2020北京中关村中学高三（上）10月月考数学含答案

23/232020北京中关村中学高三（上）10月月考数学本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.设集合U={1,2,3,4}，，若，则p的值为（）（A）-4 （B）4 （C）-6 （D）62.对于函数①，②，③，④，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是（）（A）③④ （B）①② （C）②③ （D）①④3.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下n(n≤9,n∈N*)个圆环所需的移动最少次数，{}满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）（A）7 （B）10 （C）12 （D）224.设是单位向量，且，则的最小值为（）（A）-2 （B） （C）-1 （D）1-5.如图所示，为了测量某一隧道两侧A、B两地间的距离，某同学首先选定了不在直线AB上的一点C（△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c），然后确定测量方案并测出相关数据，进行计算．现给出如下四种测量方案；①测量∠A，∠C，b；②测量∠A，∠B，∠C；③测量a，b，∠C；④测量∠A，∠B，a，则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）（A）①③ （B）①③④ （C）②③④ （D）①②④6.已知函数，则（）（A）曲线y=f(x)+g(x)不是轴对称图形 （B）曲线y=f(x)-g(x)是中心对称图形（C）函数y=f(x)g(x)是周期函数 （D）函数最大值为7.已知函数的图象过点，现将y=f(x)的图象向左平移t(t>0)个单位长度得到的函数图象也过点P，那么（）（A），t的最小值为 （B），t的最小值为（C），t的最小值为 （D），t的最小值为8.已知数列满足，则“t≥0”是“数列为递增数列”的（）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件9.已知数函数，若存在实数，使得成立，则实数k的取值范围是（）（A）[-1，+∞) （B）（-∞，-1] （C）[0，+∞) （D）（-∞，0]10.函数f(x)的导函数为，若对于定义域内任意，有恒成立，则称f(x)为恒均变函数.给出下列函数：①f(x)=2x+3；②；③；④f(x)=cosx其中为恒均变函数的序号是（）（A）①③ （B）①② （C）①②③ （D）①②④二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.若复数，则________．12.在平面直角坐标系XOY中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于P（a,b）,且a+b=,则cos(2α+)=．13.已知△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①；②若，则x+y=．14.已知函数，g(x)=lnx-ax-1，其中0＜a＜1，e为自然对数的底数，若∃x0∈（0，+∞），使f(x0)g(x0)>0，则实数a的取值范围是．15.设Q为平面直角坐标系xOy中的点集，从Q中的任意一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M,N,记点M的横坐标的最大值与最小值之差为x(Q),点N的纵坐标的最大值与最小值之差为y(Q).若Q是边长为1的正方形，给出下列三个结论:①x(Q)的最大值为②x(Q)+y(Q)的取值范围是③x(Q)-y(Q)恒等于0其中所有正确结论的序号是_________三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16.（本小题满分14分）在△ABC中，bsinA=acos()．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若c=5，．求a.从①b=7，②C=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。17.（本小题满分14分）已知公差不为零的等差数列{an}满足：，且是与的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn.18.（本小题满分14分）设常数a∈R，函数。（1）若f(x)为偶函数，求a的值；（2）若，求方程在区间[,]上的解。19.（本小题满分14分）如图,点D是曲线上的动点(点D在y轴左侧)，以点D为顶点作等腰梯形ABCD，使点C在此曲线上，点A,B在x轴上。设CD=2x，等腰梯形ABCD的面积为S(x).(1)写出函数S(x)的解析式,并求出函数的定义域;(2)当x为何值时,等腰梯形ABCD的面积最大?求出最大面积.20.(本题满分15分)设函数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个极值点x1和x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k,问:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值；若不存在,请说明理由

21.（本小题共14分）数字1,2,3,…,n，(n≥2)的任意一个排列记作,设Sn为所有这样的排列构成的集合.集合任意整数i,j,1≤i<j≤n,都有};集合任意整数i,j,1≤i<j≤n,都有};（Ⅰ）用列举法表示集合A3,B3;（Ⅱ）求集合的元素个数;(Ⅲ)记集合Bn的元素个数为bn，证明:数列{bn}是等比数列。

2020北京中关村中学高三（上）10月月考数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】D【解析】【分析】转化条件得，所以方程的两根分别为2和3，即可得解.【详解】集合，若，，方程的两根分别为2和3，.故选：D.【点睛】本题考查了集合的概念和运算，属于基础题.2.【答案】C【解析】【分析】根据常见函数的单调性结合函数图象的变换逐一判断，即可得解.【详解】函数为开口朝上，对称轴为的二次函数，其在单调递增，故①不满足；函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，函数在上为减函数，故②满足；当时，，其在单调递减，故③满足；函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，函数在上单调递增，故④不满足.故选：C.【点睛】本题考查了函数图象的变换和常见函数的单调性，属于基础题.3.【答案】A【解析】【分析】由递推式依次计算．【详解】由题意知，，，故选：A.【点睛】本题考查由递推式求数列的项，解题时按照递推公式依次计算即得．4.【答案】D【解析】【分析】根据题意得，，进而得，再根据数量积的运算得.【详解】解：因为是单位向量，且，所以，，所以所以.故选：D.【点睛】本题考查向量的模的计算，数量积计算，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.5.【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理以及余弦定理，即可对每个选项进行逐一判断分析，作出选择.【详解】对①：由，可求得，再根据正弦定理，求得AB即可；对②：由三个角无法确定三角形，故无法计算的值；对③：根据余弦定理，即可求得的值；对④：由，可求得，再根据正弦定理，即可求得的值.综上所述：①③④可以求得.故选：B.【点睛】本题考查应用正弦定理和余弦定理，解决测距问题，属基础题目.6.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）＝sinπx，为轴对称图形，且其中一条对称轴为x，g（x）＝x2﹣x+2＝（x）2，为轴对称图形，且其对称轴为x，故y＝f（x）+g（x）＝sinπx+（x2﹣x+2）是轴对称图形，且其对称轴为x，A错误；对于B，g（x）＝x2﹣x+2，不是中心对称图形，则曲线y＝f（x）﹣g（x）不是中心对称图形，B错误；对于C，g（x）＝x2﹣x+2不是周期函数，f（x）g（x）＝（sinπx）（x2﹣x+2）不是周期函数，C错误；对于D，g（x）＝x2﹣x+2＝（x）2，当x时，g（x）取得最小值，而f（x）＝sinπx，当x时，f（x）取得最大值1，则函数最大值为；D正确；故选D．【点睛】本题考查函数的对称性、周期性和最值，推理求解能力，关键掌握函数的性质，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】先求出，再得到的图象向左平移（）个单位长度得到的函数，接着建立方程，最后求的最小值即可.【详解】解：因为函数的图象过点，所以，因为，所以，所以函数的图象向左平移（）个单位长度得到的函数，因为函数的图象也过点，所以，则的最小值满足，解得.故选：C【点睛】本题考查利用三角函数的图象变换求参数值、利用三角函数值求角，是基础题.8.【答案】A【解析】【分析】先根据数列为递增数列求得的取值范围，再根据集合关系判断即可得答案.【详解】解：若数列是递增数列，则，即，由于，所以对任意的成立，所以.由于，故“”是“数列为递增数列”充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件，是基础题.9.【答案】A【解析】【分析】根据题意将存在实数，使得成立转化为有根，再根据方程变形可得，原问题转化为有根，进而转化为与的图象有交点，根据数形结合即可求出结果．【详解】∵且，整理得，∴原问题转化为与的图象有交点，画出的图象如下：当时，，由图可知，．故选：A．【点睛】本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．10.【答案】B【解析】【分析】针对每一个函数，分别计算出与，检验两者是否恒相等，即可得解.【详解】对于①，，，满足，故①为恒均变函数；对于②，，，满足，故②为恒均变函数；对于③，当，时，，即此时，故③不为恒均变函数；对于④，当，时，，，即此时，故④不为恒均变函数.故选：B.【点睛】本题考查了导数的计算，考查了运算能力和对于新概念的理解，属于中档题.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】【解析】【分析】根据以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.12.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义表示出，由此求得的值，利用同角三角函数的基本关系式，结合诱导公式、二倍角公式求得所求表达式的值.【详解】∵在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点，∴由任意角的三角函数的定义得，.∵，可得：，∴两边平方可得：，可得：，解得：，∴故答案：【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式和二倍角公式，属于中档题.13.【答案】(1).(2).【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据题意写出各点坐标，利用向量的坐标运算计算即可.【详解】以D为原点建立平面直角坐标系，如图，则，，故.因为，，所以，，故.故答案为:；.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.14.【答案】【解析】【分析】根据常用不等式，可转化为，然后使用分离参数，并构造函数，利用导数研究该函数的最值，简单计算可得结果.【详解】令，则，当时，所以在单调递增，所以所以由，所以当时，故若，使转化为，则，即令，若时，，若时，所以函数在递增，在递减所以所以，即故答案为：【点睛】本题考查导数的应用，本题难点在于对的理解，同时等价转化，化繁为简，同时掌握常用的不等式，比如，属中档题.15.【答案】①②③．【解析】【分析】易得与正方形的位置无关,故可以考虑将正方形确定在原点,再绕着原点旋转分析所有情况即可.【详解】如图由题易得与正方形的位置无关,故将正方形确定在原点,则只需考虑当正方形绕着原点旋转的所有情况即可.此时对角线长.当正方形边均平行于坐标轴时取最小值.且对①,,故①正确对②,,故②正确.对③,因为,故,故③正确.故答案为①②③【点睛】本题主要考查新定义的函数题型.利用数形结合的思想以及三角函数分析即可.属于中等题型.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）（2）时，；时，【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角得，再根据两角和与差的正弦、余弦公式变形可得，再根据角的范围可得结果；（2）若选①，根据余弦定理可得结果；若选②，先求出，再根据正弦定理可得结果.【详解】（1）因为，，所以.又因为，所以，即.所以.又因为，所以，所以.（2）若选①，则在中，由余弦定理，得，解得或（舍）.所以.若选②，则，由正弦定理，得，解得.所以.【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式，考查了正弦定理、余弦定理，属于基础题.17.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项相消法求和．【详解】（1）设等差数列的公差为d，∵，且是与的等比中项，∴，解得，，∴.（2）由（1）得∴，∴【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，数列求和，属于中档题．18.【答案】(1);(2)或或.【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【详解】（1）∵，∴，∵为偶函数，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，或，∴，或，∵，∴或或【点睛】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19.【答案】（1）；（2）当时取到最大值，【解析】【分析】（1）设点，则根据题意得，，故；（2）令，研究函数的单调性，进而得的最值，进而得的最大值.【详解】解：（1）根据题意，设点，由是曲线上的动点得：，由于椭圆与轴交点为，故，所以即：（2）结合（1），对两边平方得：，令，则，所以当时，，当时，，所以在区间单调递增，在上单调递减，所以在处取到最大值，，所以当时，取到最大值，.【点睛】本题考查利用导数研究实际问题，考查数学应用能力与计算能力，是中档题.20.【答案】（1）答案见解析：（2）不存在【解析】【详解】（1）定义域为，，令，①当时，，，故在上单调递增，②当时，，的两根都小于零，在上