新课堂九数人上第二十一章

21.3实际问题与一元二次方程(第一课时)典型例题精析

例1在“红五月”读书活动中，社区计划筹资15000元购买科普书籍和文艺刊物．经初步了解，有150户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资100元，经筹委会进一步宣传，自愿参加的户数在150户的基础上增加了a%(其中a＞50)，如果每户平均集资在100元的基础上减少a%，那么实际筹资将比计划筹资多3000元，求a的值．解：根据题意，得150(1+a%)×100=15000，解得a1=100，a2=50(不合题意，舍去)．答：a的值为100．变式练习

1．(2016六盘水)2016年某市仅教育费附加就投入7200万元，用于发展本市的教育，预计到2018年投入将达9800万元.若每年增长率都为x，根据题意列方程为() A．7200(1+x)=9800 B．7200(1+x)2=9800 C．7200(1+x)(1+x)2=9800 D．7200x2=9800B2．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，则今年平均亩产量的增长率为_________．50%【提示】设南瓜今年平均亩产量的增长率为x，则今年种植面积的增长率为2x．根据题意，得10(1+2x)·2000(1+x)=60000，解得x1=0．5，x2=-2(不合题意，舍去)．即今年南瓜平均亩产量的增长率为50%．3．某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2014年该产品各部分成本所占比例约为2∶a∶1. 且2014年该产品的技术成本、制造成本分别为400万元、1400万元．

(1)确定a的值，并求2014年产品总成本为多少万元；解：由题意,得2∶a=400∶1400，解得a=7．则销售成本为400÷2=200(万元)，2014年产品总成本为400+200=2000(万元)．

(2)为降低总成本，该公司2015年及2016年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数m(m＜50%)，制造成本在这两年里都比前一年减少一个相同的百分数2m；同时为了扩大销售量，2016年的销售成本在2014年的基础上提高10%，经过以上变革，2016年该产品总成本达到2014年该产品总成本的，求m的值．解：由题意，得400(1+m)2(1-2m)2+200(1+10%)=2000×，整理得300m2-240m+21=0，解得m1=0.1，m2=0.7(m＜50%，不合题意舍去)．答：m的值是10%．例2某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个， 第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？解：由题意，得200×(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+(4-6)·[600-200-(200+50x)]=1250，即800+(4-x)(200+50x)-2(200-50x)=1250，整理，得x2-2x+1=0，解得x1=x2=1，且符合题意.则第二周的销售单价为9元.答：第二周旅游纪念品的销售单价为9元．变式练习4．某产品每件成本为10元，试销阶段每件产品的日销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：

要使每日的销售利润为200元，每件产品的销售价应为()

A．20元B．25元 C．30元D．20元或30元D5．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个；定价每减少1元，销售量增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？解：设每个商品的定价是x元.由题意，得(x-40)[180-10(x-52)]=2000，整理，得x2-110x=0，解得x1=50，x2=60．当x=50时，进货180-10×(50-52)=200(个)＞180个，不符合题意，舍去；当x=60时，进货180-10×(60-52)=100(个)＜180个，符合题意.答：该小家电每个定价为60元，进货100个．6．(2016朝阳)为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．根据题意，得(x-3)=800，解得x1=7，x2=5．∵售价不能超过进价的200%，∴x≤3×200%，即x≤6，∴x=5．答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．基础过关精练

1．(2016恩施)某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为()

A．8 B．20 C．36 D．18B2．(2016通辽)现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6．3万件和8万件．设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是()

A．6．3(1+2x)=8

B．6．3(1+x)=8

C．6．3(1+x)2=8

D．6．3+6．3(1+x)+6．3(1+x)2=8C3．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的系， 每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是()

A．(3+x)(4-0．5x)=15 B．(x+4)(3-0．5x)=15

C．(x+3)(4+0．5x)=15 D．(x+1)(4-0．5x)=15A4．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为__________．5．(2015达州)新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为_________________．20%(40-x)(20+2x)=12006．某市体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：

如果这种运动服的买入价为每件40元，当销售利润为8000元时的卖出价格(销售利润=销售收入-买入支出)为____________.60元或80元7．(2016泰州)随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率．解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x.根据题意，得200(1+x)2=392，解得x1=0．4，x2=-2．4(不合题意，舍去)．答：该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%．8．某旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准(如图21-3-1所示)：

某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？解：设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游的人数为x人，则人均费用为[1000-20(x-25)]元.由题意,得x[1000-20(x-25)]=27000，整理得x2-75x=0，解得x1=45，x2=30．当x=45时，人均旅游费用为1000-20×(45-25)=600(元)＜700元，不合题意，舍去；当x=30时，人均旅游费用为1000-20×(30-25)=900(元)＞700元，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游．能力拓展演练9．(2015毕节)一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是___________L．20【提示】设每次倒出液体xL，由题意，得40-x-·x=10，解得x=60(舍去)或x=20．故每次倒出20升液体．10．(2016宜昌)某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．

(1)求A品牌产销线2018年的销售量；解：9.5-(2018-2015)×0.5=8(万份).答：A品牌产销线2018年的销售量为8万份．

(2)求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．解：设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x，B品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k万份，根据题意，得解得或(不合题意，舍去)∴∴2x=10%.答：B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%．11．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电不超过x度，那么这个月这户居民只交10元用电费；如果超过x度，这个月除了要交10元用电费外，超过部分按每度元交费.

(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了x度的规定，试写出超过部分应交的电费(用含x的代数式表示)；解：超过部分应交的电费为x(90-x)元.

(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，回答电厂规定的x度是多少？解：设电厂规定的度数为x度.根据题意，得x(80-x)=25-10，解得x1=30，x2=50，由于3月份用电45度只交电费10元，可见电厂规定的x≥45，故x1=30不合题意，应舍去，∴x=50，即电厂规定的度数为50度．拓展探究训练12．(2016重庆)近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．

(1)从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？解：设今年年初猪肉价格为每千克x元.根据题意，得2.5×(1+60%)x≥100，解得x≥25．答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元.

(2)5月20日，猪肉价格为每千克40元．5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值．解：设5月20日两种猪肉总销量为1.根据题意，得令a%=y，原方程化为整理，得5y2-y=0，解得y=0.2或y=0(舍去)，则a%=0.2，∴a=20.答：a的值为20．21.3实际问题与一元二次方程(第二课时)典型例题精析

例1某村计划建造如图21-3-2的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1,在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm.根据题意，得(x-2)(2x-4)=288，整理得x2-4x-140=0,配方得(x-2)2=144，∴x-2=±12,∴x1=14,x2=-10(不合题意，舍去)，∴x=14,2x=2×14=28.答：当矩形温室的长为28m,宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2.1．(2015黔西南)某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为()

A．x(x-11)=180

B．2x+2(x-11)=180

C．x(x+11)=180

D．2x+2(x+11)=180变式练习

C2．如图21-3-3，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少米？设通道的宽为xm，由题意列得方程为_____________________．(30-2x)(20-x)=6×783．如图21-3-4，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB、BC各为多少米．解：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100-4x)米．根据题意，得(100-4x)x=400，解得x1=20，x2=5．则100-4x=20或100-4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去,∴AB=20米，BC=20米．答：羊圈的边长AB、BC分别是20米、20米．例2如图21-3-5①，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P、Q、M、N分别从点A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有 一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm(x≠0)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．(1)当x为何值时，以PQ、MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形？解：当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ、MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1=-1，x2=--1(舍去)．∵BQ+CM=x+3x=4(-1)＜20，此时点Q与点M不重合，∴x=-1符合题意.②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．∴所求x的值为-1. (2)当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？解：由(1)知，点Q只能在点M的左侧.①当点P在点N的左侧时，得20-(x+3x)=20-(2x+x2)，解得x1=0(舍去)，x2=2．当x=2时，四边形PQMN是平行四边形；②当点P在点N的右侧时，得20-(x+3x)=(2x+x2)-20，解得x1=-10(舍去)，x2=4．当x=4时，四边形NQMP是平行四边形．∴当x=2或x=4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．变式练习4．如图21-3-6，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm,点P从点A开始沿AB边向 点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移 动.若点P、Q分别从点A、B同时出发， 则__________s时△PBQ的面积等于 8cm2.2或45．如图21-3-7，在等腰Rt△ABC中，AB=BC=8cm， 动点P从点A出发，沿AB向点B移动,通过点P引平行于BC、AC的直线与AC、BC分别交于点R、Q.问：AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？解：设AP=xcm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2,则有化简得x2-8x+16=0，解得x1=x2=4.即当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积为16cm2.6．如图21-3-8，矩形ABCD中，AB=6cm，BC= 12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发．

(1)经过几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？解：设经过ts时，△PBQ的面积等于8cm2，根据题意，得(6-t)×2t=8，解得t1=2，t2=4．答：经过2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm2．

(2)在运动过程中，是否存在时间t,使△PBQ的面积等于矩形ABCD面积的四分之一？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．解：不存在.理由如下：根据题意，得整理，得t2-6t+18=0，∵Δ=(-6)2-4×1×18=-36＜0，∴原方程无解，∴不存在时间t，使△PBQ的面积等于矩形ABCD面积的四分之一．基础过关精练

1．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的长为xcm，则可列方程为()

A．x(20+x)=64

B．x(20-x)=64

C．x(40+x)=64 D．x(40-x)=64B2．(2015佛山)如图21-3-9，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是()

A．7m

B．8m

C．9m

D．10mA3．(2015宁夏)如图21-3-10，某小区有一块长为18m，宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为xm，则可以列出关于x的方程是()

A．x2+9x-8=0

B．x2-9x-8=0

C．x2-9x+8=0

D．2x2-9x+8=0C4．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得______________．5．有一间长20m、宽15m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空宽度为 _________m．x2-70x+825=02．56．将一些半径相同的小圆按如图21-3-11的规律摆放，请仔细观察，第________个图形有94个小圆.97．某校开展“美化校园”的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为498m2，绿化150m2后，为了更快地完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的1.2倍，结果一共用20天完成了该项绿化工作．

(1)该项绿化工作原计划每天完成多少平方米？解：设该项绿化工作原计划每天完成xm2，则提高工作量后每天完成1.2xm2.根据题意，得=20，解得x=22．经检验，x=22是原方程的解.答：该项绿化工作原计划每天完成22m2.

(2)在绿化工作中一块面积为170m2的矩形场地，矩形的长比宽的2倍少3m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？解：设矩形宽为ym，则长为(2y-3)m.根据题意，得y(2y-3)=170，解得y=10或y=-8.5(不合题意，舍去)．2y-3=17．答：这块矩形场地的长为17m，宽为10m．8．如图21-3-12，在Rt△ABC中，斜边AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a>b,且a、b是方程x2-(m-1)x+m+4=0的两根.

(1)求a和b的值；解：∵a、b是方程x2-(m-1)x+m+4=0的两根，∴a+b=m-1,ab=m+4.∵a、b是直角△ABC的两直角边，∴a2+b2=c2=25,∴(m-1)2-2(m+4)=25,解得m1=8,m2=-4(舍去),∴原方程为x2-7x+12=0,解得a=4,b=3.

(2)若△A′B′C′与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，将△A′B′C′沿BC所在的直线向左移动x厘米.

①设△A′B′C′与△ABC有 重叠部分，其面积为y平方厘米， 求y与x之间的函数关系式，并 写出x的取值范围；

②若重叠部分的面积等于平方厘米，求x的值.解：由题意，得BC′∶C′M=BC∶AC，∵BC′=4-x,∴C′M=(4-x).①y与x之间的函数关系式为y=(4-x)2(0≤x≤4);②由题意得=(4-x)2,解得x1=3,x2=5(舍去)，∴x的值为3.9．平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线.若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为()

A．5

B．6

C．7

D．8能力拓展演练C10．如图21-3-13，已知点A是一次函数y=x-4图象上的一点，且矩形ABOC的面积等于3，则点A的坐标为____________________________________.(3,-1)或(1,-3)或(2+,-2)或(2-,--2)11．如图21-3-14，在四边