答案．解答解：∵点（a）在第一象限的一支曲线上，∴a0，c＞0∵点（b+1在该函数图象的另外一支上，

12111211112∴b0，c+1＜0，∴c＜﹣1，∴x•=＞00x+＜1故选C．点评本题考查了根与系数的关，把握根与系数的关系和各个象限点的特点是本题的关键；若x，是于x的元二次方程ax2bx（a，，c为数）的两个实数根，则x+x﹣，=．2020菏，第题3分已知关于的元二次方程x+有一个非零根﹣，则a值为（）A．1

B﹣

0D﹣2考点：分析：解答：点评：

一元二次方程的解．由于关于x的元二次方程2+ax+b有个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2+，将程两边同时除以b即求解．解：∵关于x的元次方程2++b=0有个非零根﹣b，∴b﹣ab+，∵﹣b，∴b方程两边同时除以，得b﹣a，∴a．故选A．此题要紧考查了一元二次方程的解的关键是把已知方程的根直截了当代入方程进而解决问题．122020年东泰安，第题3分某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植时，平均每株盈利4元若每盆加1株，均每株盈利减少0.5，要使每盆的盈利达到15元多植多少株？设每盆多植x株够出的方程）A﹣0.5x=15C﹣x）

B+3x）D﹣0.5x）=15

分析：解答：1分析：解答：12分析：依照已知假设每盆花苗增加株则每盆花苗有+3株，得出平均单株盈利为（4）元，由题意得（+3﹣0.5）即．解：设每盆应该多植株由题意得（x﹣0.5x）=15，故选A．点评：此题考查了一元二次方程的应用，依照每盆花苗株平单株盈利=盈利得出方程是解题关键．二填题（广贺州，第16题分已知关于的程x

+（﹣m+

=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数是0．考点根的判别式．专题运算题．依照判别式的意义得到eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)（﹣）2再在此范畴内找出最大整数即可．解：依照题意eq\o\ac(△,得)=（1﹣m）2﹣解得m，因此m的大整数值为0．故答案为0

﹣4×＞0

＞0然后解不等式得到的取值范，点评本题考查了一元二次方程ax2bx+=0≠0）的根的判别=b2

﹣：eq\o\ac(△,当)0，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；eq\o\ac(△,当)0，方程没有实数根．舟山，第11题分方程x2﹣3=0根为．考点解一元二次方程因式分解法分析依照所给方程的系数特点能够对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．解答解：因式分解得x（x﹣）=0，解得，x=0，

分析：分析：点评本题考查了解一元二次方的方法，当方程的左边能因式分解时，一样情形下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．（扬州题分知是方程

﹣x﹣的个根代式3+b2

a2﹣11﹣b的为．考点因式分解的应用；一元二次方程的解；根与系数的关系专题运算题．分析依照一元二次方程解的定得到﹣a﹣3=0，﹣﹣3=0，即

a+3，=，则a3a2

+b+3﹣﹣b+5=2（）b（）﹣11﹣b，整理得﹣2a，然后再把2=a入后合并即可．解答解：∵a，b是程2﹣的个根，∴a2a﹣3=0，﹣﹣，即=a+3，=，∴2b2

a2﹣11﹣aa+3）b（a+3）11﹣=22

﹣2a=2）﹣2+17=2a+6﹣+17=23．[来源学&&Z&X&X&K]故答案为23点评本题考查了因式分解的运：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化运算问题．也考查了一元二次方程解的定义．（2020呼和浩特，第题3分已知m，n是程x2﹣5=0的个实数根，则2mn．考点根与系数的关系；一元二次方程的解．专题常规题型．依照+=，•﹣5直截了当求出、即可解题．解答解：∵、n是方程x+2﹣5=0的个数根，

1211122121112211211211211212112且一元二次方程的求根公式是解得：=

﹣1，n﹣1﹣

或者m=﹣1，=

﹣1将m=

﹣1、=﹣

代入m﹣mn=8；将m=﹣1、=﹣1代m

﹣+3mn=8；故答案为：8．点评此题要紧考查了一元二次程根根的运算公式题得出和的值是解决问题的关键．5.（•州，第题4分方程x+﹣2k的两个实数根x满x+x2=4，则k的为1．考点根与系数的关系分析由x2+x2=x•x+﹣x•x（x+x22x•=4后依照根与系数的关系即可得到一个关于的程，从而求得的．解答解；x2+x

，即x+x2=x•x+﹣x（x+x）又∵x+x=﹣2，x•x2k+1

﹣2x•，代入上式有42

﹣4（k2﹣2+1，解得k=1．故答案为：1．点评本题考查了一元二次方程ax2bx+=0（的根与系数的关系若方程的两根为，x，+=，•x=．•济宁，第13题3分若元二次方程ax2（＞）的两个根分别m+1与2m﹣4则4．考点解一元二次方程直截了当开平方法．专题运算题．分析利用直截了当开平方法得=±

得方程的两个根互为相反数此mm4=0得m方程的两个根分别是2与则有

然后两边平方得到=4．

解答：解答：解：∵x∴x

=（ab，∴方程的两个根互为相反数，∴+1+2m4=0，解得m，∴一元二次方程2=b＞）两个根分别是2﹣，∴

，∴=4故答案为4点评本题考查了解一元二次方﹣直截了当开平方法：形如=或（nx+）2p≥0）的一元二次方程可采纳直截了当开平方的方法解一元二次方程．假如方程化成x

的形式那么可得x=±p如方程能化+2

=（p的形式那么+=±．三解题（2020广玉林市、防城港市，第题）我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆为缓解城区交通拥堵状年年初市通部门要求我市到明年年底操纵电动车拥有量不超过万辆，估量年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：（1从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？（2在1的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？（结果精确到）考点一元二次方程的应用；一一次不等式的应用．分析（）依照题意分别求出今年将报废电动车的数量，进而得出明年报废的电动车数量，进而得出不等式求出即可；（2分别求出今年年底电动车数量，进而求出今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率．解答解）从今年年初起每年新增电动车数量是x万，由题意可得出：今年将报废电动车（万辆∴[（﹣1）+]（﹣）+，

122122解得：x≤2．答：从今年年初起每年新增电动车数量最多是2万；（2∵今年年底电动车拥有量为）=11（万辆明年年底电动车拥有量为11.9万，∴设今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是，则11（1+）=11.9解得：y．答：今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是．点评此题要紧考查了一元一次等式的应用以及一元一次方程的应用别表示出今年与明年电动车数量是解题关键．新，第题10分如，要利用一面墙（墙长为米）建羊圈，用100的围栏围成总面积为平米的三个大小相同的矩形羊圈羊圈的边长各多少米？考点一元二次方程的应用．专题几何图形问题．分析设AB的长为，则BC的度为100﹣4x）米；然后依照矩形的面积公列出方程．解答解：设AB的度为x，BC的度为（﹣4）米．依照题意得（﹣4）=400，解得x，x=5则﹣4=20或100﹣4．∵80＞25∴x=5舍去．即=20，BC．答：羊圈的边长，BC分别是米、米

111111点评本题考查了一元二次方程应用．解题关键是要读明白题目的意思，依照题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．年东汕尾，第题9分已知关于的方程

+a﹣（1若该方程的一个根为1，求a值及该方程的另一根；（2求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．分析将=1入方程2

+a2=0得值再照根与系数的关系求出另根；（2写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．解）x代方程2

+ax+﹣得，a+﹣，解得a；方程为x

+﹣，2+﹣3=0设另一根为x，1x=，﹣．（2∵eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)a2﹣（a﹣2=

﹣aa2

﹣4a+4+4=（a）2+4≥0，∴不论何实数，该方程都有两个不相等的实数根．点评：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．4.（2020毕节地区，第25题分）某工厂产的某种产品按质量分为10个次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产件每件利润6元每提高一个档次，每件利润增加，但一天产量减少件（1若生产第x档的产品一天总利润为元（其中x为整数，且x），求出y关于x的数关系式；（2若生产第x档的产品一天总利润为1120元，求该产品的质量档次．考点：分析：解答：

二次函数的应用；一元二次方程的应用（1每件的利润为6+2（x﹣1），生产件数为95﹣（x﹣），则y（﹣1][955（x﹣1]（2由题意可令y，求出x的实际值即可．解：）第一档次的产品一天能生产95件每件利润6元每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件∴第x次，提高的档次是档．∴y（x﹣1）][95﹣（﹣）]，即y﹣

+180x+400（其中x是正整数，且）；

1212点评：

（2由题意可得：x2x整理得：x2﹣解得：x，x（去）．答：该产品的质量档次为第．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用大售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们第一要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案其要注意应该在自变量的取值范畴内求最大（或最小值），也确实是说二次函数的最值不一定在=

时取得．5.2020襄，第题分）若正数是元二次方程x﹣5+一个根，a是元二次方程x2﹣一个根，则a的值是5．考点一元二次方程的解分析把x=入方程x2﹣5

﹣5a+①x=a代方程方程2

x﹣=0，得

﹣5a﹣，再将①+②，即可求出值．解答解：∵a是元二次方程25x+=0的个根，a是一元二次方程x﹣=0一个根，∴a2

﹣5a+=0①a2﹣5a②，①+②，得（2

﹣5a，∵a0，∴a=5．故答案为5点评本题要紧考查的是一元二方程的根即方程的解的定义使元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解因为只含有一个未知数的方程的解也叫做那个方程的根，因此，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2020湘，第题）已知二次函数y﹣xAC解式为=kx，（1求二次函数解析式；

bx的对称轴为x，且通过原点，直线

分析：分析：（2若

=，求；（3若以BC为径的圆过原点，求．（第题）考点二次函数综合题．（1由对称轴为x=﹣，且函数过，0可出，c，进而得函数解析式．（2且三角形为同高不同底的三形得

=考虑运算方便可作，C轴垂而有B横标的比为

=C为线与二次函数的交点则联立可求得B，坐标．由上倍数关系，则k易．（3以BC直径的圆通过原点，即一考虑表示边长再勾股定理构造方程求解k但那个思路运算量专门复杂不不考虑再考（的路，发觉，C横纵坐标恰好可表出，EOOF，．而由BOC，易证△EBO∽△，即•=EOFO有此构造方程发觉k值多约去，进而可得k值解答解）二次函数=﹣x

+bx+的对称为，且通过原点，∴﹣∴b=4，c，

=20=0+0+，∴y﹣x

x．（2如图，连接，OC过点A作AE⊥y于，点作BF⊥y轴于F

BCBCBCBC∵

，∴∴

，，∵EB，∴

=．∵ykx交y=x2+4于，C∴kx﹣

x，即x2+﹣）x，∴eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)（﹣）∴x∵x＜，

﹣•4=k﹣8，，或x=

，∴EB=

，FC=

，∴•

=

，解得k=9（交点不在轴边，不符题意，舍去）或﹣1．∴k﹣1．（3∵BOC=90°，∴∠+=90°∵∠+EBO，∴∠=，

BCBCBCBCBCBC∵∠==90°∴△EBO△，∴，∴EBFC=EOFO．∵x=∴y=•∴EOy=•∴（﹣k

•

，x=+4y=•，OF﹣=﹣k=（•﹣4

，且、C过y=kx，+4﹣4+4）整理得k=﹣20∴k﹣．点评本题考查了函数图象交点性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的差不多知识．题目专门，貌似思路不难，但若思路不对，运算专门复杂，题目所折射出来的思想，考生应好好明白得把握．（株，第21题，6分已知关于的元二次方程a+c）x2+2（﹣c），其中、bc分为ABC边的长．（1假如﹣1是程的根，试定ABC的状，并说明理由；（2假如方程有两个相等的实数根，试判定ABC的形状，并说明理由；（3假如是等边三角形，试求那个一元二方程的根．考点一元二次方程的应用．分析（1直截了当将x=1代得出关于，b等式，进而得出=，即可判定的形状；（2利用根的判别式进而得出关于a，，c的式，进判定ABC形状；（3利用是边三角形，则a=，进而代入方程求出即可．

112解答解）ABC是腰三角形；理由：∵x=1是程的根，∴（+）（﹣）

﹣2b+（ac）=0，∴a+c﹣ba﹣c=0，∴ab，∴a=b∴△等腰三角形；（2∵方程有两个相等的实数根，∴（2b2﹣4a+﹣）=0，∴4﹣4

c

，∴a2

=b+2

，∴△直角三角形；（3当等边三角形，∴+）

+（﹣c）=0，可整理为：2∴x

，+=0解得：x=0，=﹣1点评此题要紧考查了一元二次程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识确由已知猎取等量关系是解题关键．（年江苏京第题分养殖户每年的养成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为．（1用含x的数表示第的可变成本为2.6x）

万元．（2如该养殖户第3年的养殖成本为7.146万求可变本平均每年增长的百分率x．考点：列一元二次方程解实问题的运%分析）照增长率问题由第的可变成本为元就能够表示出第二年的可变成本为2.61+第年的可变成本为（1+）2

，故得出答案；（2依照养殖成本=固成+变成本建立方程求出其解即可．解答）题意，得第3年可变成本为：1+x）2故答案为2.6（）2（2由题意，得4+2.6（）=7.146

；

1212解得：x，x﹣（合题意，舍去答：可变成本平均每年增长的百分率为．点评：本题考查了增长率的问题系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时依照增长率问题的数量关系建立方程是关键．（2020年苏南京，第24题）已知二次函=

﹣2m2

+3m是数（1求证：不论m为值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2把该函数的图象沿y