河北省石家庄市赞皇县楼底乡中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试卷含解析

河北省石家庄市赞皇县楼底乡中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，其中，给出下列四个结论

①.函数是最小正周期为的奇函数；②.函数图象的一条对称轴是；③.函数图象的一个对称中心为；④.函数的递增区间为，.则正确结论的个数是（

）(A)个

(B)个

(C)个

(D)个

参考答案：C略2.“”是“”的

（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A3.已知集合，则为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B4.下边程序框图中，若输入，，则输出的值分别是A．

B．

C．

D．参考答案：C5.在四边形ABCD中，，且·＝0，则四边形ABCD是

（

）A．菱形

B．矩形

C．直角梯形

D．等腰梯形参考答案：6.在△ABC中，AB、AC边的长分别是2和1，∠A=60°，若AD平分∠BAC交BC于D，则=

A．

B．—

C．

D．参考答案：Ｂ7.若等差数列{an}的前n项和Sn=n2，则的最小值为（）A．4 B．8 C．6 D．7参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】由Sn=n2，可得a1=1，a2=3．可得等差数列{an}的公差d=2．可得an．可得=n+，令f（x）=x+（x≥1），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：由Sn=n2，可得a1=1，1+a2=22，解得a2=3．∴等差数列{an}的公差d=3﹣1=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴==n+，令f（x）=x+（x≥1），f′（x）=1﹣=，当1≤x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递增．∴n=3或4时，n+取得最小值7．故选：D．8.某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（）A．25 B．20 C．12 D．5参考答案：B【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵初级教师80人，∴抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为，解得n=20，即初级教师人数应为20人，故选：B．9.已知复数为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

参考答案：A略10.在一个△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于(

) A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°参考答案：B考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：将已知代入正弦定理即可直接求值．解答： 解：由正弦定理可得：sinB===．∵0＜B＜180°，∴B=60°或120°，故选：B．点评：本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基本知识的考查．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.要研究可导函数在某点处的瞬时变化率，有两种方案可供选择：①直接求导，得到，再把横坐标代入导函数的表达式；②先把按二项式展开，逐个求导，再把横坐标代入导函数的表达式.综合①、②可得到某些恒等式，利用上述思想方法，可得到恒等式：=____

___?参考答案：12.若直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，则直线l的方程是

．参考答案：x﹣y+1=0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】直线过定点（0，1），截得的弦最短，圆心和弦垂直，求得斜率可解得直线方程．【解答】解：直线l是直线系，它过定点（0，1），要使直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，必须圆心（1，0）和定点（0，1）的连线与弦所在直线垂直；连线的斜率﹣1，弦所在直线斜率是1．则直线l的方程是：y﹣1=x，故答案为：x﹣y+1=0．13.已知为锐角，则___________参考答案：【分析】先求出，再利用两角和的正弦公式展开，带值计算即可.【详解】解：为锐角，则为钝角，则，，故答案为：.【点睛】本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，关键是要找到已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，是基础题.14.抛物线的焦点为F，准线为，P为抛物线上一点，，A为垂足，若，则直线AF的斜率k为________.参考答案：15.(几何证明选讲选做题)如图，四边形ABCD内接于

，AB为的直径，直线MN切于D，

，则

．参考答案：略16.过点P的直线交圆C：于A,B两点，C为圆心，则的最小值为_______．参考答案：答案：-417.若函数，则

.参考答案：5试题分析：.考点：分段函数.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）设平面平面=，试问直线是否与直线平行，请说明理由.

参考答案：解：（I）证明：(I)因为是正三角形，是中点，所以,即………………1分又因为，平面，………………2分又，所以平面………………4分又平面，所以………………5分（Ⅱ）在正三角形中，………………6分在，因为为中点，，所以，所以，，所以………………8分所以，所以………………9分又平面，平面，所以平面………………11分（Ⅲ）假设直线，因为平面，平面，所以平面………………12分又平面，平面平面，所以……………13分这与与不平行，矛盾所以直线与直线不平行………………14分略19.已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点（-1,2）变换成（9,15）求矩阵.参考答案：20.已知向量，其中a＞0且a≠1，（1）当x为何值时，；（2）解关于x的不等式．参考答案：【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出x的值．（2）利用向量模的平方等于向量的平方，将已知不等式平方展开，得到指数不等式；讨论底数与1的大小；利用指数函数的单调性求出解集．【解答】解：（1）因为，得a2x﹣a2=0，即a2x=a2．所以2x=2，即x=1，∴当x=1时，．（2）∵，∴，∴．所以a2x﹣a2＜0，即a2x＜a2．当0＜a＜1时，x＞1，当a＞1时，x＜1．综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为（1，+∞）；当a＞1时，不等式的解集为（﹣∞，1）．（14分）【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：模的平方等于向量的平方、考查指数函数的单调性与底数与1的大小有关．21.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为．（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．参考答案：（1）,；（2）.【分析】（1）直接利用极坐标方程、参数方程和普通方程互化的公式求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）设N（，sinα），α∈[0，2π）．先求出点P到直线l的距离再求最大值.【详解】（1）因为直线l的极坐标方程为，即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0．将曲线C的参数方程消去参数a，得曲线C的普通方程为．（2）设N（，sinα），α∈[0，2π）．点M的极坐标（，），化为直角坐标为（－2，2）．则．所以点P到直线l的距离，所以当时，点M到直线l的距离的最大值为．【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查