2021年高考微专题 函数中恒成立与存在性问题

22021年高考微专题函数中2【一】分离参数法

函数中恒立与存在性题利分参法确不式

f

,（,

为参）成中数

的值围基本骤①将参数与变量分离

即化为

g

f

（或

g

f

）恒成立的形式；②求

f

在xD

上的最大（或最小）值；③解不等式

g

max

(或

gmin

),得

的取值范围1.例【1】等

e

x对意

x

恒立则数

的值围）A

(]

B(]

C．

(

．

【解析】alnxx对

即

e

x对恒立，从而求yln

，

的最小值，而x

lnx

x

，故x

e

x3ln即

x当ln

时，等号成立，方程

x

在

故

min

，所以

a

，故选D.【2】知数

fx)x

的象点x（e为然数底）的线斜为3．(1)求数的；若f(x)

对意成立求实k的值围【解析】∵

fx)x

,∵

f'(x)lnx

,又∵

f()

的图象在点x处切线的斜率为

3

,∵

f

,

即

a

,∵

a

；(2)由（）,

f()

,∵f()kx

对任意x成

x

对任意x成,令

(x)

x

,

则问题转化为求

(

的最大,

a44a5a44a5g'(x)

1x

x

令)x

,

解得,当

0

时

x),∵g(x)(0,1)上增函数时

'(x,∵x)在是函数．故

(x)

在

x

处取得最大值

(1)

,∵

k

即为所求2.巩提综练【习】已知数

f()log,g(x2)a

,其

且

,

t

．(1)若

,且

14

时

F()g()f(x)

的小是2,求数的；(2)若

,且

14

时有

f(x)()

恒立求实

t

的值围【解析】∵t

,∵(x)g(x)(x)2logx2)loglogaa

a

1易证

h)4(

11在[上单调递减在[1,2]上调递增且4

1h)(2)4

,∵

h(x)hmin

,

1hx)()max

,∵a时

1F(x)log,由log解得a（舍去）mina当0

时

1F()log,由log25解得a.min

1综上知实数a的是.5(2)∵

f(x)()

恒成立

即

log

a

x2logxa

恒成立∵

12

logx(2xa

.1又∵,4

,∵x2,

tx∵成立∵tx

.令

11x)(x[,2])484

,∵

y2.故数t的值范围为max【习】若

x

，

e

x

xln

恒立则

的大为）A

B

1e

C．0

D．

【解析】设txx

,则

e

t

，原不等式等价于t恒立，设

ylnx,

x

是单调递增的，零点为

,

函数y的最小值为1，故

，f

t

,f

t

，零点是

tf

上单调递增，故

f

，故a.故选C.【练习】已知

，设函数

,xf(x)xln,x

若关于x的等式

fx

在

上恒成立，

xmax1212x1212maxxmax1212x1212maxA．

B

C．

．

【解析】∵

f

，即a当

时，

f(x)x

2axa)a2a

(2

，当

时，

f(1)

，故当时x

ax0在上成；若

ln

在恒立

xln

在(1,恒成立

g()

lnx

x'()，(ln)当

x,

函数单增，当

x

函数单减，故

g()(e，以max

当a时

ax0在(上成立；综上可知，a的值范围是[e]，故选C.【二】函数性质法利用函数性质求解恒成立问题，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值。因含有参，大多要分类讨.①∈,均x)>A恒立,f(x)>A②∈,均x﹤恒成立则(x)<A；③∈,均x)gx)恒则xx)-gx)>0,∴F()>0；④∈,均x﹤(x)恒立则xx)-gx∴Fx)<0；⑤∈,x∈均g恒立则(x>g)；⑥∈,x∈均g恒立则(x<gx.1.例【例定域为

的函数

xf满fxx当时fxx，x若当

x

m时，不等式fx4

恒成立，则实数m的值范围是（）A．

B

C

D．

【解析】因为当

x

21m1时，不等式x恒立，所以fx42min4

，

4x当4x

x

时，f

,当

x

时，

f

1xx44

，当

x

时，f

x

，因此当

x

1m时，xmmin442

，选B.【例】若对

，xI2

，且x

，都有

xx12x2

，则取值范围是（）:（

e

为自然对数的底数，即e2.71828

…）A．

e

B

C．

D．

【解析】因为对于

f

ln

,

定义域为

,

所以

0x1当满足

0x1

时

xx1221x2

成立，化简可得

xxxx121

,移项合并后可得xxx,xx1121221

,所以可等价于

x

x

，即满足

lnlnxx为减函数，xx2x

，因为

lnx为减函数，所以'x0即xx2

，则

，因为对

1

，

x2

，且

x

，都有

xx12x2所以

,

即的值范围为，选C.【例】已知函数

f(x)

112ln2

，对任意x∵[1∞)，当

f(xmx

恒成立时实数的大值为，则实数a的值范围．【解析】对任意x∵[1，∞)有f(x)≥mx恒立，即

f)x

()恒成立，即，当min恒成立时实数m的最大值为1，以

()

min

.

因为

f

所以问题等价转化为

f()x

在

[

上恒成立，即

f()

在

[

上恒成立

设

gx)f)

1xln2

（

g

x

2

x∵时因为所以

，因此

(x)

在

[

上是单调递增函数，所以

(x)(1)

，即

f()

在

[

上恒成立；∵时在a)

上，有

；在(

上，有

，所以

(x)

在(1,a)

上为单调递减函数，在

上为单调递增函.当x)

，有

(x)(1)

，即

f()

在

[

上不恒成立综合∵∵：实数的取值范围是(.2.巩固升合练【练习】知函数

，，

时，不等式

恒成立，则实数的取值范围为（）A．

-

B-e）

e-）2

D．

-2

【解析】因为

所以

即，即当

时，

恒成立，所以

在

内是一个增函数，设

，则有

即

，设当

则有时，即

，，当

时，即所以当

时，

最小，

即

，故选D.【练习

2】已知定义在上的偶函数

[0,上递减，若不等式2f(ln(xf范是（）A．

B

1[e

1C[]e

D．

[,

]【解析】由题设可得

flnxf(x

，则原不等式可化为

f(f(1)

，即

ax

，也即

ax

在[1,3]上成立，

/mine/mine由于

，因此

a

2x

，令

()

x，则h(x)xxx2

，所以当

2xln时h/x)0，数h(x)

单调递减，因

2xln1，函数h(x在[上单调递减，故h()2,()x13

，当

x

2时，函数(xmin

，所以

a

，应选答案D.【练习】若【解析）

，满足，显然成立；

恒成立，则实数的值范围为_．（）

时，由

，由

在

为增

在

恒成立，由综上，

在为增，，故答案为

.

，

，【三】数形结合法对参不单放一的不用离数解决题，以用数象解利用数形结合解决恒成立问题应先构造函数作符合已知条件的图形,再虑在给定区间上函数函数图象之间的关系得答案或列出条,出参数的范.（）于一次函数

f(x)kxx[m]

有：f(x)恒成立

f),()0恒立fn0

f)fn（2对于二次函数

f(x)

2

(

,f(x0在xR

上恒成立

a

；

f(x)0在xR

上恒成立

.1.例【例】已知函数

f

,

在

恒有

f

求数k的值范围【解析】令

F

x

f

x

,则F

对

x

恒成立

而F

是开口向上的抛物线当图象与x轴交点满足即

k

,

解得.当图象与x轴交,且

x

,

22,5e则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：

，解得

故由∵∵

.22.巩提升综合练习【练习1】已知定义在上的奇函数

f

满足:当x

时

f

,

若不等式

f

f

2

t对任意实数恒成立则数2A．

的取值范围是（）

B

2,0

C.

D．

【解析】当x

时

f

f(x(R)f()

在R上增函数2对任意实数恒立mt2tm对意实数t成立

结合二次函数图象可得

mm

m2,

故选A.【练习】若不等式

2x是

.【解析x

是关于m的次型函要使

f

恒成立

f只需

x

,

解得3.【练习已知函数

xf(x)x2xx

,

若不等式

f(2|

对任意

x(0,

上恒成立则实数a的值范围为（）A．

,3

B

C

[3,42]

D．

1【解析意得

g(x)=|2x

＞

a2x2,＜

a2

a与x轴交点为(,0)，2∵

a2

，由不等式

f(x

对任意

x

上恒成立，可得临界值时，

f(x)与(x)

相切，此时

f(x)x

2

6,x，gx,

a2

，可得

f

2

，可得切线斜率为，

，x，得切点坐标，

可得切线方程y与x轴交点为

3(,0)2

,

可得此时

a322

函数图像可得

；∵理，当x＜

a2

，由

f(x)与g()

相切，（）

f(x)x

2

6,x，g(x)＜

a2

，可得

f'(xx

，可得切线斜率为2，

，

，可得切点坐标（，得线方程

y

，可得

，综合函数图像可得，（）

f()xx，),＜

a2

，

f(x)与(x)

相切，可得

f'

x

，此时可得可得切线斜率为-，

1

，

12

，可得切点坐标

1(In2)2

,可得切线方程：

1Inx)，y2可得切线与x轴交点为

In2a,0)，得此时22

，

2

，综合函数图像可得

，综上所述可得

，故选C.三函中在问①.

,使x)成立,则()00

max

；②.

0

,使得

f()A0

成立,则

f()

min

；③.

0

,使得

f(x(00

成立,设

F（f(xx)

,∴

（）max

；④.

,使f(000

成立,设

F（f(xx)∴F（x）min

；⑤.

,E使得()gx)1212

成立,则

f(

max

x)

min

；⑥.

1

,

E2

,均使得

f()(x)12

成立,则

f(

min

(

max

.⑦.

1

,

E2

,均使得

f(x)gx)12

成立,则

AB

.（其中

yyf()、y(x)）1.例【例

f(

,

(x

,

若存在

x,x[0,2]12

,

使得

f(x)g(x)2

,求数a的值范围；【解析】

f

f3]

.若存在

xx12

,使

f()()2

,

则

f)()

,即4

,

,1所以,1

实数的值围

.【例

f(

,

(x

,

若存在

x,x[0,2]12

,

使得

f(x)g(x)2

,求数a的值范围【解析】

f

上都是增函数所

f

的值域

的值域

ln3]

.若存在

x,使f()(x),则A

,∵

且

,∵数a的值围是

.2.巩提升综合练习【练习知函数

f())

2

)

2

存在x得

f()0

2

实数的为．e【答案】e【解析】函数fx）x+a）（

ae

），函数f（）以看作是动点Mx，ex与动点（-，

ae

）之间距离的平方，动点M在数y=ex的象上，N在线y=x的象上，e问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得y，解得x=-，e所以曲线上点（-，）直线y=x的离最小，最小距离d=，则（）ee2

2

，根据题意，要使（）

2

4，则（），e此时N恰为垂足，由KMN=-e，解得a=

ee

e．故答案为：．e【练习】知函数

x(x)

，若、x，x，使得f(f(122

成立，则

的取值范围是（A．

B

C

D．

或

【解析】当时

，数f()在

上递增，在

上递减，则：

、R1

，

xx12

，使得

f(x)(12

成立当

时，

a2

，函数

f()

在

也递增，又a，以函数

f()

在R

上单调递增，此时一定不存在

x、xR12

，

xx12

，使得

f(x)(12

成立故B.

【练习知数

xfx,xx

g(x)2

存实数得g)f()成立，则实数取值范围为（）A．

(

B

[4,7]

C

(

D．

([7,【解析】由题意，当x0

时，

f(x)

，当且仅当x

时取=，当x时函数(x)

ex(xex，'()，2当

x(0,1)

时，

f

，当

时，

f

，所以函数

fx)

在区间(0,1)上调递减，在区间单调增，所以

f)f(1)

，综上可得

f)

，因为存在实数，使得g()f()18

成立，则

g()f()

，即

m14即m

，解得

或m

，故实数m的值范围为

([7,

，故选D.【练习】已知函数

f(

,

(x)(R

.（）数

f()

的图象与

()

的图象无公共点求数的值范围；（）否存在实数m,

使得对任意的

1x(,2

,

都有函数

yf()

mx

的图象在()

ex

的图象的下方？若存在请出整数的大值；若不存请说理由.（参考数据：

ln0.6931

,

,e1.3956

）【解析）函数

f()与(x)

无公共点等于方程

lnxx

在解令

t(x)

ln1lnx,则txx

,

令

t'(x)

得

x)＋t)增tx)因为是一的极大值故

t

(

e0极大值1……………4分e

(,－减

0000011000000110故要使方程

lnxx

在解当仅当

a

1

,

故实数的值范围为

1(,e（）设存在实数m足题意,

me则不等式lnx对

x(

恒成立即

lnx对

x(

恒成立

令

r(x)

x

lnx

,

则

r'(x

x

ln

,令

xln

,则

xx

,∵'()在(x

上单调递增

1'()2

12

,

且

'(

的图象在,1)上续,∵在

x(

,使

'(00

,即x

x0

,

则

xx00

,∵

当

x(,

时

x)

单调递减x(x,0

时

x)

单调递增则

(