2022北京八十中高一（下）期中数学（教师版）

28/282022北京八十中高一（下）期中数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设向量，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则对应的点位于复平面内的（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在平行四边形ABCD中，是对角线AC和BD的交点，则（）A. B. C. D.4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C若，则 D.若，则5.已知复数（），则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.某圆锥的母线长为，底面半径长为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.7.若在△ABC中，，，且，，则△ABC形状是（）A.正三角形 B.锐角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形8.已知平面向量均为非零向量，则“”是“向量同向”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为，，且A，B两点之间的距离为30，则该树的高度为（）A. B.C. D.10.在棱长为的正方体中，点在正方形内（含边界）运动，则下列所有结论正确的是（）.①若点在上运动，则②若平面，则点的轨迹长度是.③存在点，使得平面截该正方体的截面是五边形.④若，则四棱锥的体积最大值为1.A.①②③ B.①② C.①②④ D.②③二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填在题中横线上）11.的共轭复数为___________.12.已知向量，若，则x的值为___________.13.若复数为纯虚数，则实数a的值为_______________.14.已知菱形边长为1，，则______________.15.在中，若，则的最大内角的值为________．16.欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被兴为“数学中的天桥”，若复数满足，则的虚部是___________，___________.17.如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为a，且⊥底面，若E是棱上的动点，则的最小值为___________，三棱锥的体积为___________.18.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，且有唯一解，则的取值范围是___________.19.若，且，则______________，最大值为______________.20.如图，在正方体中，AB=6，点P在平面内，，则点P运动轨迹长度是___________，则点P到距离的最小值为___________.

三、解答题：本大题有5小题，每题14分，共70分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21已知两个向量（1）求以及与垂直的单位向量；（2）当实数取何值时，向量与方向相反？（3）若（其中，求的最小值.22.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在直线AC上，且AD=4DC.（1）求BD的长；（2）求的值.23.如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为正方形，为线段的中点（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求证：直线∥平面；（Ⅲ）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使，并说明理由24.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，有三个条件：①；②；③.从三个条件中选取两个条件，完成下面两个问题，并说明所有不能选取的条件组合的理由.（1）求；（2）设D为BC边上一点，且，求的面积.25.如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、、分别是棱、、的中点，为线段上一点，.（1）若平面交平面于直线，求证：；（2）若直线平面，①求三棱锥的表面积；②试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面与棱交于点，求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设向量，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式直接计算即可.【详解】因为向量，，所以，故选：D2.已知复数满足，则对应的点位于复平面内的（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】化简求出即可判断.【详解】，，则对应的点位于复平面内的第四象限.故选：D.3.在平行四边形ABCD中，是对角线AC和BD交点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量加法与减法法则计算即可.【详解】解：.故选：C4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据空间线面的垂直和平行关系，逐项分析判断即可得解.【详解】对A，平行于同一个平面的两条直线并不一定平行，故A错误；对B，平行于同一条直线的两平面并不一定平行，故B错误；对C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；对D，两平面垂直于两直线，这两个平面没有确定的关系，故D错误.故选：C5.已知复数（），则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据复数模的计算公式及充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为，所以，当时，故充分性成立，当，即，解得，故必要性不成立，故是的充分不必要条件；故选：A6.某圆锥的母线长为，底面半径长为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件求出圆锥的高，从而可求出圆锥的体积【详解】解：由题意得圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故选：A7.若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（）A.正三角形 B.锐角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】直接求出，即可判断.【详解】由于，|，，所以△ABC为等腰直角三角形．故选：D.8.已知平面向量均为非零向量，则“”是“向量同向”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】判断当时，，不能得同向，当同向时，可得，从而得出答案.【详解】当时，，但此时向量不一定同向；反之，当向量同向时，成立，所以“”是“向量同向”的必要不充分条件.故选：B9.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为，，且A，B两点之间的距离为30，则该树的高度为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】树高为h，利用直角三角形中用表示出，然后求解．【详解】解：设树高为h，则，又,所以，故选：D10.在棱长为的正方体中，点在正方形内（含边界）运动，则下列所有结论正确的是（）.①若点在上运动，则②若平面，则点的轨迹长度是.③存在点，使得平面截该正方体的截面是五边形.④若，则四棱锥的体积最大值为1.A.①②③ B.①② C.①②④ D.②③【答案】C【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理与性质，结合正方体截面的性质、棱锥的体积公式逐一判断即可.【详解】对①：∵平面，平面，∴，又，，∴平面，∵点在上运动，∴平面，∴，故①正确；对②：连接，∵，平面，同理平面，又，所以平面平面，当平面，点在上运动，所以点的轨迹为线段，因为，所以点的轨迹长度是，②正确；对③：由正方体的截面的性质可知截面不可能是五边形，所以③错误；对④：正方形的面积为，以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，则，设，因为，所以，整理得，所以点的轨迹为的一部分，当点在上时，高最长，此时，又，所以，所以的体积最大值为，故④正确；故选：C【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面面平行的判定，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理进行证明.二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填在题中横线上）11.的共轭复数为___________.【答案】【解析】【分析】由共轭复数的定义判断.【详解】由共轭复数的定义知，的共轭复数为.故答案：

12.已知向量，若，则x的值为___________.【答案】【解析】【分析】根据向量的垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，因为，可得，解得，所以x的值为.故答案为：.13.若复数为纯虚数，则实数a的值为_______________.【答案】-2【解析】【分析】解不等式组得解.【详解】因为复数为纯虚数所以，所以.故答案为：14.已知菱形边长为1，，则______________.【答案】【解析】【分析】由，利用数量积的计算公式计算即可.【详解】，故.故答案为：.15.在中，若，则的最大内角的值为________．【答案】【解析】【分析】由题意，设，由大边对大角知，角C最大，然后根据余弦定理求出即可求解角C.【详解】解：在中，因为，所以设，由大边对大角知，角C最大，根据余弦定理有，又，所以角C，故答案为：.16.欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被兴为“数学中的天桥”，若复数满足，则的虚部是___________，___________.【答案】①.##②.【解析】【分析】由欧拉公式和复数除法运算可求得，由复数虚部定义和模长运算可求得结果.【详解】由欧拉公式知：，，，的虚部为，.故答案为：；.17.如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为a，且⊥底面，若E是棱上的动点，则的最小值为___________，三棱锥的体积为___________.【答案】①.②.【解析】【分析】将三棱锥的侧面和沿展开，连接，求得，即可求得的最小值，取的中点，连接，证得平面，结合，即可求解.【详解】如图所示，将三棱锥的侧面和沿展开，得到矩形，连接，与交于点，其中，所以，即的最小值为；取的中点，连接，在等边中，可得，又由⊥底面，可得平面平面，结合面面垂直的性质定理，可得平面，且，又由.故答案为：；.18.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，且有唯一解，则的取值范围是___________.【答案】或【解析】【分析】由正弦定理得，对分类讨论，即可判断【详解】由正弦定理得，因为有唯一解，当时，即，唯一，符合题意，得；当时，有两个值，不唯一，不合题意；当时，，所以，唯一，符合题意，得.所以的取值范围为或.故答案为：或.【点睛】求解本题的关键是利用正弦定理表示边，再由有唯一解，对分类讨论.19.若，且，则______________，的最大值为______________.【答案】①.2②.【解析】【分析】由即可求，结合已知条件可得在过点垂直于的直线上，而在以为圆心，1为半径的圆周上，应用数形结合法判断的最大时的位置，即可确定最大值.【详解】由，可得，由题设，在过点垂直于的直线上，而在以为圆心，1为半径的圆周上，若，如下图示，∴，要使的最大，只需共线，在上的投影最短，由图知：共线时，的最大为.故答案为：2，.【点睛】关键点点睛：由已知条件将向量转化为图形形式，数形结合法分析的最大时动点的位置，即可求最大值.20.如图，在正方体中，AB=6，点P在平面内，，则点P运动轨迹长度是___________，则点P到距离的最小值为___________.

【答案】①.②.【解析】【分析】对①空，根据为定值，再计算到平面的距离，可判断点P运动轨迹为圆，再计算半径即可；对②空，分别取、的中点、，连接、、、，证明出平面，对于平面内任意一点，过点作分别交、、于点、、，分析可知点到直线的距离等于线段的长，求出长的最大值，即可得出点到直线距离的最大值.【详解】对①空，设到平面的距离为，则，解得，又，故到平面的投影点到点P的距离为定值，且点到正的边距离为，故点P运动轨迹恰好为的内切圆，长度为；对②空，分别取、的中点、，连接、、、，且，所以，四边形为平行四边形，所以，且，因为、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，故且，平面，平面，、平面，则，，，则，因为，平面，对于平面内任意一点，过点作分别交、、于点、、，，，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，平面，故，所以点到直线的距离为线段的长，，则是以为直角的直角三角形，当时，最短，因为，，故当点与点重合时，最长，当点与点重合时，，满足题意，此时点到直线的距离取到最大值.故答案为：；6三、解答题：本大题有5小题，每题14分，共70分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.已知两个向量（1）求以及与垂直的单位向量；（2）当实数取何值时，向量与方向相反？（3）若（其中，求的最小值.【答案】（1），或；（2）；（3）；【解析】【分析】（1）由模长公式求解，设所求向量坐标为，再由垂直与单位向量的定义列方程组求解；（2）由向量共线列式求解，再将所求值代入验证是否为相反方向；（3）利用模长公式表示出，再由二次函数的性质求解最小值.【小问1详解】由模长公式，，，设该单位向量的坐标为，则，得或，所以与垂直的单位向量为或.【小问2详解】，，当向量与共线时，，解得或，当时，与同向，不合题意；当时，与反向，符合题意；所以.【小问3详解】，，由二次函数的性质，，所以恒成立，当时，取最小值，所以的最小值为.22.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在直线AC上，且AD=4DC.（1）求BD的长；（2）求的值.【答案】（1）;（2）【解析】【详解】试题分析：（1）中可求出各边的值和各角的正余弦值,由,求出,在中，由余弦定理可求得长;（2）在中利用正弦定理,可求得.试题解析:（1）因所以，，又因，所以.中，由余弦定理，得，所以（2）在中，由正弦定理，得，所以，所以考点：正余弦定理23.如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求证：直线∥平面；（Ⅲ）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）充分利用正三棱柱的性质得到CC1⊥底面ABC，得到CC1⊥BD，只要再证明BD垂直于AC即可；（2）连接B1C交BC1于O，连接OD，D为AC中点，得到AB1∥OD，利用线面平行的判定定理可得；（3）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；只要利用线面垂直的判定定理和性质定理证明．【详解】（）证明：∵三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，∴，，∴平面，又∵平面，∴，又底面为等边三角形，为线段的中点，∴，又，∴平面．（）证明：连接交于，连接，则为的中点，∵是的中点，∴，又平面，平面，∴直线平面．（）在内的平面区域（包括边界）存在点，使，此时在线段上，证明如下：过作交线段与，由（）可知，平面，而平面，∴，由，，得平面，∵平面，∴．【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.24.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，有三个条件：①；②；③.从三个条件中选取两个条件，完成下面两个问题，并说明所有不能选取的条件组合的理由.（1）求；（2）设D为BC边上一点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意，先计算得，由为钝角，与矛盾，所以判断得①②中仅有一个正确，③一定正确，再由面积公式得，分类讨论求解；（2）利用得，从而求解得答案.【小问1详解】∵，即，又，∴，∵为钝角，与矛盾，∴①②中仅有一个正确，③一定正确，∴，当①③正确时，由，得，无解；当②③正确时，∵，，得，经检验成立，∴.【小问2详解】如图所示，∵，∴，∴，∴.【点睛】解三角形的基本策略：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采